これまで学んだ漸化式の解法を整理し、問題の形から適切な解法を選択する力を養います。漸化式の型の見分け方、変換の方針、典型的な計算パターンを体系的にまとめます。入試問題に対する「初手」を瞬時に判断できることが目標です。
高校数学で扱う漸化式を体系的に分類します。
基本型：
1. $a_{n+1} = a_n + d$ → 等差数列
2. $a_{n+1} = ra_n$ → 等比数列
3. $a_{n+1} = pa_n + q$ → 特性方程式で等比に帰着
発展型：
4. $a_{n+1} = pa_n + f(n)$ → 階差数列 or 特殊解
5. $a_{n+1} = pa_n^2$ → 対数をとる
6. $a_{n+1} = \frac{pa_n + q}{ra_n + s}$ → 不動点と逆数置換
7. $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ → 2次特性方程式
8. 連立漸化式 → 和と差 or 線形結合
どの漸化式の解法も、本質的には「既知の等差数列・等比数列に帰着させる」ことが目標です。
そのための手段が「置換」「特性方程式」「両辺への操作（割る、対数をとるなど）」です。
| 漸化式の型 | キーワード | 解法の要点 |
|---|---|---|
| $a_{n+1} = pa_n + q$ | 1次式型 | 特性方程式 $\alpha = p\alpha + q$ |
| $a_{n+1} = pa_n + q^n$ | 指数項付き | $\frac{a_n}{q^n}$ で割る or 特殊解 |
| $a_{n+1} = pa_n + cn + d$ | 1次関数付き | 特殊解 $\alpha n + \beta$ を探す |
| $a_{n+1} = pa_n^2$ | 2乗型 | $\log a_n$ で等比に帰着 |
| $a_{n+1} = \frac{pa_n+q}{ra_n+s}$ | 分数型 | 不動点、逆数置換 |
| $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ | 3項間 | $t^2 + pt + q = 0$ の解 |
漸化式を見たとき、次の手順で解法を選択します。
Step 1：$a_{n+1}$ と $a_n$ の関係が線形か非線形か？
Step 2（線形の場合）：
・$a_{n+1} = pa_n + (\text{定数})$ → 特性方程式
・$a_{n+1} = pa_n + f(n)$ → 特殊解を探すか、階差
・3項間 → 2次特性方程式
・連立 → 線形結合で分離
Step 2（非線形の場合）：
・$a_n^2$ が含まれる → 対数
・分数型 → 逆数置換 or 不動点
・$\sqrt{a_n}$ が含まれる → $b_n = \sqrt{a_n}$ で置換
入試では問題文を見て5秒以内に「この漸化式の型は○○で、△△の方法で解く」と判断できることが理想です。この判断力は演習量に比例して身につきます。
迷ったら、まず最初の数項を計算してみましょう。数列の振る舞いから解法のヒントが得られることがあります。
非線形の漸化式を置換で線形に帰着させる典型パターンを整理します。
例：$a_{n+1} = 3a_n^2$, $a_1 = 3$ の一般項を求めよ。
$b_n = \log_3 a_n$ と置く。$\log_3 a_{n+1} = \log_3 3 + 2\log_3 a_n = 1 + 2b_n$
$b_{n+1} = 2b_n + 1$, $b_1 = 1$。
$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$, $b_1 + 1 = 2$ より $b_n + 1 = 2^n$ すなわち $b_n = 2^n - 1$。
$a_n = 3^{b_n} = 3^{2^n - 1}$。
例：$a_{n+1} = \frac{a_n}{2a_n + 1}$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
$b_n = \frac{1}{a_n}$ と置く。$b_{n+1} = 2 + b_n$, $b_1 = 1$。
$b_n = 1 + 2(n-1) = 2n - 1$ より $a_n = \frac{1}{2n-1}$。
例：$a_{n+1} = 2a_n + 3^n$, $a_1 = 1$ の一般項を求めよ。
両辺を $3^{n+1}$ で割る：$\frac{a_{n+1}}{3^{n+1}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a_n}{3^n} + \frac{1}{3}$
$b_n = \frac{a_n}{3^n}$ と置くと $b_{n+1} = \frac{2}{3}b_n + \frac{1}{3}$, $b_1 = \frac{1}{3}$。
$b_{n+1} - 1 = \frac{2}{3}(b_n - 1)$, $b_1 - 1 = -\frac{2}{3}$
$b_n - 1 = -\frac{2}{3}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1} = -\left(\frac{2}{3}\right)^n$ より $b_n = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^n$
$a_n = 3^n - 2^n$。
✗ $a_{n+1} = 2a_n + 3^n$ で $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ と置く → $b_{n+1} = b_n + \frac{3^n}{2^{n+1}}$ となり簡単にならない
✓ $a_{n+1} = pa_n + r^n$ の場合、$b_n = \frac{a_n}{r^n}$ で割るのが定石
割るべきは「$p$ の累乗」ではなく「付け加わっている $r^n$ の $r$ の累乗」です。
$S_n = \sum_{k=1}^{n} a_k$ を含む漸化式は頻出パターンです。
$S_n$ と $a_n$ の関係式が与えられたとき：
方法1：$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \geq 2$）を代入して $a_n$ だけの漸化式にする。
方法2：$S_n$ の式で $n$ を $n-1$ に置き換えた式を作り、辺々引く。
※ $n = 1$ の場合は $a_1 = S_1$ として別途確認が必要です。
例：$S_n = 2a_n - 1$（$a_1 = 1$）のとき一般項を求めよ。
$n \geq 2$：$S_{n-1} = 2a_{n-1} - 1$ より $a_n = S_n - S_{n-1} = 2a_n - 1 - 2a_{n-1} + 1 = 2a_n - 2a_{n-1}$
$a_n = 2a_{n-1}$（等比数列、公比 $2$）。
$a_1 = 1$ より $a_n = 2^{n-1}$。
検算：$S_n = 2^n - 1$, $2a_n - 1 = 2^n - 1$ ✓
$a_n = S_n - S_{n-1}$ は $n \geq 2$ でしか成り立ちません。$n = 1$ のとき $a_1 = S_1$ を元の式に代入して初項を確認し、一般項の式に $n = 1$ を代入した値と一致するか確かめましょう。
一致しない場合は「$n = 1$ のとき $a_1 = \cdots$, $n \geq 2$ のとき $a_n = \cdots$」と場合分けして書きます。
入試の応用問題では、漸化式を立てること自体が問題の一部になります。
1. 帰納的に考える：$n$ 番目の状態から $n+1$ 番目の状態への変化に注目する。
2. 場合分けをする：$n+1$ 番目でどのような場合が起こりうるかを列挙する。
3. 具体例で検証：$n = 1, 2, 3$ 程度で立てた漸化式が正しいか確認する。
例：$n$ 段の階段を1段または2段ずつ上がる方法の数 $a_n$ を求めよ。
$n$ 段目に到達するには：
・$n-1$ 段目から1段上がる（$a_{n-1}$ 通り）
・$n-2$ 段目から2段上がる（$a_{n-2}$ 通り）
$a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$（$a_1 = 1, a_2 = 2$）
これはフィボナッチ数列と同じ漸化式です！$a_n = F_{n+1}$（$F_n$ はフィボナッチ数列）。
✗ 漸化式を立てたが初期条件の確認を怠る → 一般項が正しくない
✓ 漸化式と初期条件（$a_1$, 必要なら $a_2$）をセットで求める。小さい $n$ で数え上げて検証する
Q1. $a_{n+1} = 3a_n + 2$ の解法の第一手は？
Q2. $a_{n+1} = 2a_n + n$ はどのように解くか。
Q3. $a_{n+1} = 5a_n^2$ を解くための置換は？
Q4. $S_n = 3a_n + n$ のとき $a_n$ の漸化式を導け。
Q5. 漸化式の型の分類で最も大切な判断基準は何か。
次の各漸化式の一般項を求めよ（$a_1 = 1$）。
(1) $a_{n+1} = 4a_n - 3$
(2) $a_{n+1} = \frac{a_n}{a_n + 2}$
(1) 特性方程式 $\alpha = 4\alpha - 3$ で $\alpha = 1$。$a_{n+1} - 1 = 4(a_n - 1)$, $a_1 - 1 = 0$ で $a_n = 1$。
(2) $b_n = \frac{1}{a_n}$ と置く。$b_{n+1} = 1 + \frac{2}{a_n} = 1 + 2b_n$。$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$, $b_1 + 1 = 2$ より $b_n + 1 = 2^n$, $b_n = 2^n - 1$, $a_n = \frac{1}{2^n - 1}$。
数列 $\{a_n\}$ が $S_n = 3a_n - 2n$ を満たすとき、一般項 $a_n$ を求めよ。
$n = 1$：$a_1 = 3a_1 - 2$ より $a_1 = 1$。
$n \geq 2$：$S_{n-1} = 3a_{n-1} - 2(n-1)$ を引いて
$a_n = 3a_n - 3a_{n-1} - 2$ すなわち $2a_n = 3a_{n-1} + 2$, $a_n = \frac{3}{2}a_{n-1} + 1$。
$a_n + 2 = \frac{3}{2}(a_{n-1} + 2)$, $a_1 + 2 = 3$ より $a_n + 2 = 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}$。
$a_n = 3 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^{n-1} - 2 = \frac{3^n}{2^{n-1}} - 2 = \frac{3^n - 2^n}{2^{n-1}}$。
$S_n$ と $a_n$ の関係式では、$a_n = S_n - S_{n-1}$（$n \geq 2$）で $a_n$ だけの漸化式を導出し、$n = 1$ を別途確認する手順が必須です。
$a_1 = 2$, $a_{n+1} = 2a_n^2$ で定められる数列の一般項を求めよ。
$b_n = \log_2 a_n$ と置く。$b_{n+1} = 1 + 2b_n$, $b_1 = 1$。
$b_{n+1} + 1 = 2(b_n + 1)$, $b_1 + 1 = 2$ より $b_n + 1 = 2^n$, $b_n = 2^n - 1$。
$a_n = 2^{b_n} = 2^{2^n - 1}$。
検算：$a_1 = 2^1 = 2$ ✓, $a_2 = 2 \cdot 4 = 8 = 2^3 = 2^{2^2 - 1}$ ✓
数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{2a_n + 3 \cdot 4^n}{4}$ を満たすとき：
(1) $b_n = \frac{a_n}{4^n}$ と置いて $b_n$ の漸化式を求めよ。
(2) $a_n$ の一般項を求めよ。
(3) $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。
(1) $a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + \frac{3}{4} \cdot 4^n$。$b_n = \frac{a_n}{4^n}$ として
$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{\frac{1}{2}a_n + 3 \cdot 4^{n-1} \cdot 4}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{2 \cdot 4^{n+1}} + \frac{3}{4^2}$
計算し直し：$a_{n+1} = \frac{2a_n + 3 \cdot 4^n}{4} = \frac{a_n}{2} + \frac{3}{4} \cdot 4^n = \frac{a_n}{2} + 3 \cdot 4^{n-1}$
$\frac{a_{n+1}}{4^{n+1}} = \frac{a_n}{2 \cdot 4^{n+1}} + \frac{3 \cdot 4^{n-1}}{4^{n+1}} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a_n}{4^n} + \frac{3}{16}$
$b_{n+1} = \frac{1}{8}b_n + \frac{3}{16}$。
(2) $b_{n+1} - \frac{1}{14} \cdot \frac{3}{16} \cdot \frac{8}{7}$... 特性方程式 $\beta = \frac{1}{8}\beta + \frac{3}{16}$ で $\frac{7}{8}\beta = \frac{3}{16}$, $\beta = \frac{3}{14}$。
$b_{n+1} - \frac{3}{14} = \frac{1}{8}\left(b_n - \frac{3}{14}\right)$, $b_1 = \frac{1}{4}$, $b_1 - \frac{3}{14} = \frac{1}{28}$。
$b_n = \frac{3}{14} + \frac{1}{28}\left(\frac{1}{8}\right)^{n-1} = \frac{3}{14} + \frac{1}{28 \cdot 8^{n-1}}$
$a_n = 4^n b_n = \frac{3 \cdot 4^n}{14} + \frac{4^n}{28 \cdot 8^{n-1}} = \frac{3 \cdot 4^n}{14} + \frac{4 \cdot 4^{n-1} \cdot 8}{28 \cdot 8^n}$... これは $= \frac{3 \cdot 4^n}{14} + \frac{2}{7 \cdot 2^n}$
整理：$a_n = \frac{3 \cdot 4^n}{14} + \frac{2}{7} \cdot 2^{-n} = \frac{3 \cdot 2^{2n}}{14} + \frac{2^{1-n}}{7} = \frac{3 \cdot 2^{2n} + 2^{2-n}}{14}$
$= \frac{3 \cdot 2^{2n} + 4 \cdot 2^{-n}}{14} = \frac{3 \cdot 2^{3n} + 4}{14 \cdot 2^n}$
(3) $\sum_{k=1}^{n} a_k = \frac{3}{14}\sum_{k=1}^{n}4^k + \frac{2}{7}\sum_{k=1}^{n}2^{-k} = \frac{3}{14} \cdot \frac{4(4^n-1)}{3} + \frac{2}{7} \cdot \frac{\frac{1}{2}(1-2^{-n})}{1-\frac{1}{2}}$
$= \frac{2(4^n - 1)}{7} + \frac{2}{7}(1 - 2^{-n}) = \frac{2 \cdot 4^n - 2 + 2 - 2^{1-n}}{7} = \frac{2 \cdot 4^n - 2^{1-n}}{7}$