隣接3項間漸化式 $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ は、連続する3つの項の関係を定めます。特性方程式 $t^2 + pt + q = 0$ の解の形（異なる2解か重解か）によって一般項の表し方が変わります。2項間漸化式の自然な拡張として理解しましょう。
隣接3項間漸化式とは、連続する3つの項 $a_n, a_{n+1}, a_{n+2}$ の間の関係式です。
$$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0 \quad (q \neq 0)$$
初期条件として $a_1, a_2$ の2つの値が必要です。
※ $q = 0$ のとき $a_{n+2} = -pa_{n+1}$ となり、2項間漸化式（等比型）に帰着します。
2項間漸化式では初項 $a_1$ だけで数列が決まりましたが、3項間漸化式では2つの初期条件（$a_1$ と $a_2$）が必要です。これは2次の特性方程式に対応しています。
3項間漸化式を2つの2項間漸化式の組み合わせに分解します。
$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ を $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$ の形に変形して、等比数列に帰着させるのが基本戦略です。
$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ の特性方程式は次の2次方程式です。
$$t^2 + pt + q = 0$$
この方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係から：
$$\alpha + \beta = -p, \quad \alpha\beta = q$$
$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ を $a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$ と変形できるか確認します。
$a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n)$ を展開すると：
$a_{n+2} = (\alpha + \beta)a_{n+1} - \alpha\beta \cdot a_n$
元の式 $a_{n+2} = -pa_{n+1} - qa_n$ と比較して：
$\alpha + \beta = -p$, $\alpha\beta = q$
これは $\alpha, \beta$ が $t^2 + pt + q = 0$ の解であることと一致します。
$b_n = a_{n+1} - \alpha a_n$ と置くと $b_{n+1} = \beta b_n$（等比数列）。
同様に $c_n = a_{n+1} - \beta a_n$ と置くと $c_{n+1} = \alpha c_n$（等比数列）。
$\alpha$ と $\beta$ の役割は対称的です。$a_{n+1} - \alpha a_n$ が公比 $\beta$ の等比数列になるのと同時に、$a_{n+1} - \beta a_n$ が公比 $\alpha$ の等比数列になります。この2つの等比数列を連立して $a_n$ を求めます。
特性方程式の解が $\alpha \neq \beta$ のとき、一般項は次の形になります。
$$a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}$$
$A, B$ は初期条件 $a_1, a_2$ から決まる定数。
$A = \frac{a_2 - \beta a_1}{\alpha - \beta}$, $B = \frac{\alpha a_1 - a_2}{\alpha - \beta}$
例：$a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 4$ の一般項を求めよ。
Step 1：特性方程式 $t^2 - 5t + 6 = 0$ を解く。$(t-2)(t-3) = 0$ で $\alpha = 2, \beta = 3$。
Step 2：$b_n = a_{n+1} - 2a_n$ と置くと $b_{n+1} = 3b_n$（公比 $3$ の等比数列）。
$b_1 = a_2 - 2a_1 = 4 - 2 = 2$ より $b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。
$c_n = a_{n+1} - 3a_n$ と置くと $c_{n+1} = 2c_n$（公比 $2$ の等比数列）。
$c_1 = a_2 - 3a_1 = 4 - 3 = 1$ より $c_n = 2^{n-1}$。
Step 3：$b_n - c_n = (a_{n+1} - 2a_n) - (a_{n+1} - 3a_n) = a_n$ より
$$a_n = 2 \cdot 3^{n-1} - 2^{n-1}$$
検算：$a_1 = 2 - 1 = 1$ ✓, $a_2 = 6 - 2 = 4$ ✓
✗ $b_n + c_n = a_n$ としてしまう
✓ $b_n - c_n = (a_{n+1} - \alpha a_n) - (a_{n+1} - \beta a_n) = (\beta - \alpha)a_n$ なので $a_n = \frac{b_n - c_n}{\beta - \alpha}$
$\alpha, \beta$ の大小関係に注意して符号を正しく処理しましょう。
特性方程式が重解 $\alpha = \beta$ をもつ場合、前節の方法では $b_n$ と $c_n$ が同じ等比数列になってしまいます。
特性方程式 $t^2 + pt + q = 0$ が重解 $\alpha$ をもつとき：
$$a_n = (A + Bn)\alpha^{n-1}$$
$A, B$ は初期条件から決定する。
$b_n = a_{n+1} - \alpha a_n$ と置くと $b_{n+1} = \alpha b_n$ で $b_n = b_1 \cdot \alpha^{n-1}$。
$a_{n+1} - \alpha a_n = b_1 \alpha^{n-1}$ の両辺を $\alpha^{n+1}$ で割ると：
$$\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n} \cdot \frac{1}{\alpha} = \frac{b_1}{\alpha^2}$$
ではなく、$\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n}} - \frac{a_n}{\alpha^{n-1}} = \frac{b_1}{\alpha}$ なので $c_n = \frac{a_n}{\alpha^{n-1}}$ と置くと $c_{n+1} - c_n = \frac{b_1}{\alpha}$（等差数列）。
$c_n = c_1 + (n-1)\frac{b_1}{\alpha} = a_1 + (n-1)\frac{b_1}{\alpha}$ より
$a_n = \left(a_1 + (n-1)\frac{b_1}{\alpha}\right)\alpha^{n-1}$。
例：$a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 5$ の一般項を求めよ。
特性方程式 $t^2 - 6t + 9 = 0$、$(t-3)^2 = 0$ で $\alpha = 3$（重解）。
$b_n = a_{n+1} - 3a_n$ と置くと $b_{n+1} = 3b_n$, $b_1 = 5 - 3 = 2$。
$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$ より $a_{n+1} - 3a_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。
両辺を $3^n$ で割る：$\frac{a_{n+1}}{3^n} - \frac{a_n}{3^{n-1}} = \frac{2}{3}$
$c_n = \frac{a_n}{3^{n-1}}$ と置くと $c_{n+1} - c_n = \frac{2}{3}$, $c_1 = 1$。
$c_n = 1 + \frac{2}{3}(n-1) = \frac{2n+1}{3}$
$$a_n = \frac{2n+1}{3} \cdot 3^{n-1} = (2n+1) \cdot 3^{n-2}$$
検算：$a_1 = 3 \cdot 3^{-1} = 1$ ✓, $a_2 = 5 \cdot 3^0 = 5$ ✓
異なる2解 $\alpha, \beta$： $a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}$（2つの等比数列の和）
重解 $\alpha$： $a_n = (A + Bn)\alpha^{n-1}$（等比数列 $\times$ 1次式）
重解の場合は「$n$ がかかった項」が現れるのが特徴です。これは微分方程式における同次解の構造と同じです。
フィボナッチ数列は隣接3項間漸化式の最も有名な例です。
$$F_{n+2} = F_{n+1} + F_n, \quad F_1 = 1, \quad F_2 = 1$$
$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, \ldots$
漸化式 $F_{n+2} - F_{n+1} - F_n = 0$ の特性方程式：$t^2 - t - 1 = 0$
$\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$（黄金比）, $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$F_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}$ に $F_1 = 1, F_2 = 1$ を代入：
$A + B = 1$, $A\alpha + B\beta = 1$ を解いて $A = \frac{\alpha}{\alpha - \beta} = \frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \alpha$, $B = -\frac{\beta}{\alpha - \beta} = -\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot \beta$
$$F_n = \frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right]$$
無理数の式なのに値が常に自然数になることが注目に値します。
$\left|\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right| \approx 0.618 < 1$ なので $\beta^n \to 0$（$n \to \infty$）。
したがって $F_n \approx \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n$ となり、フィボナッチ数列は近似的に黄金比の等比数列です。$\frac{F_{n+1}}{F_n} \to \frac{1+\sqrt{5}}{2}$（黄金比）も有名な事実です。
Q1. $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 0$ の特性方程式の解を求めよ。
Q2. Q1で $a_1 = 2, a_2 = 4$ のとき一般項を求めよ。
Q3. $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = 0$ の特性方程式の解と一般項の形を述べよ。
Q4. フィボナッチ数列の特性方程式の解を求めよ。
Q5. 3項間漸化式で初期条件が1つしか与えられない場合、何が困るか。
$a_{n+2} - 7a_{n+1} + 12a_n = 0$, $a_1 = 1$, $a_2 = 5$ のとき $a_n$ を求めよ。
特性方程式 $t^2 - 7t + 12 = 0$、$(t-3)(t-4) = 0$ で $\alpha = 3, \beta = 4$。
$a_n = A \cdot 3^{n-1} + B \cdot 4^{n-1}$。
$A + B = 1$, $3A + 4B = 5$ を解いて $A = -1, B = 2$。
$$a_n = -3^{n-1} + 2 \cdot 4^{n-1}$$
$a_{n+2} - 10a_{n+1} + 25a_n = 0$, $a_1 = 2$, $a_2 = 15$ のとき $a_n$ を求めよ。
特性方程式 $t^2 - 10t + 25 = 0$、$(t-5)^2 = 0$ で $\alpha = 5$（重解）。
$a_n = (A + Bn) \cdot 5^{n-1}$。
$n = 1$：$A + B = 2$
$n = 2$：$(A + 2B) \cdot 5 = 15$ より $A + 2B = 3$。
$B = 1, A = 1$ より $a_n = (1 + n) \cdot 5^{n-1} = (n+1) \cdot 5^{n-1}$。
重解の場合の公式 $a_n = (A + Bn)\alpha^{n-1}$ を直接用いています。別解として $b_n = a_{n+1} - 5a_n$ が公比 $5$ の等比数列であることを利用し、$\frac{a_n}{5^{n-1}}$ が等差数列であることを導くこともできます。
数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ を満たすとき：
(1) $a_3, a_4, a_5$ を求めよ。
(2) $a_n$ の一般項を求めよ。
(1) $a_3 = 3 + 1 = 4$, $a_4 = 4 + 3 = 7$, $a_5 = 7 + 4 = 11$。
(2) 特性方程式 $t^2 - t - 1 = 0$ で $\alpha = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$。
$A + B = 1$, $A\alpha + B\beta = 3$ を解く。
$A = \frac{3 - \beta}{\alpha - \beta} = \frac{3 - \frac{1-\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{5}} = \frac{5+\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$
$B = 1 - A = 1 - \frac{\sqrt{5}+1}{2} = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$
$$a_n = \frac{\sqrt{5}+1}{2}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1} + \frac{1-\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n-1}$$
$$= \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} + \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}$$
$a_{n+2} = 3a_{n+1} - 2a_n$, $a_1 = 1$, $a_2 = 3$ のとき $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k$ を求めよ。
特性方程式 $t^2 - 3t + 2 = 0$、$(t-1)(t-2) = 0$ で $\alpha = 1, \beta = 2$。
$a_n = A + B \cdot 2^{n-1}$。$A + B = 1$, $A + 2B = 3$ より $B = 2, A = -1$。
$a_n = 2^n - 1$。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n}(2^k - 1) = (2^1 + 2^2 + \cdots + 2^n) - n$
$= \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} - n = 2^{n+1} - 2 - n$
一般項を求めてから和を計算します。$a_n = 2^n - 1$ なので等比数列の和の公式がそのまま使えます。検算：$a_1 = 1, a_2 = 3, a_3 = 7$ で $a_3 = 3 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 7$ ✓。$S_3 = 1 + 3 + 7 = 11 = 2^4 - 2 - 3 = 11$ ✓。