これまで学んだ漸化式の解法を特性方程式の視点で統一的に整理します。特に、3項間漸化式 $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ の特性方程式が2次方程式になることを学び、解が異なる2つの場合と重解の場合を使い分けます。
これまでは $a_{n+1}$ と $a_n$ の2項間の関係式を扱ってきました。ここでは $a_{n+2}$, $a_{n+1}$, $a_n$ の3項が関わる漸化式を考えます。
$$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0 \qquad (q \neq 0)$$
初期条件として $a_1$ と $a_2$ の2つの値が与えられます。
※ $a_{n+2} = -pa_{n+1} - qa_n$ と変形すれば、$a_1$, $a_2$ から順に $a_3, a_4, \ldots$ が定まります。
例：$a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = 4a_{n+1} - 3a_n$
$a_3 = 4 \cdot 3 - 3 \cdot 1 = 9$
$a_4 = 4 \cdot 9 - 3 \cdot 3 = 27$
$a_5 = 4 \cdot 27 - 3 \cdot 9 = 81$
数列：$1, 3, 9, 27, 81, \ldots$ → $a_n = 3^{n-1}$ と予想できます。
2項間漸化式では $a_1$ の1つで数列が確定しました。3項間漸化式では $a_{n+2}$ を求めるのに $a_{n+1}$ と $a_n$ の2つの先行項が必要なため、$a_1$ と $a_2$ の2つの初期条件が必要です。
一般に、$k$ 項間漸化式では $k-1$ 個の初期条件が必要です。
3項間漸化式 $a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ の特性方程式は、$a_{n+2}$, $a_{n+1}$, $a_n$ をそれぞれ $x^2$, $x$, $1$ に置き換えた2次方程式です。
$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ に対する特性方程式は
$$x^2 + px + q = 0$$
この2次方程式の解 $\alpha$, $\beta$ を特性根という。
$a_n = x^n$ という指数関数型の解を仮定して漸化式に代入すると：
$x^{n+2} + px^{n+1} + qx^n = 0$ すなわち $x^n(x^2 + px + q) = 0$
$x^n \neq 0$ なので $x^2 + px + q = 0$。つまり特性方程式の解は「$a_n = x^n$ が漸化式を満たすような $x$ の値」です。
$a_{n+1} = pa_n + q$ の特性方程式 $\alpha = p\alpha + q$ は、$\alpha - p\alpha - q = 0$ すなわち 1次方程式でした。
3項間漸化式では方程式の次数が2次に上がります。解の個数が増え、一般項の表し方が変わります。
特性方程式 $x^2 + px + q = 0$ が異なる2つの解 $\alpha$, $\beta$ をもつとき、漸化式を2つの等比数列型に分解できます。
特性根 $\alpha \neq \beta$ のとき、$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ は
$$a_{n+2} - \alpha \, a_{n+1} = \beta(a_{n+1} - \alpha \, a_n)$$
$$a_{n+2} - \beta \, a_{n+1} = \alpha(a_{n+1} - \beta \, a_n)$$
と分解できる。$b_n = a_{n+1} - \alpha \, a_n$, $c_n = a_{n+1} - \beta \, a_n$ とおくと、$\{b_n\}$ は公比 $\beta$、$\{c_n\}$ は公比 $\alpha$ の等比数列。
一般項は
$$a_n = \frac{A \alpha^{n-1} - B \beta^{n-1}}{\alpha - \beta} \quad \text{（$A = a_2 - \beta a_1$, $B = a_2 - \alpha a_1$）}$$
例：$a_1 = 1$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 3a_n = 0$
特性方程式：$x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = 0$ より $\alpha = 1$, $\beta = 3$
$b_n = a_{n+1} - a_n$ とおくと $b_{n+1} = 3b_n$。$b_1 = a_2 - a_1 = 2$。$b_n = 2 \cdot 3^{n-1}$。
$c_n = a_{n+1} - 3a_n$ とおくと $c_{n+1} = c_n$。$c_1 = 3 - 3 = 0$。$c_n = 0$。
$c_n = 0$ より $a_{n+1} = 3a_n$ すなわち $a_n = 3^{n-1}$。
（検算：$a_3 = 9$, $a_3 - 4a_2 + 3a_1 = 9 - 12 + 3 = 0$ ✓）
✗ 漸化式の係数と特性根の対応を間違える
✓ 解と係数の関係：$\alpha + \beta = -p$, $\alpha\beta = q$ を確認
$a_{n+2} + pa_{n+1} + qa_n = 0$ で $x^2 + px + q = (x - \alpha)(x - \beta)$ より $p = -(\alpha+\beta)$, $q = \alpha\beta$ です。分解の式が正しいか、展開して検証しましょう。
特性方程式が重解 $\alpha = \beta$ をもつ場合、上の方法では $\alpha - \beta = 0$ で割れません。別の扱いが必要です。
特性方程式が重解 $\alpha$ をもつとき（$x^2 + px + q = (x - \alpha)^2$）：
$b_n = a_{n+1} - \alpha \, a_n$ とおくと $b_{n+1} = \alpha \, b_n$（等比数列）
$b_n = b_1 \cdot \alpha^{n-1}$ で $b_1 = a_2 - \alpha a_1$
次に $a_{n+1} - \alpha a_n = b_1 \alpha^{n-1}$ の両辺を $\alpha^{n+1}$ で割り：
$$\frac{a_{n+1}}{\alpha^{n+1}} - \frac{a_n}{\alpha^n} = \frac{b_1}{\alpha^2}$$
$c_n = \dfrac{a_n}{\alpha^n}$ は等差数列。一般項は
$$a_n = \left(\frac{a_1}{\alpha} + (n-1) \cdot \frac{b_1}{\alpha^2}\right) \alpha^n$$
例：$a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = 0$
特性方程式：$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ より $\alpha = 2$（重解）
$b_n = a_{n+1} - 2a_n$ とおくと $b_{n+1} = 2b_n$。$b_1 = 4 - 2 = 2$。$b_n = 2 \cdot 2^{n-1} = 2^n$。
$a_{n+1} - 2a_n = 2^n$。両辺を $2^{n+1}$ で割ると
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{a_n}{2^n} = \dfrac{1}{2}$
$c_n = \dfrac{a_n}{2^n}$ は初項 $c_1 = \dfrac{1}{2}$、公差 $\dfrac{1}{2}$ の等差数列。
$c_n = \dfrac{1}{2} + (n-1) \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{n}{2}$
$a_n = \dfrac{n}{2} \cdot 2^n = n \cdot 2^{n-1}$
（検算：$a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_3 = 12$, $a_3 - 4a_2 + 4a_1 = 12 - 16 + 4 = 0$ ✓）
特性方程式が重解 $\alpha$ をもつとき、一般項は $a_n = (An + B)\alpha^{n-1}$ の形になります。
異なる2解の場合は $a_n = A\alpha^{n-1} + B\beta^{n-1}$ でしたが、重解の場合は $\beta^{n-1}$ の代わりに $n\alpha^{n-1}$ が現れるのが特徴です。
これまでに学んだ漸化式の解法を体系的に整理します。
| 漸化式の型 | 特性方程式 | 一般項の形 |
|---|---|---|
| $a_{n+1} = a_n + d$ | （不要） | $a_1 + (n-1)d$ |
| $a_{n+1} = ra_n$ | （不要） | $a_1 r^{n-1}$ |
| $a_{n+1} = pa_n + q$ | $\alpha = p\alpha + q$ | $(a_1-\alpha)p^{n-1}+\alpha$ |
| $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$（異2解） | $x^2+px+q=0$ | $A\alpha^{n-1}+B\beta^{n-1}$ |
| $a_{n+2}+pa_{n+1}+qa_n=0$（重解） | $x^2+px+q=0$ | $(An+B)\alpha^{n-1}$ |
有名なフィボナッチ数列 $a_1 = a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ も3項間漸化式です。
$a_{n+2} - a_{n+1} - a_n = 0$ の特性方程式 $x^2 - x - 1 = 0$ の解は $\dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$。
$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$（黄金比）, $\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ として一般項（ビネの公式）が得られます。
$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ として
$$a_n = \frac{\alpha^n - \beta^n}{\alpha - \beta} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left\{\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right\}$$
整数値の数列が無理数を含む式で表されるのは驚くべき結果です。
Q1. $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ の特性方程式を解け。
Q2. Q1の漸化式に $a_1 = 1$, $a_2 = 1$ を加えた場合の一般項を求めよ。
Q3. $a_{n+2} - 6a_{n+1} + 9a_n = 0$ の特性方程式は重解をもつか。
Q4. 重解のとき、一般項にはどんな特徴的な因子が現れるか。
Q5. フィボナッチ数列 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ の特性方程式の解を求めよ。
$a_1 = 0$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} - 3a_{n+1} + 2a_n = 0$ で定められる数列の一般項を求めよ。
特性方程式：$x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0$ より $\alpha = 1$, $\beta = 2$
$a_n = A \cdot 1^{n-1} + B \cdot 2^{n-1} = A + B \cdot 2^{n-1}$
$n = 1$：$A + B = 0$、$n = 2$：$A + 2B = 1$
$B = 1$, $A = -1$ より $a_n = 2^{n-1} - 1$
$a_1 = 1$, $a_2 = 6$, $a_{n+2} - 4a_{n+1} + 4a_n = 0$ で定められる数列の一般項を求めよ。
特性方程式：$x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0$ より $\alpha = 2$（重解）
$b_n = a_{n+1} - 2a_n$ とおくと $b_{n+1} = 2b_n$。$b_1 = 6 - 2 = 4$。$b_n = 4 \cdot 2^{n-1} = 2^{n+1}$。
$a_{n+1} - 2a_n = 2^{n+1}$。両辺を $2^{n+1}$ で割ると：
$\dfrac{a_{n+1}}{2^{n+1}} - \dfrac{a_n}{2^n} = 1$
$c_n = \dfrac{a_n}{2^n}$ は初項 $c_1 = \dfrac{1}{2}$、公差 $1$ の等差数列。
$c_n = \dfrac{1}{2} + (n-1) = n - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2n-1}{2}$
$a_n = \dfrac{2n-1}{2} \cdot 2^n = (2n-1) \cdot 2^{n-1}$
$a_1 = 2$, $a_2 = 5$, $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ で定められる数列について：
(1) 一般項 $a_n$ を求めよ。
(2) $a_n$ が $7$ の倍数となる最小の $n$（$n \geq 2$）を求めよ。
(1) $a_{n+2} - 5a_{n+1} + 6a_n = 0$ の特性方程式 $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3) = 0$
$a_n = A \cdot 2^{n-1} + B \cdot 3^{n-1}$
$n=1$：$A + B = 2$、$n=2$：$2A + 3B = 5$。$A = 1$, $B = 1$。
$a_n = 2^{n-1} + 3^{n-1}$
(2) $a_n = 2^{n-1} + 3^{n-1}$ について $\mod 7$ を調べる。
$2^1 \equiv 2$, $2^2 \equiv 4$, $2^3 \equiv 1$, $2^4 \equiv 2, \ldots$（周期 $3$）
$3^1 \equiv 3$, $3^2 \equiv 2$, $3^3 \equiv 6$, $3^4 \equiv 4$, $3^5 \equiv 5$, $3^6 \equiv 1$（周期 $6$）
$a_n \equiv 2^{n-1} + 3^{n-1} \pmod{7}$。$n = 2$: $2+3=5$, $n = 3$: $4+2=6$, $n = 4$: $1+6=0$
$a_4 = 8 + 27 = 35 = 7 \times 5$ ✓。最小の $n$ は $\boldsymbol{4}$。
$a_1 = 1$, $a_2 = 1$, $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$ で定められるフィボナッチ数列について、$b_n = a_{n+1} - \alpha a_n$（$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$）とおくとき：
(1) $\{b_n\}$ が公比 $\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$ の等比数列であることを示せ。
(2) $a_n = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left(\alpha^n - \beta^n\right)$ を示せ。
(1) $b_{n+1} = a_{n+2} - \alpha a_{n+1} = (a_{n+1} + a_n) - \alpha a_{n+1} = (1-\alpha)a_{n+1} + a_n$
$\alpha^2 = \alpha + 1$ より $1 - \alpha = -\alpha + 1 = -\frac{1}{\alpha} \cdot \alpha \cdot (\alpha - 1)$... 別のアプローチで。
$\alpha + \beta = 1$, $\alpha\beta = -1$ より $1 - \alpha = \beta$。
$b_{n+1} = \beta a_{n+1} + a_n = \beta(a_{n+1} - \alpha a_n) + (\alpha\beta + 1)a_n = \beta b_n + 0 = \beta b_n$
（$\alpha\beta = -1$ なので $\alpha\beta + 1 = 0$）よって $\{b_n\}$ は公比 $\beta$ の等比数列。
(2) $b_1 = a_2 - \alpha a_1 = 1 - \alpha = \beta$ より $b_n = \beta \cdot \beta^{n-1} = \beta^n$
$a_{n+1} - \alpha a_n = \beta^n$ …①
同様に $a_{n+1} - \beta a_n = \alpha^n$ …②
②-①：$(\alpha - \beta)a_n = \alpha^n - \beta^n$
$\alpha - \beta = \sqrt{5}$ より $a_n = \dfrac{\alpha^n - \beta^n}{\sqrt{5}}$
フィボナッチ数列は全ての項が自然数ですが、一般項には無理数 $\sqrt{5}$ が含まれます。$\beta^n \to 0$（$|\beta| < 1$）なので、$a_n$ は $\alpha^n / \sqrt{5}$ に最も近い整数に等しくなります。