$\Sigma$ 記号を使いこなすためには、線形性だけでなく、添字の範囲の変換や分割といったテクニックが必要です。この記事では $\Sigma$ の計算で頻出する技法を整理し、実戦的な計算力を身につけます。
$\Sigma$ の和は、添字の範囲を途中で分割したり結合したりできます。
$1 \leq m < n$ のとき：
$$\sum_{k=1}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{m} a_k + \sum_{k=m+1}^{n} a_k$$
※ 和を途中で区切っても、全体の和は変わりません。
例：$\displaystyle\sum_{k=5}^{10} k^2$ を求めよ。
$= \displaystyle\sum_{k=1}^{10} k^2 - \sum_{k=1}^{4} k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} - \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = \frac{2310}{6} - \frac{180}{6} = 385 - 30 = 355$
基本公式は全て $k = 1$ から始まるので、$k = m$ から始まる和は次のように変換します：
$$\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k$$
この「全体から手前を引く」方法は最も基本的なテクニックです。
$\Sigma$ の添字を別の変数に置き換えることで、計算を簡潔にできる場合があります。
$j = k - p$ と置くと（$k = j + p$）：
$$\sum_{k=m}^{n} f(k) = \sum_{j=m-p}^{n-p} f(j+p)$$
※ 添字の開始と終了がともに $p$ だけずれます。
例1：$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (k+1)^2$ を求めよ。
$j = k + 1$ とおくと $k = 0 \Rightarrow j = 1$, $k = n-1 \Rightarrow j = n$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{n} j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
例2：$\displaystyle\sum_{k=3}^{n+2} (2k - 5)$ を求めよ。
$j = k - 2$ とおくと $k = 3 \Rightarrow j = 1$, $k = n+2 \Rightarrow j = n$, $2k - 5 = 2(j+2) - 5 = 2j - 1$
$= \displaystyle\sum_{j=1}^{n} (2j - 1) = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = n^2$
✗ $\displaystyle\sum_{k=2}^{n} k^2$ を $j = k-1$ で置き換えて $\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1} j^2$ とする（$f(k) = k^2$ なのに $f(j)$ にしている）
✓ $j = k-1$ なら $k = j+1$ なので $\displaystyle\sum_{j=1}^{n-1}(j+1)^2$
添字を置き換えたとき、式の中の $k$ も全て $j+1$ に置き換える必要があります。
$\displaystyle\sum_{k=2}^{n} k^2 = \sum_{k=1}^{n} k^2 - 1^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 1$ のように「全体から除く項を引く」方が簡潔な場合も多いです。
シフトと分割、どちらが計算しやすいか見極めましょう。
公式は $k = 1$ から始まる形で覚えますが、実際の問題では $k = 0$ や $k = 2$ から始まる和も頻出します。
例：$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2$ を求めよ。
$k = 0$ のとき $k^2 = 0$ なので：
$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2 = 0 + \sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$k = 0$ の項が $0$ なので、結果は $k = 1$ から始めた場合と同じです。
例：$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (k^2 + 1)$ を求めよ。
$= \displaystyle\sum_{k=0}^{n} k^2 + \sum_{k=0}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1)$
注意：$\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1$（$k = 0, 1, 2, \ldots, n$ の $n+1$ 個）
$\displaystyle\sum_{k=m}^{n}$ の項数は $n - m + 1$ 個です：
$$\sum_{k=m}^{n} 1 = n - m + 1$$
※ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 1 = n - 0 + 1 = n + 1$ 個。$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1 = n - 1 + 1 = n$ 個。
✗ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 1 = n$ とする（$1$ 個足りない）
✓ $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1$（$k = 0$ の分を忘れない）
$k = 0$ から始まるとき、定数の和は $n$ ではなく $n + 1$ になります。
これまで学んだ等差数列・等比数列の和を $\Sigma$ で表現してみましょう。
初項 $a$、公差 $d$ の等差数列 $a_k = a + (k-1)d$：
$$\sum_{k=1}^{n} \{a + (k-1)d\} = na + d \cdot \frac{n(n-1)}{2} = \frac{n\{2a + (n-1)d\}}{2}$$
初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a_k = ar^{k-1}$：
$$\sum_{k=1}^{n} ar^{k-1} = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$$
別の形：$\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} ar^k = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1)$
例：$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 3 \cdot 2^k$ を求めよ。
$= 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 2^k = 3(2 + 2^2 + \cdots + 2^n)$
これは初項 $2$、公比 $2$、項数 $n$ の等比数列の和：
$= 3 \cdot \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 6(2^n - 1) = 3 \cdot 2^{n+1} - 6$
$\Sigma$ の中身が $k$ の多項式なら、$\Sigma k$, $\Sigma k^2$, $\Sigma k^3$ の公式を使います。
$\Sigma$ の中身が $r^k$ の形（指数関数）なら、等比数列の和の公式を使います。
両方が混在する $\Sigma k \cdot r^k$ のような形は、より高度なテクニック（後の記事で扱う部分分数分解や差分法）が必要です。
入試でよく出る $\Sigma$ 計算のテクニックをまとめます。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 - n^2)$ を求めよ。
$n^2$ は $k$ に依存しない定数なので：
$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 - n^2 \sum_{k=1}^{n} 1 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n^3$
$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n^3}{6} = \frac{n(2n^2+3n+1-6n^2)}{6} = \frac{n(-4n^2+3n+1)}{6}$
$= \frac{-n(4n^2-3n-1)}{6} = \frac{-n(4n+1)(n-1)}{6} = \frac{n(n-1)(4n+1)}{6} \times (-1)$
$= -\frac{n(n-1)(4n+1)}{6}$
✗ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ とする（$n^2$ を $k^2$ と混同）
✓ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} n^2 = n^2 \cdot n = n^3$（$n^2$ は $k$ に依存しない定数）
$\Sigma$ の中で $k$ に依存しない項は定数として外に出せます。$n$ は $\Sigma$ の上限であって添字ではありません。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を求めよ。
展開：$k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k$
$= \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$
$= \frac{n(n+1)}{4}\{n(n+1) + 2(2n+1) + 4\} = \frac{n(n+1)(n^2+5n+6)}{4}$
$= \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
一般に、連続する $m$ 個の整数の積の和は $\frac{n(n+1)(n+2)\cdots(n+m)}{m+1}$ となります。この規則性を知っておくと検算に便利です。
Step 1：$\Sigma$ の中身を確認し、多項式なら展開、$r^k$ なら等比数列
Step 2：$k$ に依存しない項（$n$ を含む定数）を $\Sigma$ の外に出す
Step 3：線形性で分解し、各 $\Sigma$ に公式を代入
Step 4：通分して因数分解し、$n = 1, 2$ で検算
Q1. $\displaystyle\sum_{k=3}^{8} k$ を求めよ。
Q2. $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} (2k+1)$ を求めよ。
Q3. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 5 \cdot 3^k$ を求めよ。
Q4. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} nk$ を求めよ（$n$ は定数）。
Q5. $\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)$ を求めよ。
次の和を求めよ。
(1) $\displaystyle\sum_{k=4}^{10} k^2$
(2) $\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} (3k+2)$
(1) $\sum_{k=1}^{10}k^2 - \sum_{k=1}^{3}k^2 = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} - \frac{3 \cdot 4 \cdot 7}{6} = 385 - 14 = 371$
(2) $j = k+1$ とおくと $\sum_{j=1}^{n}(3j-1) = 3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} - n = \frac{3n^2+n}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}$
別解：$3\sum_{k=0}^{n-1}k + 2 \cdot n = 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 2n = \frac{3n^2-3n+4n}{2} = \frac{n(3n+1)}{2}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k^2 - 2nk + n^2)$ を求めよ。
$k^2 - 2nk + n^2 = (k-n)^2$ なので
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}(k-n)^2 = \sum_{k=1}^{n}(k^2 - 2nk + n^2)$
$= \sum k^2 - 2n\sum k + n^2 \sum 1$
$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 2n \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n^2 \cdot n$
$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - n^2(n+1) + n^3$
$= \frac{n(n+1)(2n+1) - 6n^2(n+1) + 6n^3}{6}$
$= \frac{n\{(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 6n^2\}}{6}$
$= \frac{n(2n^2+3n+1-6n^2-6n+6n^2)}{6} = \frac{n(2n^2-3n+1)}{6} = \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$
別解：$j = n - k$ とおくと $k = 1 \Rightarrow j = n-1$, $k = n \Rightarrow j = 0$ で $(k-n)^2 = j^2$。$\sum_{j=0}^{n-1}j^2 = \frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$。
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (k + 2^k)$ を求めよ。
$= \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 2^k$
$= \frac{n(n+1)}{2} + \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1}$
$= \frac{n(n+1)}{2} + 2^{n+1} - 2$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)$ を求め、$n = 10$ のときの値を計算せよ。
$k(k+1)(k+2) = k^3 + 3k^2 + 2k$ を展開して
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}$
$= \frac{n^2(n+1)^2}{4} + \frac{n(n+1)(2n+1)}{2} + n(n+1)$
$= \frac{n(n+1)}{4}\{n(n+1) + 2(2n+1) + 4\}$
$= \frac{n(n+1)(n^2 + 5n + 6)}{4} = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$
$n = 10$：$\frac{10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13}{4} = \frac{17160}{4} = 4290$
$\sum k(k+1)(k+2) = \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$ は「連続4整数の積を4で割る」という美しい形。この規則は $\sum k(k+1)\cdots(k+m-1) = \frac{n(n+1)\cdots(n+m)}{m+1}$ と一般化される。