2つの円が「どう配置されているか」は、中心間の距離と半径の大小関係だけで決まります。
5つのパターンを整理し、共通接線の本数や長さ、共通弦の性質まで体系的に理解しましょう。
平面上に2つの円があるとき、それらがどんな関係にあるかは、 中心間の距離 $d$ と 2つの半径 $r$, $r'$（$r \geq r'$）の大小だけで完全に決まります。 まず、この事実がなぜ成り立つのかを考えましょう。
円とは「中心からの距離が一定（＝半径）の点の集合」です。 2つの円 $O$, $O'$ の共有点とは、円 $O$ の上にも円 $O'$ の上にもある点のことです。 共有点 $P$ があるとすると、$OP = r$ かつ $O'P = r'$ を満たします。 三角形 $OPO'$ を考えれば、三角形の成立条件（三辺の関係）から共有点の存在が判定できるのです。
2つの円の共有点 $P$ が存在するとき、$O$, $P$, $O'$ は三角形を作ります（または一直線上）。 三角形の辺の長さは $OP = r$, $O'P = r'$, $OO' = d$ です。
三角不等式「2辺の差 $\leq$ 第3辺 $\leq$ 2辺の和」を $d$ について書くと：
$$r - r' \leq d \leq r + r'$$
この不等式を満たすとき（等号含む）、共有点が存在します。 等号のときは共有点が1個（接する）、真に不等式が成り立つときは共有点が2個（交わる）です。
2つの円 $O$（半径 $r$）と $O'$（半径 $r'$, $r \geq r'$）の中心間の距離を $d = OO'$ とします。 $d$ の値によって、以下の5パターンに分かれます。
(i) 互いに外部にある：$d > r + r'$ 共有点なし
(ii) 外接する：$d = r + r'$ 共有点1個（外側で接する）
(iii) 2点で交わる：$r - r' < d < r + r'$ 共有点2個
(iv) 内接する：$d = r - r'$ 共有点1個（内側で接する）
(v) 一方が他方の内部にある：$d < r - r'$ 共有点なし
✕ 誤：「内接するのは $d = r + r'$ のとき」
○ 正：内接は $d = r - r'$。外接は $d = r + r'$。
覚え方：外接するとき2つの円は「外側」で触れるので、中心間の距離は半径の「和」。 内接するとき大きい円の中に小さい円がすっぽり入って「内側」で触れるので、距離は半径の「差」。
図をイメージして確認しましょう。外接なら2つの中心の間に接点があり $d = r + r'$。 内接なら中心と接点が同じ側に並び $d = r - r'$。
内接の条件は正確には $d = |r - r'|$ です。$r \geq r'$ を仮定しているから $|r - r'| = r - r'$ と書けるのです。
✕ 誤：「半径3の円と半径5の円が内接する条件は $d = 3 - 5 = -2$」→ 距離が負になるのはおかしい！
○ 正：$d = |3 - 5| = 2$。大きい方から小さい方を引く（または絶対値を使う）。
2つの円の方程式を連立して解くと、共有点の座標が求まります。 $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ と $(x - a')^2 + (y - b')^2 = r'^2$ を引き算すると、 共有点を含む直線の方程式（根軸と呼ばれます）が得られます。
大学の解析幾何学では、この根軸が2つの円に対する「等しいべき（power）を持つ点の集合」として一般化されます。 3つの円の根軸は1点（根心）で交わるという美しい定理もあります。
1つの直線が2つの円の両方に接しているとき、その直線を共通接線といいます。 共通接線には2種類あります。
共通外接線は2つの円の「外側」を通る接線で、2つの円が離れていても外接していても交わっていても引けます。 ただし、一方が他方の内部に入ると引けなくなります。
共通内接線は2つの円の「間」を通る接線で、2つの円の間に隙間がないと引けません。 つまり、2つの円が交わっている状態では共通内接線は存在しません。
この「間を通れるかどうか」が、位置関係ごとに共通接線の本数が変わる理由です。
| 位置関係 | 条件 | 共通外接線 | 共通内接線 | 合計 |
|---|---|---|---|---|
| (i) 外部にある | $d > r + r'$ | 2本 | 2本 | 4本 |
| (ii) 外接する | $d = r + r'$ | 2本 | 1本 | 3本 |
| (iii) 2点で交わる | $r - r' < d < r + r'$ | 2本 | 0本 | 2本 |
| (iv) 内接する | $d = r - r'$ | 1本 | 0本 | 1本 |
| (v) 内部にある | $d < r - r'$ | 0本 | 0本 | 0本 |
外接するとき、接点を通る共通内接線は1本だけです。 接点の両側に共通内接線を引こうとしても、接点で2つの円が触れ合っているため、1本に合流してしまいます。
✕ 誤：「外接だから接点の左右に内接線が1本ずつで2本」
○ 正：外接するとき、接点を通る直線が唯一の共通内接線（1本）。 共通外接線2本と合わせて計3本。
2つの円 $O$, $O'$ が外接し、接点を $T$ とします。$T$ を通る直線 $\ell$ を考えます。
$\ell$ が共通内接線であるためには、$\ell \perp OO'$ でなければなりません。 なぜなら、$OT$ は円 $O$ の接点における半径で $\ell \perp OT$。 同様に $O'T$ は円 $O'$ の接点における半径で $\ell \perp O'T$。 $O$, $T$, $O'$ は一直線上（外接の性質）なので、$OT$ と $O'T$ は同一直線。 したがって $\ell \perp OO'$ となる直線は1本だけです。
共通外接線は、$OO'$ の延長上の外分点を通る接線として考えられ、2本存在します。
したがって合計3本です。
共通外接線の2本は、$OO'$ の延長上の1点（外相似の中心）を通ります。 共通内接線の2本は、線分 $OO'$ 上の1点（内相似の中心）を通ります。
外相似の中心は $OO'$ を $r : r'$ に外分する点、内相似の中心は $r : r'$ に内分する点です。 これは射影幾何学の相似変換の中心と呼ばれる概念で、 2つの円を互いに写す拡大・縮小の中心点に対応します。
共通接線の長さとは、2つの円との接点間の距離のことです。 この長さを求めるには、「中心と接点を結んで直角三角形を作る」のが基本戦略です。
円の接線は接点における半径に垂直です。 これを利用すると、2つの中心と2つの接点を結ぶ四角形の中に直角三角形が見えてきます。
共通外接線の場合、片方の中心から他方の接点に向かって垂線を下ろすと、 直角三角形の斜辺が $d$、一辺が $r - r'$（半径の差）となります。
共通内接線の場合は、一辺が $r + r'$（半径の和）となります。
2つの円 $O$（半径 $r$）, $O'$（半径 $r'$）の中心間の距離を $d$ とするとき：
共通外接線の長さ：
$$\ell_{\text{外}} = \sqrt{d^2 - (r - r')^2}$$
共通内接線の長さ：
$$\ell_{\text{内}} = \sqrt{d^2 - (r + r')^2}$$
共通外接線が円 $O$ と接点 $A$ で、円 $O'$ と接点 $B$ で接しているとします。
$O'$ から直線 $OA$ に垂線 $O'H$ を下ろします。$OA \perp AB$（接線と半径は垂直）かつ $O'B \perp AB$ なので、 四角形 $ABOH'$ は長方形の一部になります。
$O'H \parallel AB$ より $O'H = AB = \ell_{\text{外}}$。 また $OH = OA - HA = r - r'$。
直角三角形 $OHO'$ で三平方の定理より：
$$d^2 = OH^2 + O'H^2 = (r - r')^2 + \ell_{\text{外}}^2$$
$$\therefore \quad \ell_{\text{外}} = \sqrt{d^2 - (r - r')^2}$$
円 $O$（半径5）と円 $O'$（半径2）の中心間の距離が $d = 7$ のとき、 2つの円は外接しています（$d = 5 + 2 = 7$）。共通外接線の長さを求めましょう。
$$\ell_{\text{外}} = \sqrt{7^2 - (5 - 2)^2} = \sqrt{49 - 9} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$$
公式をうろ覚えで使うと、和と差を取り違えやすいです。
✕ 誤：共通外接線の長さ $= \sqrt{d^2 - (r + r')^2}$
○ 正：共通外接線の長さ $= \sqrt{d^2 - (r - r')^2}$
覚え方：共通外接線は2つの円の外側を通るので、半径の差（外側の量）。 共通内接線は2つの円の間を通るので、半径の和（内側を跨ぐ量）。 直角三角形を描いて導出する方が確実です。
工学では、2つの滑車にベルトをかけるときの長さを求める問題があります。 ベルトは2つの円（滑車）の共通外接線と、それぞれの弧の部分からなります。
共通外接線の長さの公式はそのまま使えます。 弧の長さは、中心と接点を結ぶ半径が作る角度から求まります。 このように、共通接線の長さは純粋な幾何の問題にとどまらず、 機械設計や物理の場面でも活用されます。
2つの円が異なる2点で交わるとき、その2つの交点を結ぶ線分を共通弦といいます。 また、2つの円の中心を結ぶ直線を中心線といいます。
共通弦と中心線には、重要な性質があります。
2つの円が2点 $A$, $B$ で交わるとき、$A$ と $B$ はどちらの円の上にもあります。 したがって、$OA = OB = r$（円 $O$ 上の点）かつ $O'A = O'B = r'$（円 $O'$ 上の点）。
$O$ は $A$, $B$ から等距離にあるので中心線上に、$O'$ も同様に中心線上にあります。 「2点から等距離にある点の集合＝垂直二等分線」ですから、 中心線 $OO'$ は線分 $AB$（共通弦）の垂直二等分線です。
2つの円の方程式が与えられたとき、共通弦の方程式は引き算で求められます。
円 $O$：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ と 円 $O'$：$x^2 + y^2 + D'x + E'y + F' = 0$ を辺々引くと
$$(D - D')x + (E - E')y + (F - F') = 0$$
これは直線の方程式であり、2つの円の交点を通る直線（共通弦を含む直線）を表します。
共有点 $P(x_0, y_0)$ は両方の円の方程式を満たします。
つまり $x_0^2 + y_0^2 + Dx_0 + Ey_0 + F = 0$ かつ $x_0^2 + y_0^2 + D'x_0 + E'y_0 + F' = 0$。
引き算すると $(D-D')x_0 + (E-E')y_0 + (F-F') = 0$。
これは共有点 $P$ がこの直線上にあることを意味します。 共有点が2つあるとき、その2点を通る直線は1つだけなので、 この式が共通弦を含む直線の方程式になります。
外接するとき、接点は中心線上にあり、接点は $OO'$ を $r : r'$ に内分する点です。 内接するとき、接点も中心線上にあり、接点は $OO'$ を $r : r'$ に外分する点（または同じ向きに並ぶ点）です。
円の方程式が $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ の形で与えられた場合、 そのまま引き算しても共通弦の方程式にはなりません。
✕ 誤：$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ と $(x-3)^2 + (y+1)^2 = 4$ をそのまま引く
○ 正：まず両方を $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ の形に展開してから引く。 展開すると $x^2 + y^2 - 2x - 4y - 4 = 0$ と $x^2 + y^2 - 6x + 2y + 6 = 0$。 引き算：$4x - 6y - 10 = 0$、すなわち $2x - 3y - 5 = 0$。
2つの円の方程式の差で得られる直線は、2つの円が交わらない場合でも意味を持ちます。 この直線を根軸（radical axis）と呼びます。
根軸上の任意の点 $P$ について、円 $O$ に対するべき $PA \cdot PB$（$P$ から円 $O$ への割線の積）と 円 $O'$ に対するべきが等しいという性質があります。 これは8-8で学んだ方べきの定理の一般化です。
3つの円の根軸は1点（根心）で交わり、 これは3つの円に対するべきがすべて等しい点です。
2つの円に関する問題では、3つの道具が中心的な役割を果たします。
| 道具 | 定義 | いつ使うか |
|---|---|---|
| 中心線 | 2つの中心 $O$, $O'$ を結ぶ直線 | 接点の位置、対称性の議論 |
| 共通弦 | 2つの交点を結ぶ線分 | 2円が交わるとき、方程式の引き算 |
| 共通接線 | 2つの円に同時に接する直線 | 接線の長さ、角度の問題 |
Q1. 半径4の円と半径2の円の中心間の距離が3のとき、2つの円の位置関係を答えてください。
Q2. 2つの円が外接するとき、共通接線は何本ですか？ そのうち共通内接線は何本ですか？
Q3. 半径5の円と半径3の円が中心間距離10で離れているとき、共通外接線の長さを求めてください。
Q4. 2つの円が2点で交わるとき、中心線と共通弦にはどんな関係がありますか？
Q5. 2つの円 $x^2 + y^2 = 25$ と $x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$ の共通弦を含む直線の方程式を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
半径 $r$ の円 $O$ と半径 $2$ の円 $O'$ が外接している。中心間の距離が $7$ であるとき、$r$ の値を求めよ。
$r = 5$
方針：外接の条件 $d = r + r'$ を使う。
$7 = r + 2$ より $r = 5$。
$r > 0$ を満たすので適する。
半径 $3$ の円 $O$ と半径 $2$ の円 $O'$ の中心間の距離が $\sqrt{26}$ であるとき、共通外接線の長さを求めよ。
$5$
方針：共通外接線の長さの公式 $\ell = \sqrt{d^2 - (r-r')^2}$ を適用する。
$\ell = \sqrt{(\sqrt{26})^2 - (3-2)^2} = \sqrt{26 - 1} = \sqrt{25} = 5$
半径 $r$ の円と半径 $3$ の円が異なる2点で交わるとき、中心間の距離が $5$ であるような $r$ の値の範囲を求めよ。
$2 < r < 8$
方針：2点で交わる条件 $|r - r'| < d < r + r'$ を使う。
$|r - 3| < 5 < r + 3$ を解く。
$r + 3 > 5$ より $r > 2$。
$|r - 3| < 5$ より $-5 < r - 3 < 5$、すなわち $-2 < r < 8$。$r > 0$ と合わせて $0 < r < 8$。
両方を満たす範囲は $2 < r < 8$。
半径 $r$, $r'$ の2つの円 $O$, $O'$ が点 $C$ で外接している。この2円の共通外接線の接点を $A$, $B$ とするとき、次のことを証明せよ。
(1) $AC \perp BC$
(2) $AB = 2\sqrt{rr'}$
(1), (2) ともに以下の解説参照。
(1) の証明：
$A$ は円 $O$ 上の点で $OA = r$, $C$ も円 $O$ 上の点で $OC = r$。 $B$ は円 $O'$ 上の点で $O'B = r'$, $C$ も円 $O'$ 上の点で $O'C = r'$。
$OA \perp AB$（接線と半径は垂直）より $\angle OAB = 90°$。
同様に $O'B \perp AB$ より $\angle O'BA = 90°$。
$OC + O'C = r + r' = OO'$（外接）なので $O$, $C$, $O'$ は一直線上。
ここで直線 $AB$ 上の点 $M$（$AB$ と $OO'$ の交点）を考えると、 $MA$ は円 $O$ の接線の長さ、$MC$ を含む割線に対して方べきの定理が使えます。
別解として、半円の弧に対する円周角は $90°$ であることを利用します。 $OC$ は円 $O$ の半径で、直径 $OC$ の延長を考えると、$\angle OAC$ に関連する角を追跡できます。
$\angle ACB$ について：$\angle OAC = \angle OCA$（$OA = OC$ の二等辺三角形）、 $\angle O'BC = \angle O'CB$（$O'B = O'C$ の二等辺三角形）。 $\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180°$ より $\angle OAC = \frac{180° - \angle AOC}{2}$。 同様に $\angle O'BC = \frac{180° - \angle BO'C}{2}$。
$\angle ACB = \angle OCA + \angle O'CB = \angle OAC + \angle O'BC$。 一方 $\angle OAB = 90°$ なので $\angle OAC + \angle CAB = 90°$。 同様に $\angle O'BA = 90°$ なので $\angle O'BC + \angle CBA = 90°$。
三角形 $ABC$ の内角の和より $\angle CAB + \angle CBA + \angle ACB = 180°$。 $(90° - \angle OAC) + (90° - \angle O'BC) + \angle ACB = 180°$ より $\angle ACB = \angle OAC + \angle O'BC$。 上の2式から $\angle ACB = \angle ACB$（恒等式）なので、別の方法で示します。
直接的な証明：$\angle CAB + \angle CBA = (90° - \angle OAC) + (90° - \angle O'BC)$。 $\angle OAC + \angle O'BC = \angle ACB$ を示すために、 $\angle AOC + \angle BO'C = 180°$（$O$, $C$, $O'$ 一直線上で同じ側に $A$, $B$）を使います。 $\angle OAC = 90° - \frac{\angle AOC}{2}$, $\angle O'BC = 90° - \frac{\angle BO'C}{2}$。 $\angle OAC + \angle O'BC = 180° - \frac{\angle AOC + \angle BO'C}{2}$。 ここで $\angle AOC + \angle BO'C$ の値は一般に $180°$ とはならないので、内角の和から： $\angle ACB = 180° - \angle CAB - \angle CBA = 180° - (90° - \angle OAC) - (90° - \angle O'BC) = \angle OAC + \angle O'BC$。 したがって $\angle ACB = \angle OAC + \angle O'BC = (90° - \frac{\angle AOC}{2}) + (90° - \frac{\angle BO'C}{2}) = 180° - \frac{\angle AOC + \angle BO'C}{2}$。 $\angle AOC + \angle BO'C = 360° - 2 \angle ACB$ ... これは循環的なので、以下の直接法を使います。
直接法（接線の長さの利用）： 共通外接線と $AB$ の交点を $M$ とします。$M$ から円 $O$ に引いた2本の接線の長さは等しいので $MA = MC$。 同様に $MB = MC$。したがって $MA = MB = MC$。 つまり $M$ は $AC$, $BC$ の中点から等距離にあり、$M$ は線分 $AB$ 上にあって $MC$ の長さは $MA = MB$ に等しい。 3点 $A$, $C$, $B$ は $M$ を中心とする円の上にあり、$AB$ はその直径。 直径に対する円周角より $\angle ACB = 90°$。
(2) の証明：
$d = OO' = r + r'$（外接条件）。共通外接線の長さの公式より
$AB = \sqrt{d^2 - (r - r')^2} = \sqrt{(r+r')^2 - (r-r')^2}$
$= \sqrt{4rr'} = 2\sqrt{rr'}$