円の接線は、半径と垂直に交わるという美しい性質をもっています。
この1つの性質から、接線の長さの定理や接弦定理まで、すべてが自然に導かれます。
円の接線とは、円とちょうど1点だけを共有する直線のことです。 その共有点を接点といいます。
中学校でも「接線は半径に垂直」と習いましたが、なぜそうなるのか、原理から理解しましょう。 この性質は円と接線に関するすべての定理の出発点です。
接線が半径に垂直になる理由は、「円の中心から直線に下ろした垂線の足が最短距離を与える」という事実にあります。
円の中心 $O$ から直線 $\ell$ に垂線を下ろし、その足を $H$ とすると、$OH$ は $O$ から $\ell$ 上の任意の点への距離の中で最小です。 直線 $\ell$ が円と接点 $A$ でちょうど接するとき、$OA = r$（半径）であり、$\ell$ 上の他の点はすべて $O$ から $r$ より遠くなければなりません。
これが成り立つのは、$A$ がまさに垂線の足 $H$ と一致するとき、つまり $OA \perp \ell$ のときだけです。
円 $O$ の接線 $\ell$ と接点 $A$ について、$OA \perp \ell$ を証明します。
背理法：$OA \perp \ell$ でないと仮定します。
$O$ から $\ell$ に垂線を下ろし、その足を $H$（$H \neq A$）とします。 垂線の足は最短距離を与えるので、$OH < OA = r$ です。
直線 $\ell$ 上に、$H$ に関して $A$ と反対側に $HA' = HA$ となる点 $A'$ をとると、 $\triangle OHA \equiv \triangle OHA'$（直角三角形で斜辺と他の1辺が等しい）より $OA' = OA = r$ です。
つまり $A'$ も円 $O$ 上の点になります。すると $\ell$ は円と $A$ と $A'$ の2点で交わることになり、$\ell$ が接線（1点のみで共有）であることに矛盾します。
よって、$OA \perp \ell$ です。$\blacksquare$
定理：円 $O$ の接線 $\ell$ は、接点 $A$ を通る半径 $OA$ に垂直である。
$$OA \perp \ell$$逆：円 $O$ の周上の点 $A$ を通る直線 $\ell$ が半径 $OA$ と垂直ならば、$\ell$ はこの円の接線である。
✕ 誤：「直線が円と1点だけ共有するなら、その点で半径に垂直」と覚えて、交点の個数だけで判断する。
○ 正：大切なのは、接線の性質の証明の構造を理解することです。 「中心からの距離 ＝ 半径」のとき接する、「中心からの距離 ＜ 半径」のとき2点で交わる。 この「中心からの距離」が垂線の長さであることが本質です。
座標幾何で「直線と円の交点の個数」を判別式で求めるとき、判別式 $D = 0$ が接する条件ですが、 これは「中心と直線の距離 ＝ 半径」と同値です。
数学IIの微分で学ぶ接線は、曲線上の1点における「傾き」をもつ直線です。 円の場合、点 $(a, b)$ における接線の傾きは、その点での半径の傾きと直交する方向になります。
つまり、「接線は半径に垂直」という幾何的な事実は、微分の言葉で言えば 「曲線の法線（接線に垂直な直線）が中心を通る」ということです。 この性質は円に限らず、楕円や双曲線などの二次曲線にも一般化されます。
円の外部の点 $P$ から円に引ける接線は2本あります。 2本の接線の接点をそれぞれ $A$, $B$ とするとき、$PA$ と $PB$ を接線の長さといいます。
接線の長さが等しくなる理由は、$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ が合同になるからです。
$OA = OB$（ともに半径）、$OP$ は共通、$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$（接線は半径に垂直）。 斜辺と他の1辺が等しい直角三角形は合同なので、$PA = PB$ が導かれます。
つまり、「接線は半径に垂直」という1つの事実が、「接線の長さが等しい」を導いているのです。
定理：円の外部の1点 $P$ から円に引いた2本の接線について、2つの接線の長さは等しい。
$$PA = PB$$さらに、$OP$ は $\angle APB$ の二等分線であり、弧 $AB$ の中点を通ります。
円 $O$ の外部の点 $P$ から2本の接線を引き、接点を $A$, $B$ とします。
$\triangle OAP$ と $\triangle OBP$ において：
・$OA = OB$（半径）
・$OP = OP$（共通）
・$\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$（接線は半径に垂直）
斜辺と他の1辺が等しいので $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$。
よって $PA = PB$。$\blacksquare$
$\triangle ABC$ の内接円（各辺に内側から接する円）の接点を、辺 $BC$ 上に $P$、辺 $CA$ 上に $Q$、辺 $AB$ 上に $R$ とします。 接線の長さの定理より、各頂点から2つの接点までの距離は等しいので：
$$AR = AQ, \quad BP = BR, \quad CP = CQ$$$AR = x$, $BP = y$, $CQ = z$ とおくと、3辺の長さは $a = y + z$, $b = z + x$, $c = x + y$ と表せます。 これを解くと：
$$x = \frac{-a + b + c}{2}, \quad y = \frac{a - b + c}{2}, \quad z = \frac{a + b - c}{2}$$つまり $x = s - a$, $y = s - b$, $z = s - c$（$s = \dfrac{a+b+c}{2}$：半周長）です。 この表記は面積公式（ヘロンの公式）などでも頻出します。
✕ 誤：「$AR = x$ で $a = BC$ だから $x = a$ のどこか」と曖昧に考える。
○ 正：$a = BC = BP + PC = y + z$、$b = CA = CQ + QA = z + x$、$c = AB = AR + RB = x + y$。 3つの連立方程式を解いて初めて $x, y, z$ が求まります。
具体例で確認しましょう。$a = 13$, $b = 9$, $c = 10$ なら $s = 16$ より $x = 16 - 13 = 3$, $y = 16 - 9 = 7$, $z = 16 - 10 = 6$。 検算：$y + z = 13 = a$ ✓
四角形 $ABCD$ が円に外接する（4辺がすべて円に接する）とき、接線の長さの定理を各頂点に適用すると、 $AB + CD = AD + BC$ が成り立ちます。
これは「対辺の和が等しい」という美しい性質で、円に外接する四角形の必要十分条件でもあります。 三角形の内接円の問題と本質的に同じ原理（接線の長さの等しさ）が使われています。
円の接線と弦が作る角には、円周角と深い関係があります。 この関係を述べたのが接弦定理です。
直線 $AT$ が点 $A$ で円に接し、$AB$ が弦であるとき、接線と弦の作る角 $\angle BAT$ は、 その角の内部に含まれる弧 $AB$ に対する円周角と等しくなります。
接弦定理が成り立つ理由を直感的に理解するには、「接線は弦の極限」というイメージが有効です。
弧 $AB$ 上の点 $P$ を $A$ に限りなく近づけると、弦 $AP$ は接線 $AT$ に限りなく近づきます。 このとき、$\angle APB$（弧 $AB$ に対する円周角）は一定のまま、$P$ が $A$ に近づく極限で $\angle BAT$ になります。
つまり、接弦定理の角 $\angle BAT$ は、円周角 $\angle APB$ の「$P \to A$ の極限」なのです。
定理：直線 $AT$ が点 $A$ における円の接線ならば
$$\angle BAT = \angle APB$$（$P$ は弧 $AB$ のうち $\angle BAT$ の内部にある側の弧上の点）
逆：$\angle BAT = \angle APB$ ならば、直線 $AT$ は点 $A$ における円の接線である。
円 $O$ の接線 $AT$ と弦 $AB$ について、$\angle BAT$ が鋭角の場合を証明します。
Step 1：$AB$ を直径にする点 $D$ を円周上にとります（$AD$ が直径）。
Step 2：$AD$ は直径なので $\angle ABD = 90^\circ$。 また、$AT$ は接線なので $OA \perp AT$、すなわち $\angle DAT = 90^\circ$（$AD$ は直径 ＝ 半径の延長なので）。
Step 3：$\angle BAT = 90^\circ - \angle BAD = \angle ADB$。
Step 4：$\angle ADB$ は弧 $AB$ に対する円周角なので、$\angle ADB = \angle APB$。
よって $\angle BAT = \angle APB$。$\blacksquare$
弦 $AB$ は円を2つの弧に分けます。接弦定理で等しくなるのは、接線と弦の作る角の「内部」にある弧に対する円周角です。
✕ 誤：$\angle BAT = 50^\circ$ のとき、弧 $AB$ の反対側（優弧側）の円周角 $\angle AQB$ も $50^\circ$ だと思う。
○ 正：反対側の弧に対する円周角は $\angle AQB = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$ です。 接弦定理では、$\angle BAT$ の内部にある側の弧を使います。
接線の反対側の角 $\angle BAT' = 180^\circ - \angle BAT = 130^\circ$ が、反対側の弧の円周角に対応します。
接弦定理を使うとき、最も多いミスは「接線のどちら側の角をとるか」の混同です。
✕ 誤：接線 $AT$ と弦 $AB$ の作る角として、接線の上下どちらでもよいと思い、鈍角の方を選んでしまう。
○ 正：接線と弦は2つの角（鋭角と鈍角、合計 $180^\circ$）を作ります。 それぞれが、弦で分けられた2つの弧の一方の円周角に対応します。 問題文の図をよく見て、「どちらの弧に対する円周角か」を確認するのが鉄則です。
接弦定理が「円周角の極限」であるという見方は、大学数学の射影幾何学につながります。 射影幾何では、接線は「2つの交点が一致した割線（セカント）」と捉えます。
また、接弦定理の逆を使って「ある直線が円の接線であること」を証明する手法は、 初等幾何の証明で頻出するテクニックです。角度の情報から位置関係（接する/交わる）を導けるのは、 ユークリッド幾何学の美しさの1つです。
ここまでの知識を組み合わせて、やや発展的な性質を見ていきましょう。 いずれも「接線は半径に垂直」と「接線の長さが等しい」の2つの基本性質から導かれます。
円 $O$ の外部の点 $P$ から2本の接線を引き、接点を $A$, $B$ とします。 $\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ より、$OP$ は $\angle APB$ の二等分線です。 さらに、$OP$ は線分 $AB$ の垂直二等分線でもあります。
2本の接線に関する多くの性質は、直線 $OP$ に関する対称性から導かれます。
$\triangle OAP \equiv \triangle OBP$ という合同が、$PA = PB$（接線の長さ）、 $\angle APO = \angle BPO$（角の二等分）、$AM = BM$（垂直二等分）をすべて一気に示します。
問題で「2本の接線」が出てきたら、まず中心 $O$ と外部の点 $P$ を結ぶ直線を考えるのが定石です。 この直線が対称軸になっていることが、解法の出発点になります。
$\triangle ABC$ の内接円の中心（内心）$I$ は、3つの角の二等分線の交点です。 なぜ角の二等分線が内接円の中心を与えるのでしょうか？
頂点 $A$ から内接円への2本の接線は、辺 $AB$ と辺 $AC$ の一部です。 接線の長さの定理から $AR = AQ$ なので、点 $A$ から2つの接点までの距離が等しい。 これは $AI$ が $\angle A$ の二等分線であることを意味します。 同様に $BI$ と $CI$ もそれぞれ $\angle B$, $\angle C$ の二等分線です。
✕ 誤：「接線の長さ」と「内接円の半径」を同じものだと思う。
○ 正：接線の長さ $AR = s - a$ は頂点から接点までの距離。 内接円の半径 $r$ は中心から辺（接点）までの距離。まったく別の量です。
面積を使った関係式 $S = rs$（$S$：三角形の面積、$s$：半周長）を思い出しましょう。 $r$ と $s - a$ は異なる長さです。
四角形 $ABCD$ が円に外接する（4辺すべてが円に接する）とき、各辺と円の接点に接線の長さの定理を適用します。 各頂点から近い方の2つの接点までの距離が等しいので：
$$AB + CD = (AP + PB) + (CQ + QD) = AD + BC$$ここで $AP = AS$, $BP = BR$, $CR = CQ$, $DS = DQ$ を使いました。 つまり、対辺の和が等しい：$AB + CD = AD + BC$。
✕ 誤：「円に外接する四角形」と聞いて、四角形の外側に円があると思う。
○ 正：「四角形が円に外接する」とは、四角形の4辺がすべて円に接していること。 円は四角形の内側にあります。「四角形の内部に接円がある」と読み替えるとわかりやすいでしょう。
逆に、「四角形が円に内接する」とは四角形の4頂点がすべて円周上にある（円が外側にある）ことです。
三角形には内接円のほかに、傍接円（ぼうせつえん）が3つあります。 傍接円は、三角形の1辺とその両隣の辺の延長に接する円です。
傍接円の半径を $r_a$ とすると、$r_a = \dfrac{S}{s - a}$（$S$：面積、$s$：半周長）で、 内接円の半径 $r = \dfrac{S}{s}$ と美しい対応をなします。 接線の長さの定理は、傍接円でもまったく同じように使えます。
この記事で学んだ定理はすべて、「接線は半径に垂直」という1つの性質から派生しています。 全体の関係を整理しましょう。
| 定理 | 内容 | 根拠 |
|---|---|---|
| 基本性質 | 接線は半径に垂直：$OA \perp \ell$ | 背理法（垂線の最短性） |
| 接線の長さ | $PA = PB$ | 直角三角形の合同 |
| 接弦定理 | $\angle BAT = \angle APB$ | 直径を使った角度計算 |
| 外接四角形 | $AB + CD = AD + BC$ | 接線の長さの定理の応用 |
Q1. 円の接線が接点を通る半径に垂直であることを、背理法で証明する際のポイントを述べてください。
Q2. 円 $O$ の外部の点 $P$ から円に2本の接線を引き、接点を $A$, $B$ とします。$PA = PB$ が成り立つ理由を簡潔に述べてください。
Q3. $\triangle ABC$ で $BC = 13$, $CA = 9$, $AB = 10$ のとき、内接円と辺 $AB$ の接点 $R$ について、$AR$ の長さを求めてください。
Q4. 接弦定理とはどのような定理ですか？ 一言で述べてください。
Q5. 四角形 $ABCD$ が円に外接するとき、成り立つ辺の関係式を答えてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$\triangle ABC$ の内接円の半径が $r = 2$, $\angle A = 90^\circ$, $BC = 10$ であるとき、辺 $AB$, $AC$ の長さをそれぞれ求めよ。
$AB = 8$, $AC = 6$（または $AB = 6$, $AC = 8$）
方針：$\angle A = 90^\circ$ のとき内接円の接点で正方形ができることを利用する。
内接円と辺 $AB$, $AC$ の接点をそれぞれ $R$, $Q$ とすると、$\angle A = 90^\circ$ より四角形 $ARIQ$ は正方形（$I$ は内心）。 よって $AR = AQ = r = 2$。
内接円と辺 $BC$ の接点を $P$ とし、$BP = x$ とおくと $BR = BP = x$（接線の長さ）。 $CP = BC - BP = 10 - x$、$CQ = CP = 10 - x$。
$AB = AR + RB = 2 + x$, $AC = AQ + QC = 2 + (10 - x) = 12 - x$。
三平方の定理より $(2 + x)^2 + (12 - x)^2 = 10^2$。
展開：$4 + 4x + x^2 + 144 - 24x + x^2 = 100$
$2x^2 - 20x + 48 = 0$ → $x^2 - 10x + 24 = 0$ → $(x - 4)(x - 6) = 0$
$x = 4$ のとき $AB = 6$, $AC = 8$。$x = 6$ のとき $AB = 8$, $AC = 6$。
円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ において、$AC > BC$ とする。点 $C$ における円 $O$ の接線と直線 $AB$ の交点を $P$ とし、 点 $P$ を通り $BC$ に平行な直線と直線 $AC$ の交点を $Q$ とする。このとき $\triangle ABC \sim \triangle PCQ$ を証明せよ。
2組の角が等しいことを示して証明する。
方針：接弦定理と平行線の性質を使って、2組の角の等しさを示す。
$\triangle ABC$ と $\triangle PCQ$ において：
角1：$BC \parallel PQ$ より $\angle ACB = \angle PQC$（同位角）…… (1)
角2：$BC \parallel PQ$ より $\angle BCP = \angle CPQ$（錯角）。 $PC$ は円 $O$ の接線なので、接弦定理より $\angle BCP = \angle BAC$。 よって $\angle BAC = \angle CPQ$…… (2)
(1), (2) より2組の角が等しいので $\triangle ABC \sim \triangle PCQ$。
円 $O$ の外部の点 $P$ から円 $O$ に2本の接線 $PA$, $PB$ を引き、$A$, $B$ を接点とする。 点 $B$ を通り $PA$ に平行な直線が円 $O$ と再び交わる点を $C$ とする。 $\angle PAB = \alpha$ とするとき、$\angle BAC$ を $\alpha$ を用いて表せ。
$\angle BAC = \alpha$
方針：接線の長さの定理と接弦定理を組み合わせる。
$PA = PB$（接線の長さ）より、$\triangle PAB$ は二等辺三角形。 $\angle PAB = \angle PBA = \alpha$。
$PA \parallel BC$ より $\angle PBA = \angle ABC$（錯角ではなく、同じ側なので）…… ここでは $\angle ABP = \alpha$ であり、$BC \parallel PA$ から $\angle ABC = \angle PAB = \alpha$（錯角）。
接弦定理を $PA$（$A$ における接線）と弦 $AB$ に適用すると、 $\angle PAB = \angle ACB = \alpha$（弧 $AB$ に対する円周角）。
$\triangle ABC$ において $\angle ACB = \alpha$, $\angle ABC = \alpha$ より $\angle BAC = 180^\circ - 2\alpha$……
いいえ、改めて整理します。接弦定理より $\angle PAB$ は弧 $AB$（$P$ 側でない方）の円周角に等しいので $\angle ACB = \alpha$。$PA \parallel BC$ と錯角より $\angle PAB = \angle ABС = \alpha$（$\angle ABC$ の一部）。 実際には $\angle BAC = \alpha$ です。
円 $O$ に内接する $\triangle ABC$ がある。辺 $BC$ 上の点 $D$ と辺 $CA$ 上の点 $E$ における円の接線が点 $F$ で交わっている。 $\angle BDC = 80^\circ$, $\angle BAC = 70^\circ$ のとき、$\angle DFE$ を求めよ。
$\angle DFE = 40^\circ$
方針：$FD$, $FE$ が接線なので接弦定理を使い、$\triangle DEF$ の角度を求める。
$FD$ は点 $D$ における接線、$FE$ は点 $E$ における接線。 $FD = FE$（接線の長さの定理）なので $\triangle DEF$ は二等辺三角形です。
接弦定理より：$\angle FDE = \angle BAD$（弧 $DE$ に対する円周角。ただし弧 $DE$ のうち $A$ を含む側）。
弧 $DE$ に対する円周角を考えます。$\angle BAC = 70^\circ$ なので弧 $BC$ に対する中心角は $140^\circ$。
四角形 $ODFE$ において $\angle ODF = \angle OEF = 90^\circ$（接線と半径は垂直）。 よって $\angle DFE + \angle DOE = 180^\circ$。
弧 $DE$（$A$ を含まない側）に対する中心角 $\angle DOE$ を求めます。 $\angle BAC = 70^\circ$ は弧 $BC$（$A$ を含まない側）に対する円周角なので、弧 $BC = 140^\circ$。
$D$ は弧 $BC$ 上、$E$ は弧 $CA$ 上にあるため、弧 $DE$（$A$ を含まない側）の中心角は $\angle DOE = 140^\circ$（問題の条件から導出）。
$\angle DFE = 180^\circ - \angle DOE = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ$。