三角形は最もシンプルな多角形でありながら、驚くほど豊かな性質を持ちます。
この記事では、三角形がそもそも「存在する条件」から始めて、角の二等分線の性質、中線定理、辺と角の大小関係を学びます。
すべての性質は「なぜそうなるのか」を原理から理解しましょう。
3つの辺の長さが与えられたとき、必ず三角形が作れるとは限りません。 たとえば、長さ $1$, $2$, $10$ の3本の棒では三角形は作れません。 短い2本を合わせても長い1本に届かないからです。
では、どんな条件を満たせば三角形が作れるのでしょうか。 直感的には「どの1辺も、残りの2辺の和より短い」ことが必要です。 これが三角形の成立条件です。
3辺の長さを $a$, $b$, $c$ とするとき、三角形が存在する条件は：
$$|b - c| < a < b + c$$
すなわち、どの1辺も、他の2辺の差より大きく、他の2辺の和より小さい。
3辺の長さが $a \geq b \geq c > 0$ のとき、$a < b + c$ が成り立てば、 $b < a + c$ と $c < a + b$ は自動的に満たされます。
なぜなら、$a \geq b$ より $a + c \geq b + c > b$。同様に $a + b \geq c + b > c$。
つまり、最大辺について「他の2辺の和より小さい」を確認するだけで、三角形の成立条件は完全にチェックできます。
✕ 誤：$a = 3$, $b = 2$, $c = 5$ のとき、$a + b = c$ だから三角形が成り立つ
○ 正：$a + b = c$ のとき、3点は一直線上に並んでしまい、三角形にはなりません。 成立条件は不等号（$<$）であって等号を含まないことに注意してください。
三角形の成立条件 $a < b + c$ は、大学数学では三角不等式（triangle inequality）と呼ばれます。 これは「2点間の距離」が満たすべき最も基本的な性質の1つです。
大学の解析学では、距離の公理を満たす空間を距離空間（メトリック空間）と定義します。 三角不等式は「遠回りは近道より長い」という直感的な事実の数学的表現であり、 ユークリッド空間だけでなく、あらゆる「距離」の概念の土台となっています。
$\triangle ABC$ において、$\angle A$ の二等分線が対辺 $BC$ と交わる点を $D$ としましょう。 このとき、点 $D$ は辺 $BC$ を特別な比で分けます。 その比は $AB : AC$、つまり角 $A$ を挟む2辺の比です。
$\triangle ABC$ で、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とすると：
$$BD : DC = AB : AC$$
すなわち、内角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に内分する。
なぜ $BD : DC = AB : AC$ が成り立つのでしょうか。 最も直感的な理解は面積比を使う方法です。
$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので、$\angle BAD = \angle CAD$ です。 頂点 $A$ から辺 $BD$, $DC$ に下ろした垂線の長さは、三角形の高さとして考えると、 $\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ はそれぞれ底辺を $BD$, $DC$ として共通の高さ（$A$ から $BC$ への垂線）を持ちます。
一方、$\triangle ABD$ と $\triangle ACD$ を、辺 $AB$, $AC$ を底辺と見ると、 $\angle BAD = \angle CAD$ であり、頂点 $D$ からの高さはそれぞれ $AB \sin(\angle BAD)$, $AC \sin(\angle CAD)$ に比例します。 よって面積比は $AB : AC$ です。
底辺 $BD : DC$ での面積比と辺 $AB : AC$ での面積比が等しいので、$BD : DC = AB : AC$ が成り立ちます。
点 $C$ を通り、直線 $AD$ に平行な直線を引き、辺 $BA$ の延長との交点を $E$ とします。
Step 1：$AD \parallel EC$ より、同位角と錯角の関係から：
$\angle BAD = \angle AEC$（同位角）、$\angle DAC = \angle ACE$（錯角）
Step 2：$AD$ は $\angle A$ の二等分線なので $\angle BAD = \angle DAC$。 よって $\angle AEC = \angle ACE$ となり、$\triangle ACE$ は二等辺三角形。 したがって $AE = AC$。
Step 3：$\triangle BDA$ と $\triangle BEC$ において、$AD \parallel EC$ より：
$$BD : DC = BA : AE = BA : AC = AB : AC$$
次に、$\angle A$ の外角の二等分線を考えましょう。 外角の二等分線は、辺 $BC$ の延長と交わります（$AB \neq AC$ の場合）。
$AB \neq AC$ である $\triangle ABC$ で、$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とすると：
$$BE : EC = AB : AC$$
すなわち、外角の二等分線は、対辺を隣り合う2辺の比に外分する。
✕ 誤：$\angle A$ の外角の二等分線は辺 $BC$ を $AB : AC$ に内分する
○ 正：外角の二等分線が分けるのは外分です。 交点は辺 $BC$ の上ではなく、辺 $BC$ の延長上にあります。
内角の二等分線は「内分」、外角の二等分線は「外分」── このペアをセットで覚えましょう。 どちらも比は同じ $AB : AC$ ですが、分け方が異なります。
$AB = 7$, $AC = 3$ のとき、外角の二等分線は辺 $BC$ を $7 : 3$ に外分します。
✕ 誤：「外分」だから $B$ の外側にも $C$ の外側にも点が取れる
○ 正：$AB > AC$ のとき、外分点は $C$ の外側（$B$ から見て $C$ を越えた先）にあります。 外分点の位置は $AB$ と $AC$ の大小関係で決まります。 $AB > AC$ なら大きい方の辺 $AB$ に対応する $B$ 側が長くなるように配置されます。
逆も成り立ちます。辺 $BC$ を $AB : AC$ に内分する点 $P$ をとると、$AP$ は $\angle A$ の二等分線です。 同様に、$BC$ を $AB : AC$ に外分する点 $Q$ をとると、$AQ$ は $\angle A$ の外角の二等分線です。
内分点 $D$ と外分点 $E$ を結ぶ線分 $DE$ は、実は重要な幾何学的意味を持ちます。 $D$ と $E$ は辺 $BC$ を同じ比 $AB : AC$ で内分・外分する点なので、 点 $A$ から見た $B$, $C$ への距離の比が一定（$AB : AC$）であるような点の集合は、 $DE$ を直径とする円になります。
この円をアポロニウスの円と呼びます。 古代ギリシャの数学者アポロニウスが発見したこの円は、 「2定点からの距離の比が一定な点の軌跡」として、座標幾何学でも重要な役割を果たします。
三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分を中線といいます。 中線の長さと三角形の辺の長さの間には、美しい関係式が成り立ちます。 これが中線定理（パップスの定理）です。
$\triangle ABC$ の辺 $BC$ の中点を $M$ とすると：
$$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$$
中線定理の証明には三平方の定理を使います。 点 $A$ から辺 $BC$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$\triangle ABH$ と $\triangle ACH$ にそれぞれ三平方の定理を適用できます。
直角三角形では $AB^2 = AM^2 + BM^2$（$\angle M = 90°$ のとき）ですが、 一般の三角形では頂点 $A$ から $BC$ への垂線の足 $H$ が中点 $M$ と一致しません。 中線定理は、$H$ と $M$ のずれを「$+$」と「$-$」で打ち消して、きれいな式にまとめたものです。
点 $A$ から辺 $BC$ またはその延長に下ろした垂線の足を $H$ とします。
三平方の定理より：
$AB^2 = AH^2 + BH^2$ ......①
$AC^2 = AH^2 + CH^2$ ......②
$M$ は $BC$ の中点なので $BM = CM$。$MH$ を用いて $BH$, $CH$ を表すと：
$BH = BM + MH$, $CH = CM - MH = BM - MH$（$H$ が $M$ と $C$ の間にある場合）
①+②より：
$AB^2 + AC^2 = 2AH^2 + (BM + MH)^2 + (BM - MH)^2$
$= 2AH^2 + 2BM^2 + 2MH^2$
$= 2(AH^2 + MH^2) + 2BM^2$
$\triangle AMH$ に三平方の定理を適用すると $AH^2 + MH^2 = AM^2$ なので：
$$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$$
中線定理は、中線の長さを求める問題でよく使います。 $AB = 10$, $AC = 8$, $BC = 12$ のとき、中線 $AM$ の長さを求めてみましょう。
中線定理より、$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$。 $BM = \dfrac{BC}{2} = 6$ なので：
$10^2 + 8^2 = 2(AM^2 + 6^2)$、すなわち $164 = 2(AM^2 + 36)$。 $AM^2 = 46$ より $AM = \sqrt{46}$。
✕ 誤：$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BC^2)$
○ 正：$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ ただし $BM = \dfrac{BC}{2}$
$BM$ は $BC$ の半分であることを忘れないでください。 $BC$ をそのまま代入すると、答えが4倍ずれてしまいます。
中線定理は $M$ が辺 $BC$ の中点のときの公式ですが、$M$ が中点でない一般の分点の場合にも拡張できます。 点 $D$ が辺 $BC$ を $BD : DC = m : n$ に内分するとき：
$$n \cdot AB^2 + m \cdot AC^2 = (m + n)(AD^2 + mn \cdot \frac{BC^2}{(m+n)^2})$$
これをスチュワートの定理といいます。$m = n = 1$（中点）のとき、中線定理に一致します。 角の二等分線の長さを求める際にも、この定理が活躍します。
三角形には「辺が長いほど、その向かいの角が大きい」という直感的にわかりやすい性質があります。 この性質は、三角形の形を特定するときに非常に重要です。
$\triangle ABC$ で $AB = c$, $BC = a$, $CA = b$ とすると：
$$a > b \iff \angle A > \angle B$$
$$a = b \iff \angle A = \angle B$$
$$a < b \iff \angle A < \angle B$$
すなわち、長い辺の対角は大きく、短い辺の対角は小さい。
$AB < AC$ のとき $\angle C < \angle B$ を示すには、次のように考えます。
長い辺 $AC$ 上に $AD = AB$ となる点 $D$ をとると、$\triangle ABD$ は二等辺三角形です。 よって $\angle ABD = \angle ADB$ です。
外角の性質から $\angle ADB > \angle C$（$\triangle BDC$ の外角）。 また $\angle B = \angle ABD + \angle DBC > \angle ABD = \angle ADB > \angle C$。
つまり、$\angle B > \angle C$ が示されます。 この証明のポイントは、二等辺三角形を作って比較の足がかりを得ることです。
余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ と辺と角の大小関係を組み合わせると、 三角形の形状（鋭角・直角・鈍角）を辺の長さだけで判定できます。
| $\angle A$ の種類 | 条件 | 余弦定理との関係 |
|---|---|---|
| 鋭角 | $a^2 < b^2 + c^2$ | $\cos A > 0$ |
| 直角 | $a^2 = b^2 + c^2$ | $\cos A = 0$ |
| 鈍角 | $a^2 > b^2 + c^2$ | $\cos A < 0$ |
「三角形が鈍角三角形かどうか」を判定するとき、$a^2 > b^2 + c^2$ をチェックしますが、 $a$ は最大辺でなければ正しく判定できません。
✕ 誤：3辺が $3, 5, 6$ のとき、$3^2 = 9$、$5^2 + 6^2 = 61$。$9 < 61$ だから鋭角三角形
○ 正：最大辺 $6$ について確認する。$6^2 = 36$、$3^2 + 5^2 = 34$。$36 > 34$ なので鈍角三角形
鈍角は最大辺の対角にしか現れないので、必ず最大辺を選んで判定しましょう。
この記事で学んだ三角形の基本性質を鳥の目で俯瞰しましょう。 すべての性質は「三角形の辺と角の関係」を異なる角度から表現したものです。
| 性質 | 内容 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 成立条件 | $|b-c| < a < b+c$ | 辺の長さにパラメータが含まれるとき |
| 角の二等分線（内分） | $BD:DC = AB:AC$ | 内分点の位置、線分の長さ |
| 角の二等分線（外分） | $BE:EC = AB:AC$ | 外分点の位置、アポロニウスの円 |
| 中線定理 | $AB^2+AC^2=2(AM^2+BM^2)$ | 中線の長さ、辺の2乗の和 |
| 辺と角の大小 | $a > b \iff \angle A > \angle B$ | 三角形の形状判定、不等式の証明 |
Q1. 3辺の長さが $4$, $7$, $x$ のとき、三角形が成り立つための $x$ の範囲を求めてください。
Q2. $\triangle ABC$ で $AB = 6$, $AC = 4$ のとき、$\angle A$ の二等分線は辺 $BC$ をどのような比に内分しますか？
Q3. 中線定理 $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ で、$BM$ は何の長さですか？
Q4. $\triangle ABC$ で $AB = 5$, $BC = 7$, $CA = 8$ のとき、最大の角はどれですか？
Q5. 3辺が $5, 6, 9$ の三角形は鋭角三角形、直角三角形、鈍角三角形のどれですか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$\triangle ABC$ において、$AB = 7$, $BC = 5$, $CA = 3$ とする。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$、$\angle A$ の外角の二等分線と辺 $BC$ の延長との交点を $E$ とするとき、線分 $DE$ の長さを求めよ。
$DE = \dfrac{45}{8}$
方針：内角・外角の二等分線の定理を使い、$D$, $E$ の位置を求める。
内角の二等分線の定理より $BD : DC = AB : AC = 7 : 3$
$BD + DC = BC = 5$ と合わせて $DC = \dfrac{3}{10} \times 5 = \dfrac{3}{2}$
外角の二等分線の定理より $BE : EC = AB : AC = 7 : 3$（外分）
$BE - EC = BC = 5$ と $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{7}{3}$ より、$EC = \dfrac{3}{4} \times 5 = \dfrac{15}{4}$
$DE = DC + CE = \dfrac{3}{2} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{6}{4} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{21}{4}$
（注：$E$ が $C$ の外側にある場合。実際に $AB > AC$ なので $E$ は $C$ 側の延長上にあり、$DE = DC + CE = \dfrac{3}{2} + \dfrac{15}{4} = \dfrac{21}{4}$）
$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 7$, $BC = 8$ とする。辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、中線 $AM$ の長さを求めよ。
$AM = \sqrt{21}$
方針：中線定理 $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ を使う。
$BM = \dfrac{BC}{2} = 4$ なので：
$5^2 + 7^2 = 2(AM^2 + 4^2)$
$25 + 49 = 2(AM^2 + 16)$
$74 = 2AM^2 + 32$
$AM^2 = 21$
$AM = \sqrt{21}$
3辺の長さが $a$, $a+1$, $a+2$ の三角形について、次の問いに答えよ。
(1) 三角形が成り立つための $a$ の条件を求めよ。
(2) この三角形が鈍角三角形となるための $a$ の条件を求めよ。
(1) $a > 1$
(2) $1 < a < 3$
(1) の方針：三角形の成立条件を最大辺について確認する。
すべての辺が正であるから $a > 0$。最大辺は $a + 2$。
成立条件：$a + 2 < a + (a + 1)$ すなわち $a + 2 < 2a + 1$。$a > 1$。
$a > 0$ と合わせて、$a > 1$。
(2) の方針：鈍角は最大辺 $a+2$ の対角に現れる。鈍角条件は最大辺の2乗 $>$ 他の2辺の2乗の和。
$(a+2)^2 > a^2 + (a+1)^2$
$a^2 + 4a + 4 > a^2 + a^2 + 2a + 1$
$a^2 + 4a + 4 > 2a^2 + 2a + 1$
$0 > a^2 - 2a - 3 = (a-3)(a+1)$
$-1 < a < 3$
(1) の条件 $a > 1$ と合わせて、$1 < a < 3$。
$\triangle ABC$ において、$AB = 8$, $BC = 5$, $CA = 7$ とする。
(1) $\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$AD$ の長さを求めよ。
(2) 辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、中線 $AM$ の長さを求めよ。
(1) $AD = \dfrac{8\sqrt{7}}{3}$
(2) $AM = \dfrac{\sqrt{201}}{2}$
(1) の方針：角の二等分線の定理で $BD$, $DC$ を求め、余弦定理で $\cos B$ を求めてから $\triangle ABD$ で余弦定理を適用する。
$BD : DC = AB : AC = 8 : 7$ より $BD = \dfrac{8}{15} \times 5 = \dfrac{8}{3}$, $DC = \dfrac{7}{15} \times 5 = \dfrac{7}{3}$
$\triangle ABC$ で余弦定理（$\angle B$ について）：
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$
$49 = 64 + 25 - 80\cos B$ より $\cos B = \dfrac{40}{80} = \dfrac{1}{2}$
$\triangle ABD$ で余弦定理：
$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \cdot AB \cdot BD \cdot \cos B = 64 + \dfrac{64}{9} - 2 \cdot 8 \cdot \dfrac{8}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$
$= 64 + \dfrac{64}{9} - \dfrac{64}{3} = \dfrac{576 + 64 - 192}{9} = \dfrac{448}{9}$
$AD = \dfrac{\sqrt{448}}{3} = \dfrac{8\sqrt{7}}{3}$
(2) の方針：中線定理を適用する。
$BM = \dfrac{5}{2}$。中線定理 $AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$ より：
$64 + 49 = 2\left(AM^2 + \dfrac{25}{4}\right)$
$113 = 2AM^2 + \dfrac{25}{2}$
$2AM^2 = \dfrac{201}{2}$, $AM^2 = \dfrac{201}{4}$, $AM = \dfrac{\sqrt{201}}{2}$