くじ引きの景品、ゲームの参加料、保険の掛金。
「長い目で見て、平均的にどれくらいの値になるか」を1つの数値で表すのが期待値です。確率と値を結びつける最も基本的な道具を学びましょう。
まず、具体的な例から入りましょう。 100本のくじがあり、1等（10000円）が3本、2等（1000円）が15本、残り82本ははずれ（0円）です。 このくじを1本引いたとき、もらえる賞金の「平均」はいくらでしょうか。
100本すべてのくじの賞金額を合計すると：
$$10000 \times 3 + 1000 \times 15 + 0 \times 82 = 30000 + 15000 = 45000 \text{（円）}$$1本あたりの平均は $\dfrac{45000}{100} = 450$（円）です。 これを変形すると：
$$450 = 10000 \times \frac{3}{100} + 1000 \times \frac{15}{100} + 0 \times \frac{82}{100}$$つまり、各値にその確率をかけて合計したものが「平均」です。 この値を期待値（きたいち）と呼びます。
確率変数 $X$ がとりうる値を $x_1, x_2, \ldots, x_n$ とし、それぞれの確率を $p_1, p_2, \ldots, p_n$ とする。
$p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1$ のとき、$X$ の期待値 $E(X)$ は：
$$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$$データの分析で学んだ平均値は、全データの合計をデータ数で割ったものでした。
期待値はこれと同じ発想です。ただし「実際のデータ」ではなく「確率」を重みとして平均を計算します。
データの平均 $= \dfrac{\text{値の合計}}{\text{データ数}}$
期待値 $= \sum (\text{値} \times \text{その値が出る確率})$
この2つは、相対度数を確率に置き換えたものとして、本質的に同じ構造です。
くじの期待値が450円だからといって、1回引いて必ず450円もらえるわけではありません。もらえるのは10000円か1000円か0円のどれかです。
期待値450円の意味は「このくじを何百回、何千回と引き続けたとき、1回あたりの平均がおよそ450円に近づく」ということです。
これを大数の法則と言います。試行回数を増やすと、実際の平均が期待値に収束するという定理です。期待値は「1回の予想」ではなく「長期的な平均」を表す量です。
期待値を計算する前に、確率の合計が1になっているかを必ず確認しましょう。
✕ 誤：「1の目が出る確率 $\dfrac{1}{6}$、偶数の目が出る確率 $\dfrac{3}{6}$」で期待値を計算 → 確率の合計が $\dfrac{1}{6} + \dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{6} \neq 1$
○ 正：$X$ がとりうるすべての値を漏れなくダブりなく列挙し、確率の合計が1になることを確認してから計算する。
確率の合計が1にならないのは、場合の列挙に漏れや重複がある証拠です。
「試行を繰り返すと平均が期待値に近づく」── これは大数の法則（law of large numbers）として、確率論で厳密に証明されています。
ヤコブ・ベルヌーイが1713年に発表したこの定理は、確率論を「数学的な理論」として確立する基礎となりました。 保険料の計算、カジノの収益予測、品質管理など、期待値を実務で使えるのは、大数の法則が成り立つからです。
期待値の計算では、確率分布表（値と確率の対応表）を作るのが最も確実な方法です。 手順を整理しましょう。
2個のさいころを同時に投げるとき、目の和 $X$ の期待値を求めましょう。
$X$ のとりうる値は $2, 3, 4, \ldots, 12$ の11通りです。 各値の確率は、2個のさいころの出方（$6 \times 6 = 36$ 通り）のうち、その和になる場合を数えれば求まります。
| $X$ | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 計 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{6}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{2}{36}$ | $\frac{1}{36}$ | $1$ |
$$E(X) = 2 \times \frac{1}{36} + 3 \times \frac{2}{36} + 4 \times \frac{3}{36} + 5 \times \frac{4}{36} + 6 \times \frac{5}{36} + 7 \times \frac{6}{36}$$ $$+ 8 \times \frac{5}{36} + 9 \times \frac{4}{36} + 10 \times \frac{3}{36} + 11 \times \frac{2}{36} + 12 \times \frac{1}{36}$$
$$= \frac{2 + 6 + 12 + 20 + 30 + 42 + 40 + 36 + 30 + 22 + 12}{36} = \frac{252}{36} = 7$$
2個のさいころの目の和の期待値は $7$ です。 これは直感的にも納得できます。1個のさいころの目の期待値は $\dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5$ なので、 2個の和の期待値は $3.5 + 3.5 = 7$ です（期待値の加法性。Section 3で説明します）。
3枚の硬貨を同時に投げるとき、表の出る枚数 $X$ の期待値を求めましょう。
$X$ のとりうる値は $0, 1, 2, 3$。全部で $2^3 = 8$ 通り。
| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 計 |
|---|---|---|---|---|---|
| $P$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{3}{8}$ | $\frac{1}{8}$ | $1$ |
$$E(X) = 0 \times \frac{1}{8} + 1 \times \frac{3}{8} + 2 \times \frac{3}{8} + 3 \times \frac{1}{8} = \frac{0 + 3 + 6 + 3}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$
上の例で、最も確率が高い（最頻値となる）のは $X = 1$ と $X = 2$（ともに確率 $\dfrac{3}{8}$）です。 しかし期待値は $\dfrac{3}{2} = 1.5$ です。
✕ 誤：「一番起こりやすいのが1枚か2枚だから、期待値は1か2」
○ 正：期待値 $= 1.5$。期待値はすべての値の確率で重み付けした平均であり、「最も起こりやすい値」とは別の量です。
期待値は実際にとりうる値でないこともあります（コインの表が1.5枚出ることはない）。 「長期的な平均」と「1回の最頻結果」は異なる概念です。
$X = 0$ のとき $x_i p_i = 0$ なので計算結果には影響しませんが、表から省略するとミスの原因になります。
$X = 0$ を含めて確率の合計が1になることを確認する習慣をつけましょう。$X = 0$ を書かずに確率の合計が $\dfrac{7}{8}$ になって「あれ？」と悩むケースが多いです。
期待値には、計算を大幅に簡略化してくれる便利な性質があります。
確率変数 $X$ に対して、定数 $a$, $b$ について：
$$E(aX + b) = aE(X) + b$$また、2つの確率変数 $X$, $Y$ について：
$$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$$$X$ がとりうる値を $x_1, x_2, \ldots, x_n$、確率を $p_1, p_2, \ldots, p_n$ とする。
$Y = aX + b$ とおくと、$Y$ がとりうる値は $ax_1 + b, ax_2 + b, \ldots, ax_n + b$ で、確率はそのまま $p_1, p_2, \ldots, p_n$。
$$E(Y) = \sum_{i=1}^{n} (ax_i + b) p_i = \sum_{i=1}^{n} (ax_i p_i + b p_i)$$
$$= a \sum_{i=1}^{n} x_i p_i + b \sum_{i=1}^{n} p_i = aE(X) + b \cdot 1 = aE(X) + b$$
ここで $\sum p_i = 1$ を使った。
データの分析で「すべてのデータを $a$ 倍して $b$ を足すと、平均値も $a$ 倍して $b$ を足した値になる」と学びました。
期待値の $E(aX + b) = aE(X) + b$ はまったく同じことです。期待値は「確率で重み付けした平均」なので、平均値と同じ性質を持つのは自然なことです。
さらに $E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ は非常に強力です。この性質のおかげで、「2個のさいころの目の和の期待値」は、わざわざ11通りの値と確率を全部計算しなくても、$3.5 + 3.5 = 7$ と求められるのです。
さいころを1個投げて、出た目の3倍から2を引いた値 $Y = 3X - 2$ の期待値を求めましょう。
$E(X) = \dfrac{1+2+3+4+5+6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}$ なので、
$$E(Y) = E(3X - 2) = 3E(X) - 2 = 3 \times \frac{7}{2} - 2 = \frac{21}{2} - 2 = \frac{17}{2}$$各値の確率をすべて求めて $\sum y_i p_i$ を計算するよりも、はるかに簡単です。
線形性は $E(aX + b)$ のように1次式にしか使えません。
✕ 誤：$E(X^2) = (E(X))^2 = \left(\dfrac{7}{2}\right)^2 = \dfrac{49}{4}$
○ 正：$E(X^2) = 1^2 \times \dfrac{1}{6} + 2^2 \times \dfrac{1}{6} + \cdots + 6^2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}$
$\dfrac{91}{6} \neq \dfrac{49}{4}$ です。一般に $E(f(X)) \neq f(E(X))$（$f$ が1次式でない限り）。 これはデータの分析で「データの2乗の平均 $\neq$ 平均の2乗」（分散の公式で使った）と同じです。
大学の確率論では、期待値は積分で定義されます：$E(X) = \int x \, f(x) \, dx$（$f(x)$ は確率密度関数）。
積分は線形な演算（$\int (af + bg) = a\int f + b\int g$）なので、期待値の線形性は積分の線形性から自然に導かれます。 高校の離散的な $\sum x_i p_i$ は、積分の離散版（リーマン和のようなもの）と考えることができます。
なお、$E(X + Y) = E(X) + E(Y)$ が独立性によらず成り立つのは、積分の性質から来ています。 数学Bで学ぶ分散の加法定理 $V(X+Y) = V(X) + V(Y)$ は独立のときだけ成り立つことと対照的です。
期待値の最も実用的な応用は、有利・不利の判断です。 賞金付きのゲームに参加するかどうかを「感覚」ではなく「数学」で決められます。
さいころを1個投げて、1または2の目が出たら1500円を受け取り、 それ以外の目が出たら600円を支払うゲームがあります。参加料は200円です。 このゲームに参加するのは得でしょうか。
ゲームで得られる金額（参加料を除く）の期待値を計算する。
$E = 1500 \times \dfrac{2}{6} + (-600) \times \dfrac{4}{6} = 500 - 400 = 100$（円）
ゲームの期待金額は100円。参加料200円を引くと：
$100 - 200 = -100$（円）
結論：期待値は $-100$ 円。長期的に見ると1回あたり100円の損。参加は損である。
ゲームの公平性は、参加者の利得の期待値が0かどうかで判断します。
期待値 $> 0$：参加者に有利（長期的に得をする）
期待値 $= 0$：公平（長期的にプラスマイナスゼロ）
期待値 $< 0$：参加者に不利（長期的に損をする）
「公平な参加料」とは、ゲームの賞金の期待値に等しい金額です。上の例なら、公平な参加料は100円です。
コインを3回投げて、表が出た回数 $\times$ 100円がもらえるゲームを考えます。 公平な参加料はいくらでしょうか。
表が出る回数 $X$ の期待値は $E(X) = \dfrac{3}{2}$（Section 2で計算済み）。 もらえる金額は $100X$ 円なので、その期待値は：
$$E(100X) = 100 \times E(X) = 100 \times \frac{3}{2} = 150 \text{（円）}$$公平な参加料は150円です。
期待値が100円ということは、「長期的に平均して1回100円得する」という意味であり、「毎回必ず100円得する」わけではありません。
✕ 誤：「期待値がプラスだから、このゲームをやれば絶対に得する」
○ 正：「期待値がプラスだから、長期的には得をする可能性が高い。ただし1回1回は損することもある」
1回だけの勝負では、期待値がプラスでも大損する可能性があります。期待値は繰り返しの中での平均を示す指標です。
数学者ダニエル・ベルヌーイは1738年に「サンクトペテルブルクのパラドックス」を分析し、人間は金額そのものではなく、金額から得られる「効用（満足度）」の期待値に基づいて意思決定すると主張しました。
この考え方は期待効用理論として経済学の基礎になっています。 例えば、「確実に100万円もらえる」のと「50%の確率で300万円もらえる（期待値150万円）」のどちらを選ぶか。 期待値だけなら後者が得ですが、多くの人は前者を選びます。これは「リスク回避」の心理で、期待効用理論で説明されます。
期待値に関連する概念を整理し、他の分野とのつながりを俯瞰しましょう。
| パターン | 特徴 | 計算のポイント |
|---|---|---|
| 基本型 | 値と確率が直接求まる | 確率分布表を作り $\sum x_i p_i$ |
| 線形変換型 | $Y = aX + b$ の期待値 | $E(aX+b) = aE(X) + b$ を使う |
| 和の型 | $X + Y$ の期待値 | $E(X+Y) = E(X) + E(Y)$ を使う |
| 有利不利型 | ゲームの損益判断 | 利得の期待値を求め、参加料と比較 |
| 反復試行型 | 確率 $p$ の試行を $n$ 回 | $E(X) = np$（数学Bで証明） |
Q1. さいころを1個投げるとき、出る目の期待値を求めてください。
Q2. 期待値が450円のくじを500円で買うのは、長期的に見て得ですか損ですか？
Q3. $E(X) = 5$ のとき、$E(2X + 3)$ はいくらですか？
Q4. 期待値 $E(X)$ と最頻値（モード）は同じ値になるとは限りません。なぜですか？
Q5. コインを2回投げて、表が出た回数 $\times$ 200円がもらえるゲームの公平な参加料はいくらですか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
1のカード3枚、2のカード2枚、3のカード1枚、合計6枚のカードがある。この中から2枚のカードを同時に取り出すとき、カード2枚の合計点の期待値を求めよ。
$\dfrac{10}{3}$
方針：2枚の組み合わせを列挙し、合計点ごとの確率を求めて確率分布表を作る。
6枚から2枚の選び方は ${}_{6}C_{2} = 15$ 通り。
合計点の可能性と場合の数：
・合計2（1+1）：${}_{3}C_{2} = 3$ 通り
・合計3（1+2）：$3 \times 2 = 6$ 通り
・合計4（1+3, 2+2）：$3 \times 1 + {}_{2}C_{2} = 3 + 1 = 4$ 通り
・合計5（2+3）：$2 \times 1 = 2$ 通り
確認：$3 + 6 + 4 + 2 = 15$ 通り ✓
$$E(X) = 2 \times \frac{3}{15} + 3 \times \frac{6}{15} + 4 \times \frac{4}{15} + 5 \times \frac{2}{15}$$
$$= \frac{6 + 18 + 16 + 10}{15} = \frac{50}{15} = \frac{10}{3}$$
A, Bの2人がじゃんけんを1回する。Aが勝ったらAはBから300円を受け取り、Bが勝ったらAはBに200円を支払い、あいこなら何もしない。
(1) Aの利得の期待値を求めよ。
(2) このゲームはAにとって有利か不利か。
(1) $\dfrac{100}{3}$ 円（約33.3円） (2) Aにとって有利
方針：じゃんけんの各結果の確率を求め、Aの利得の期待値を計算する。
じゃんけん1回で、Aが勝つ確率 $= \dfrac{1}{3}$、Bが勝つ確率 $= \dfrac{1}{3}$、あいこの確率 $= \dfrac{1}{3}$。
(1) Aの利得を $X$ とすると：
$X = 300$（確率 $\dfrac{1}{3}$）、$X = -200$（確率 $\dfrac{1}{3}$）、$X = 0$（確率 $\dfrac{1}{3}$）
$$E(X) = 300 \times \frac{1}{3} + (-200) \times \frac{1}{3} + 0 \times \frac{1}{3} = 100 - \frac{200}{3} = \frac{300 - 200}{3} = \frac{100}{3}$$
(2) $E(X) = \dfrac{100}{3} > 0$ なので、Aにとって有利。
※ 勝つ確率と負ける確率は同じ $\dfrac{1}{3}$ だが、勝ったときの利得（300円）が負けたときの損失（200円）より大きいため、期待値がプラスになる。
さいころを2個同時に投げるとき、出た目の大きい方を $X$、小さい方を $Y$ とする（同じ目のときは $X = Y$）。$X - Y$ の期待値を求めよ。
$\dfrac{35}{18}$
方針：$X - Y$ のとりうる値は $0, 1, 2, 3, 4, 5$。各値の確率を求めて期待値を計算する。
2個のさいころの出方は全部で36通り。$X - Y = d$ となる場合の数を数える。
$d = 0$（同じ目）：$(1,1), (2,2), \ldots, (6,6)$ の6通り
$d = 1$：$(2,1), (3,2), (4,3), (5,4), (6,5)$ の5組 $\times 2 = 10$ 通り
$d = 2$：$(3,1), (4,2), (5,3), (6,4)$ の4組 $\times 2 = 8$ 通り
$d = 3$：$(4,1), (5,2), (6,3)$ の3組 $\times 2 = 6$ 通り
$d = 4$：$(5,1), (6,2)$ の2組 $\times 2 = 4$ 通り
$d = 5$：$(6,1)$ の1組 $\times 2 = 2$ 通り
確認：$6 + 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 36$ ✓
$$E(X-Y) = 0 \times \frac{6}{36} + 1 \times \frac{10}{36} + 2 \times \frac{8}{36} + 3 \times \frac{6}{36} + 4 \times \frac{4}{36} + 5 \times \frac{2}{36}$$
$$= \frac{0 + 10 + 16 + 18 + 16 + 10}{36} = \frac{70}{36} = \frac{35}{18}$$
袋の中に1, 2, 3, 4, 5 の数が1つずつ書かれた5枚のカードが入っている。この袋からカードを1枚引き、書かれた数を記録して袋に戻す操作を2回行う。1回目に引いた数を $a$、2回目に引いた数を $b$ として、$|a - b|$ の期待値を求めよ。
$\dfrac{8}{5}$
方針：$|a - b|$ のとりうる値は $0, 1, 2, 3, 4$。各値の確率を求めて期待値を計算する。
全部で $5 \times 5 = 25$ 通り。
$|a - b| = 0$：$a = b$ の5通り
$|a - b| = 1$：差が1の組 $(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)$ の4組 $\times 2 = 8$ 通り
$|a - b| = 2$：差が2の組 $(1,3), (2,4), (3,5)$ の3組 $\times 2 = 6$ 通り
$|a - b| = 3$：差が3の組 $(1,4), (2,5)$ の2組 $\times 2 = 4$ 通り
$|a - b| = 4$：差が4の組 $(1,5)$ の1組 $\times 2 = 2$ 通り
確認：$5 + 8 + 6 + 4 + 2 = 25$ ✓
$$E(|a-b|) = 0 \times \frac{5}{25} + 1 \times \frac{8}{25} + 2 \times \frac{6}{25} + 3 \times \frac{4}{25} + 4 \times \frac{2}{25}$$
$$= \frac{0 + 8 + 12 + 12 + 8}{25} = \frac{40}{25} = \frac{8}{5}$$