「Aが起きて、そのあとBが起きる」確率をどう計算するか。
条件付き確率の式を変形するだけで得られる乗法定理は、非復元抽出やくじ引きの公平性など、入試頻出テーマの核となる武器です。
7-5で学んだ条件付き確率の定義を思い出しましょう。 事象 $A$ が起こったときに事象 $B$ が起こる条件付き確率は
$$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$この式の両辺に $P(A)$ をかけると、すぐに次の関係が得られます。
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$$これが確率の乗法定理です。 条件付き確率の定義式を「ひっくり返した」だけですが、この見方の転換が非常に重要です。
条件付き確率 $P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ の分母を払えば、乗法定理 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$ になります。
新しい公式を覚えたのではなく、同じ式の「読み方」を変えたのです。
条件付き確率は「$A \cap B$ を $A$ で割る」（知った情報で絞り込む）。乗法定理は「$A$ に $P_A(B)$ をかける」（段階的に確率を計算する）。用途が違うだけで、中身は同じ式です。
2つの事象 $A$, $B$ について：
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$$$A$ と $B$ の役割を入れ替えると：
$$P(A \cap B) = P(B) \cdot P_B(A)$$3つの事象 $A$, $B$, $C$ について：
$$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P_A(B) \cdot P_{A \cap B}(C)$$条件付き確率の定義：$P_A(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ （$P(A) > 0$）
両辺に $P(A)$ をかけると：
$$P(A) \cdot P_A(B) = P(A \cap B)$$よって $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$ が成り立つ。
3つの事象の場合は、$A \cap B$ を1つの事象と見て乗法定理を適用する：
$$P((A \cap B) \cap C) = P(A \cap B) \cdot P_{A \cap B}(C) = P(A) \cdot P_A(B) \cdot P_{A \cap B}(C)$$7-4で学んだ事象の独立とは、$P_A(B) = P(B)$ が成り立つこと、 つまり「$A$ が起こったかどうかが $B$ の確率に影響しない」ことでした。
このとき乗法定理は $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ となります。 これは独立な事象の確率の積の法則にほかなりません。
乗法定理 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$ は常に成り立つ一般的な公式です。
$A$ と $B$ が独立なら $P_A(B) = P(B)$ なので、乗法定理は $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ に簡略化されます。
つまり独立な試行の確率の積は、乗法定理の特別な場合です。独立でないときに条件付き確率を使い分ける必要があるだけです。
10本中3本が当たりのくじから、AさんとBさんが順に1本ずつ引く（引いたくじは戻さない）。2人とも当たる確率は？
✕ 誤：$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{100}$（2回とも $\dfrac{3}{10}$ で計算）
○ 正：$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$
Aが当たりを引いた後、くじは残り9本・当たり2本に変わります。 $P(B) = \dfrac{3}{10}$ ではなく $P_A(B) = \dfrac{2}{9}$ を使うのが乗法定理です。 「戻さない」抽出は独立ではないので、条件付き確率を使います。
乗法定理には2通りの書き方があります：$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = P(B) \cdot P_B(A)$
この等式から $P_B(A) = \dfrac{P(A) \cdot P_A(B)}{P(B)}$ が導かれます。 これはベイズの定理の原型で、「結果（$B$）から原因（$A$）の確率を逆算する」公式です。
医療診断での検査精度の評価、迷惑メールフィルタ、機械学習の分類アルゴリズムなど、 現代のデータサイエンスの基礎となっている重要な定理です。
場合の数を数えるとき、樹形図（じゅけいず）を描いたことがあるでしょう。 実は、樹形図の各枝に確率を書き込むと、乗法定理がそのまま見えてきます。
袋の中に赤玉3個、白玉2個が入っています。 玉を1個取り出し、色を記録して戻さずにもう1個取り出すとします。 このとき「2個とも赤」である確率を樹形図で考えましょう。
1回目：赤を引く確率 $\dfrac{3}{5}$、白を引く確率 $\dfrac{2}{5}$。
2回目（1回目が赤だった場合）：赤を引く確率 $\dfrac{2}{4}$、白を引く確率 $\dfrac{2}{4}$。
2回目（1回目が白だった場合）：赤を引く確率 $\dfrac{3}{4}$、白を引く確率 $\dfrac{1}{4}$。
「2個とも赤」の確率は、1回目の枝の確率と2回目の枝の確率をかけて：
$$P(\text{赤, 赤}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$$樹形図で「枝に沿って確率をかけ算する」操作は、乗法定理そのものです。
1回目の枝の確率 $= P(A)$、2回目の枝の確率 $= P_A(B)$（1回目の結果を踏まえた条件付き確率）。
枝の積 $= P(A) \cdot P_A(B) = P(A \cap B)$。
樹形図は乗法定理を視覚的に表現する道具です。「なぜ枝をかけるのか」と聞かれたら、「それが乗法定理だから」と答えられます。
樹形図と乗法定理を正しく使うためのポイントを整理します。
上の例で、1回目に赤を引いた後の2回目について：
✕ 誤：2回目の赤の確率を $\dfrac{3}{5}$（最初の状態のまま）と書く
○ 正：2回目の赤の確率は $\dfrac{2}{4}$（赤が1個減り、全体も1個減った後の確率）
樹形図の各枝は条件付き確率です。「前の段階で何が起きたか」を反映した確率を書かなければなりません。
樹形図に確率を書き込んだものは、統計学では確率の木（probability tree）と呼ばれます。 大学の確率論では、これをさらに一般化して確率過程（ある状態から次の状態への遷移を確率で記述するモデル）として扱います。
機械学習で使われる決定木（decision tree）も同じ発想です。 データを段階的に分岐させて分類する手法で、各分岐が「条件付き」で確率を更新していく構造は、まさに樹形図＋乗法定理の応用です。
乗法定理が最も威力を発揮するのは、非復元抽出（ひふくげんちゅうしゅつ）の問題です。 非復元抽出とは「取り出したものを戻さない」抽出のこと。 くじ引き、カードの配布、箱から玉を次々に取り出す問題などが該当します。
復元抽出（毎回戻す）なら各回の試行は独立なので、単純に確率をかけるだけです。 しかし非復元抽出では、前の結果が後の確率を変えるため、条件付き確率を正しく使う必要があります。
当たりくじ3本を含む10本のくじから、a, bがこの順に1本ずつ引きます（引いたくじは戻さない）。
aが当たる事象を $A$、bが当たる事象を $B$ とする。
(1) aもbも当たる確率 $P(A \cap B)$：
$P(A) = \dfrac{3}{10}$
aが当たりを引いた後、残りは9本中2本が当たり。$P_A(B) = \dfrac{2}{9}$
$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15}$$
(2) aがはずれ、bが当たる確率 $P(\bar{A} \cap B)$：
$P(\bar{A}) = \dfrac{7}{10}$
aがはずれを引いた後、残りは9本中3本が当たり。$P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}$
$$P(\bar{A} \cap B) = \frac{7}{10} \times \frac{1}{3} = \frac{7}{30}$$
(3) bが当たる確率 $P(B)$：
$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B) = \dfrac{1}{15} + \dfrac{7}{30} = \dfrac{2}{30} + \dfrac{7}{30} = \dfrac{9}{30} = \dfrac{3}{10}$
上の計算で、aが当たる確率 $P(A) = \dfrac{3}{10}$ と、bが当たる確率 $P(B) = \dfrac{3}{10}$ が一致しました。
これは偶然ではありません。非復元抽出のくじ引きでは、何番目に引いても当たる確率は同じです。 3番目、4番目、…、10番目に引いても $\dfrac{3}{10}$ です。
「先に引いたほうが有利」「残り物には福がある」はどちらも誤解です。くじ引きは公平なのです。
赤玉4個、白玉6個の袋から2個取り出すとき、2個とも赤の確率は？
✕ 誤（復元として計算）：$\dfrac{4}{10} \times \dfrac{4}{10} = \dfrac{16}{100} = \dfrac{4}{25}$
○ 正（非復元として計算）：$\dfrac{4}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{12}{90} = \dfrac{2}{15}$
問題文に「戻さない」「同時に取り出す」と書いてあれば非復元抽出です。 「同時に取り出す」も「順に取り出して戻さない」と同じ確率になります。 問題文をよく読み、復元か非復元かを確認する習慣をつけましょう。
10本中3本当たりのくじから2本同時に引く場合も、順に引く（非復元）場合も、2本とも当たる確率は同じ $\dfrac{1}{15}$ です。
組合せで解く方法：$\dfrac{{}_{3}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \dfrac{3}{45} = \dfrac{1}{15}$
乗法定理で解く方法：$\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}$
どちらの解法でも同じ答えになります。状況に応じて使いやすい方を選びましょう。
セクション3の (3) で使った方法を一般化しましょう。 事象 $B$ の確率を、別の事象 $A$ が起こる場合と起こらない場合に分けて計算する方法です。
$A$ と $\bar{A}$ は互いに排反で、$A \cup \bar{A} = U$（全事象）です。 よって $B = (A \cap B) \cup (\bar{A} \cap B)$ と分解でき、
$$P(B) = P(A \cap B) + P(\bar{A} \cap B)$$ここに乗法定理を適用すると：
$$P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)$$事象 $A_1, A_2, \ldots, A_n$ が互いに排反で、$A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n = U$ のとき：
$$P(B) = \sum_{k=1}^{n} P(A_k) \cdot P_{A_k}(B)$$特に $n = 2$（$A$ と $\bar{A}$）のとき：
$$P(B) = P(A) \cdot P_A(B) + P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B)$$袋Aには赤玉4個、白玉2個。袋Bには赤玉3個、白玉3個。 袋Aから1個取り出して袋Bに入れ、よく混ぜてから袋Bから1個取り出す。 袋Bから赤玉を取り出す確率を求めましょう。
袋Aから赤玉を取り出す事象を $R$、白玉を取り出す事象を $W$ とし、袋Bから赤玉を取り出す事象を $B_r$ とする。
場合1：袋Aから赤玉（$R$）を取り出した場合
$P(R) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$。袋Bは赤4個、白3個の計7個になる。$P_R(B_r) = \dfrac{4}{7}$
場合2：袋Aから白玉（$W$）を取り出した場合
$P(W) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$。袋Bは赤3個、白4個の計7個になる。$P_W(B_r) = \dfrac{3}{7}$
全確率の公式より：
$$P(B_r) = P(R) \cdot P_R(B_r) + P(W) \cdot P_W(B_r) = \frac{2}{3} \times \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{8}{21} + \frac{3}{21} = \frac{11}{21}$$上の例で、「袋Bには全部で7個入るから、赤は平均 $3.5$ 個くらいで $\dfrac{3.5}{7} = \dfrac{1}{2}$ だろう」と直感的に答えると間違いです。
✕ 誤：$P(B_r) = \dfrac{1}{2}$
○ 正：$P(B_r) = \dfrac{11}{21}$
場合分けの重みが等しくないため、単純な平均は使えません。全確率の公式で、各場合の確率で重み付けした計算が必要です。
全確率の公式 $P(B) = \sum P(A_k) \cdot P_{A_k}(B)$ は、ベイズの定理の分母に現れる式です。
$$P_{B}(A_i) = \frac{P(A_i) \cdot P_{A_i}(B)}{\sum_{k=1}^{n} P(A_k) \cdot P_{A_k}(B)}$$
これは「結果 $B$ が観測されたとき、原因が $A_i$ である確率」を求める公式です。 高校数学では「原因の確率」と呼ばれることがあります。 医療検査の偽陽性率の問題や、製品の不良品がどの工場から来たかを推定する問題などに使われます。
ここまで学んだ内容を俯瞰して、確率の計算手法の全体像を整理しましょう。
| 場面 | 使う道具 | ポイント |
|---|---|---|
| 独立な試行の積 | $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ | コインやサイコロなど、互いに影響しない試行 |
| 非復元抽出（2段階） | 乗法定理 $P(A) \cdot P_A(B)$ | くじ、玉の取り出し（戻さない） |
| 複数の経路 | 全確率の公式 | 場合分けして乗法定理 → 加法定理で合算 |
| 結果→原因 | ベイズの定理 | 乗法定理÷全確率で「原因の確率」を逆算 |
| 樹形図 | 乗法定理＋加法定理 | 枝をかける（乗法定理）、経路を足す（加法定理） |
Q1. 乗法定理 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B)$ は、どの公式を変形して得られますか？
Q2. $A$ と $B$ が独立のとき、乗法定理はどう簡略化されますか？
Q3. 赤玉5個、白玉3個の袋から2個続けて取り出す（戻さない）。2個とも赤の確率は？
Q4. 当たり4本を含む20本のくじを、A, B, Cの3人が順に1本ずつ引く（戻さない）。Cが当たる確率は？
Q5. 樹形図で「枝に沿って確率をかけ算する」操作は、数学的にはどの公式に対応しますか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
当たりくじ3本を含む10本のくじがある。A, Bの2人がこの順に1本ずつ引く（引いたくじは戻さない）。次の確率を求めよ。
(1) Aが当たり、Bもが当たる確率
(2) Aがはずれ、Bが当たる確率
(1) $\dfrac{1}{15}$ (2) $\dfrac{7}{30}$
方針：非復元抽出なので、乗法定理を使って段階的に計算する。
Aが当たる事象を $A$、Bが当たる事象を $B$ とする。
(1) $P(A \cap B) = P(A) \cdot P_A(B) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}$
Aが当たった後、残り9本中当たり2本。
(2) $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P_{\bar{A}}(B) = \dfrac{7}{10} \times \dfrac{3}{9} = \dfrac{7}{30}$
Aがはずれた後、残り9本中当たり3本。
袋Aには白球5個、黒球4個、袋Bには白球5個、黒球3個が入っている。袋Aから2個の球を同時に取り出して袋Bに入れた後、袋Bから2個の球を同時に取り出すとき、2個とも白球である確率を求めよ。
$\dfrac{19}{54}$
方針：袋Aから取り出す2個の色の組み合わせで場合分けし、各場合で袋Bの構成を考える。
袋Aから取り出す球の組み合わせは3通り：
[1] 白2個：$P_1 = \dfrac{{}_{5}C_{2}}{{}_{9}C_{2}} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$。 袋Bは白 $5+2=7$ 個、黒3個の10個。2個とも白の確率 $= \dfrac{{}_{7}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \dfrac{21}{45} = \dfrac{7}{15}$
[2] 白1個、黒1個：$P_2 = \dfrac{{}_{5}C_{1} \cdot {}_{4}C_{1}}{{}_{9}C_{2}} = \dfrac{20}{36} = \dfrac{10}{18}$。 袋Bは白 $5+1=6$ 個、黒 $3+1=4$ 個の10個。2個とも白の確率 $= \dfrac{{}_{6}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$
[3] 黒2個：$P_3 = \dfrac{{}_{4}C_{2}}{{}_{9}C_{2}} = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$。 袋Bは白5個、黒 $3+2=5$ 個の10個。2個とも白の確率 $= \dfrac{{}_{5}C_{2}}{{}_{10}C_{2}} = \dfrac{10}{45} = \dfrac{2}{9}$
全確率の公式より：
$\dfrac{5}{18} \times \dfrac{7}{15} + \dfrac{10}{18} \times \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{7}{54} + \dfrac{10}{54} + \dfrac{2}{54} = \dfrac{19}{54}$
袋Aには赤玉4個と白玉2個、袋Bには赤玉3個と白玉3個が入っている。袋Aから1個の玉を取り出して袋Bに入れ、よく混ぜてから袋Bから1個の玉を取り出して袋Aに入れる。このとき、次の確率を求めよ。
(1) 袋Aの赤玉の個数が最初と変わらない確率
(2) 袋Aの白玉の個数が1個になる確率
(1) $\dfrac{4}{7}$ (2) $\dfrac{1}{7}$
方針：袋Aから取り出す色で場合分けし、各場合で袋Bの構成を確認して乗法定理を適用する。
袋Aから取り出す色と袋Bから戻る色の組み合わせは4通りある。
(1) 袋Aの赤玉が4個のまま ＝「赤を出して赤が戻る」or「白を出して白が戻る」。
赤→赤：袋Aから赤を出す確率 $\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$。袋Bは赤4個・白3個の7個になる。袋Bから赤を取り出す確率 $\dfrac{4}{7}$。
$$P(\text{赤→赤}) = \frac{2}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{8}{21}$$
白→白：袋Aから白を出す確率 $\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$。袋Bは赤3個・白4個の7個になる。袋Bから白を取り出す確率 $\dfrac{4}{7}$。
$$P(\text{白→白}) = \frac{1}{3} \times \frac{4}{7} = \frac{4}{21}$$
$$P(\text{赤玉不変}) = \frac{8}{21} + \frac{4}{21} = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}$$
(2) 袋Aの白玉が1個になる ＝「白を出して赤が戻る」（白が2→1個に減り、赤が戻る）。
白→赤：袋Aから白を出す確率 $\dfrac{1}{3}$。袋Bは赤3個・白4個の7個。袋Bから赤を取り出す確率 $\dfrac{3}{7}$。
$$P(\text{白→赤}) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{7} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$$
3つの袋A, B, Cがある。袋Aには白球5個と赤球1個、袋Bには白球4個と赤球2個、袋Cには白球3個と赤球3個が入っている。3つの袋から等確率で1つを選び、その袋から1個の球を取り出したところ、白球であった。このとき、選ばれた袋がAである確率を求めよ。
$\dfrac{5}{12}$
方針：全確率の公式で「白球を取り出す確率」を求め、ベイズの定理（乗法定理の応用）で「白球が出たときに袋Aだった確率」を逆算する。
袋A, B, Cを選ぶ事象をそれぞれ $A$, $B$, $C$、白球を取り出す事象を $W$ とする。
$P(A) = P(B) = P(C) = \dfrac{1}{3}$
$P_A(W) = \dfrac{5}{6}$, $P_B(W) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$, $P_C(W) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$
全確率の公式：
$P(W) = P(A) \cdot P_A(W) + P(B) \cdot P_B(W) + P(C) \cdot P_C(W)$
$= \dfrac{1}{3} \times \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{18} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{18} + \dfrac{4}{18} + \dfrac{3}{18} = \dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}$
求める確率（ベイズの定理）：
$P_W(A) = \dfrac{P(A) \cdot P_A(W)}{P(W)} = \dfrac{\frac{1}{3} \times \frac{5}{6}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{\frac{5}{18}}{\frac{2}{3}} = \dfrac{5}{18} \times \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{12}$