コインを10回投げて表が3回出る確率は？ サイコロを5回振って1の目が2回出る確率は？
「同じ試行を繰り返して、特定の回数だけ成功する確率」を求める公式が、反復試行の確率です。
この公式は大学で学ぶ二項分布の出発点でもあり、統計学の基礎につながります。
「コインを投げる」「サイコロを振る」「くじを引いて元に戻す」のように、 同じ条件のもとで同じ試行を繰り返すことを反復試行と呼びます。
反復試行のポイントは、各回の試行が独立であること。 つまり、前の回の結果が次の回の結果に影響を与えません。 コインを投げて表が出たからといって、次に裏が出やすくなったりはしないのです。
では、1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$ とします。 この試行を $n$ 回繰り返したとき、事象 $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率を求めましょう。
1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$、起こらない確率を $q = 1 - p$ とする。
この試行を $n$ 回繰り返すとき、事象 $A$ がちょうど $k$ 回起こる確率は
$${}_nC_k \, p^k \, q^{n-k} = {}_nC_k \, p^k (1-p)^{n-k}$$この公式は3つの要素から成り立っています。
$n$ 回中 $k$ 回成功するとき、たとえば「成功・失敗・成功・成功・失敗・$\cdots$」のような1つの特定の並び方が起こる確率は $p^k(1-p)^{n-k}$ です。
しかし、$k$ 回の成功が $n$ 回のうちのどの位置に来てもよいので、その並び方の総数 ${}_nC_k$ を掛けます。
つまり、公式の本質は「1パターンの確率」$\times$「パターンの数」です。
✕ 誤：「袋から玉を1個取り出し、元に戻さずにもう1個取り出す」試行に反復試行の公式を使う
○ 正：元に戻さない場合は、2回目の確率が1回目の結果に依存するため独立ではない。反復試行の公式は使えない。
反復試行の公式を使えるのは、各回の試行が独立（＝確率が毎回同じ）の場合だけです。「元に戻す（復元抽出）」なら独立、「元に戻さない（非復元抽出）」なら独立ではありません。
大学の統計学では、$n$ 回の反復試行で成功する回数 $X$ を確率変数と呼び、$X$ が従う確率分布を二項分布 $B(n, p)$ と呼びます。
$P(X = k) = {}_nC_k \, p^k(1-p)^{n-k}$ はまさに二項分布の確率関数そのものです。
二項分布の期待値は $np$、分散は $np(1-p)$ であることが知られています。たとえばコインを100回投げたとき、表の回数の期待値は $100 \times \frac{1}{2} = 50$ 回。この直感的に当たり前の結果が、数学的に証明されるのです。
反復試行の公式を「暗記する」のではなく、なぜこの形になるのかを理解しましょう。 具体例を使って導出します。
コインを5回投げます。表が出る確率は毎回 $\dfrac{1}{2}$、裏が出る確率も $\dfrac{1}{2}$ です。
表を $\bigcirc$、裏を $\times$ で表すと、「5回中3回表」の出方は、たとえば次のようなものがあります。
$\bigcirc \bigcirc \bigcirc \times \times$（1,2,3回目が表）
$\bigcirc \times \bigcirc \bigcirc \times$（1,3,4回目が表）
$\times \times \bigcirc \bigcirc \bigcirc$（3,4,5回目が表）
$\cdots$
どの並び方でも、$\bigcirc$ が3個、$\times$ が2個なので、それぞれの確率は
$$\left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$$そして、5つの位置から $\bigcirc$ を置く3つの位置を選ぶ組合せの数は ${}_5C_3 = 10$ 通り。 これらの並び方は互いに排反（同時には起こらない）なので、確率を足し合わせて
$$P = {}_5C_3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$1回の試行で事象 $A$ が起こる確率を $p$、起こらない確率を $q = 1 - p$ とする。
Step 1：$n$ 回の試行で、事象 $A$ が起こることを $\bigcirc$、起こらないことを $\times$ で表す。
Step 2：「$\bigcirc$ が $k$ 個、$\times$ が $n - k$ 個」の特定の1つの並び方の確率を考える。各回の試行は独立なので、確率の積が取れて $p^k \cdot q^{n-k}$。
Step 3：$\bigcirc$ が $k$ 個入る位置の選び方は、$n$ 個の位置から $k$ 個を選ぶ組合せ ${}_nC_k$ 通り。
Step 4：これらの並び方は互いに排反なので、加法定理により
$$P = {}_nC_k \cdot p^k \cdot q^{n-k} = {}_nC_k \cdot p^k(1-p)^{n-k}$$
${}_nC_k$ が付く理由は、$n$ 回のうちどの $k$ 回で成功するかを選ぶためです。
第1回、第2回、$\ldots$、第 $n$ 回のうち、成功する $k$ 回を選ぶ。これは $n$ 個の中から $k$ 個を選ぶ組合せであり、まさに ${}_nC_k$ です。
もし「最初の $k$ 回が全部成功」のような特定の並びだけを考えるなら ${}_nC_k$ は不要ですが、「どの $k$ 回でもよい」ので ${}_nC_k$ を掛けるのです。
「サイコロを5回振って、少なくとも1回は1の目が出る確率」を求めるとき：
✕ 誤：$k = 1, 2, 3, 4, 5$ のすべてについて ${}_5C_k \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{5-k}$ を計算して足す（計算量が多い）
○ 正：余事象「1回も1の目が出ない」を使う。
$$P = 1 - P(\text{0回}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^5 = 1 - \frac{3125}{7776} = \frac{4651}{7776}$$
「少なくとも1回」「$k$ 回以上」は、直接計算すると場合が多くなるので、余事象を使う方がはるかに楽です。
✕ 誤：サイコロを3回振って6の目が2回出る確率を $\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1 = \frac{5}{216}$ と答える
○ 正：${}_3C_2 \times \left(\frac{1}{6}\right)^2 \times \left(\frac{5}{6}\right)^1 = 3 \times \frac{5}{216} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}$
$\left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^1$ は「1回目と2回目が6、3回目が6以外」という特定の1パターンだけの確率です。「2回目と3回目が6」「1回目と3回目が6」のパターンも含めるために ${}_3C_2 = 3$ を掛ける必要があります。
反復試行の確率の計算では、問題文の聞き方によってアプローチが変わります。 主なパターンを整理しましょう。
サイコロを5回投げて、3の倍数の目がちょうど3回出る確率を求めます。 3の倍数の目は3, 6の2つなので、1回の試行で3の倍数が出る確率は $p = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ です。
$$P = {}_5C_3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 10 \times \frac{1}{27} \times \frac{4}{9} = \frac{40}{243}$$サイコロを5回投げて、3の倍数の目が4回以上出る確率を求めます。 「4回以上」とは「4回または5回」なので
$$P = {}_5C_4 \left(\frac{1}{3}\right)^4 \left(\frac{2}{3}\right)^1 + {}_5C_5 \left(\frac{1}{3}\right)^5 \left(\frac{2}{3}\right)^0$$ $$= 5 \times \frac{1}{81} \times \frac{2}{3} + 1 \times \frac{1}{243} \times 1 = \frac{10}{243} + \frac{1}{243} = \frac{11}{243}$$この場合は足す項が2つなのでまだ楽ですが、「少なくとも1回」のように足す項が多い場合は余事象を使いましょう。
サイコロを5回投げて、3の倍数の目が少なくとも1回出る確率を求めます。 余事象は「0回」つまり「1回も出ない」ことです。
$$P = 1 - {}_5C_0 \left(\frac{1}{3}\right)^0 \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^5 = 1 - \frac{32}{243} = \frac{211}{243}$$「少なくとも1回」＝「1回以上」の確率を直接求めると、$k = 1, 2, 3, \ldots, n$ のすべてを足す必要があり計算量が膨大です。
余事象「0回（1回も起こらない）」は $(1-p)^n$ の1通りだけなので、
$$P(\text{少なくとも1回}) = 1 - (1-p)^n$$
と一瞬で求まります。「少なくとも」が出たら余事象を考える。これは確率の鉄則です。
数直線上の原点に点 $P$ があり、コインを投げて表なら $+2$、裏なら $-1$ 移動するとします。 コインを7回投げた後、$P$ が座標5にいる確率を求めましょう。
表が $a$ 回、裏が $b$ 回出るとすると
これを解くと $a = 4, \, b = 3$。よって求める確率は
$$P = {}_7C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^4 \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 35 \times \frac{1}{128} = \frac{35}{128}$$✕ 誤：「表が何回、裏が何回なら座標5になるか」をいろいろ試して探す
○ 正：表を $a$ 回、裏を $b$ 回として、$a + b = n$（回数条件）と $(\text{移動量の和}) = (\text{目標座標})$ の連立方程式を立てる
連立方程式なら機械的に解けます。特に整数解が存在しない場合は「確率0」と即答できるため、試行錯誤するよりも確実です。
「コインを投げて右か左に進む」点の移動問題は、大学数学ではランダムウォーク（酔歩）と呼ばれます。酔っぱらいが千鳥足でどこへ行くか、というイメージです。
ランダムウォークは物理学（ブラウン運動）、金融工学（株価モデル）、情報科学（探索アルゴリズム）など多くの分野の基礎となっています。高校で学ぶ「点の移動と反復試行」は、これらの理論への第一歩です。
反復試行の公式を使うと、$k = 0, 1, 2, \ldots, n$ のそれぞれについて確率 $P(k)$ が求まります。 では、確率が最大になるのは $k$ がいくつのときでしょうか。
これを求めるには、隣り合う確率の比を調べます。
$P(k) = {}_nC_k \, p^k (1-p)^{n-k}$ とおくと
$$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{{}_nC_{k+1}}{{}_nC_k} \cdot \frac{p}{1-p}$$${}_nC_{k+1} / {}_nC_k = (n-k)/(k+1)$ なので
$$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{(n-k) \, p}{(k+1)(1-p)}$$この比が $1$ より大きいとき $P(k+1) > P(k)$（確率は増加中）、$1$ より小さいとき $P(k+1) < P(k)$（確率は減少に転じた）です。
$\dfrac{P(k+1)}{P(k)} \geq 1$ を解くと
$$(n-k)p \geq (k+1)(1-p)$$
$$k \leq (n+1)p - 1$$
つまり、$k$ が $(n+1)p - 1$ 以下のうちは確率は増加し、これを超えると減少します。
$P(k)$ が最大になるのは $k = \lfloor (n+1)p \rfloor$ 付近です（$\lfloor \cdot \rfloor$ は切り捨て）。
なお $(n+1)p$ が整数のときは、$k = (n+1)p - 1$ と $k = (n+1)p$ の2つで $P(k)$ が最大値をとります。
サイコロを13回振るとき、6の目が $k$ 回出る確率を $P(k)$ とします。 $n = 13$, $p = \frac{1}{6}$ なので
$$\frac{P(k+1)}{P(k)} = \frac{(13 - k) \cdot \frac{1}{6}}{(k+1) \cdot \frac{5}{6}} = \frac{13 - k}{5(k+1)}$$$\dfrac{P(k+1)}{P(k)} \geq 1$ のとき $13 - k \geq 5(k + 1)$、つまり $k \leq \dfrac{4}{3} = 1.33\ldots$
よって $k = 0 \to 1$ のとき確率は増加し、$k = 1 \to 2$ から減少に転じます。 $P(k)$ が最大になるのは $k = 2$（6の目が2回出るとき）です。
検証：$(n+1)p = 14 \times \frac{1}{6} = \frac{7}{3} \approx 2.33$。 $\lfloor 2.33 \rfloor = 2$ なので、確かに $k = 2$ で最大です。
✕ 誤：$P(0), P(1), P(2), \ldots, P(13)$ をすべて計算して最大を探す
○ 正：隣り合う確率の比 $P(k+1)/P(k)$ と $1$ の大小を調べて、増減の切り替わりを見つける
$n$ が大きくなると全部計算するのは非現実的です。比を使えば不等式1つで答えが出ます。
$P(k)$ を最大にする $k$ は、統計学では最頻値（モード）と呼ばれます。 二項分布 $B(n, p)$ の場合、最頻値は $(n+1)p - 1$ 以上 $(n+1)p$ 以下の整数です。
一方、期待値は $np$ です。最頻値と期待値はつねに近い値になりますが、一般には一致するとは限りません。たとえば $n = 13, p = 1/6$ のとき、期待値は $13/6 \approx 2.17$、最頻値は $2$ です。
反復試行の確率に関する問題パターンを整理しましょう。
| パターン | 問題の特徴 | 解法のポイント |
|---|---|---|
| A：ちょうど $k$ 回 | 「ちょうど3回」など | 公式 ${}_nC_k p^k(1-p)^{n-k}$ にそのまま代入 |
| B：$k$ 回以上 / 以下 | 「4回以上」「3回以下」 | 場合が少なければ直接加算。多ければ余事象 |
| C：少なくとも1回 | 「少なくとも1回」 | 余事象 $1 - (1-p)^n$ で一発 |
| D：先に $m$ 勝 | 「先に4勝した方が優勝」 | 最後の試行で $m$ 勝目になる条件を付ける |
| E：点の移動 | 「座標5に到達する確率」 | 連立方程式で成功・失敗の回数を求める |
| F：最大確率 | 「何回成功が最も確率大か」 | $P(k+1)/P(k)$ の大小比較 |
Q1. 反復試行の確率の公式で ${}_nC_k$ を掛ける理由を説明してください。
Q2. コインを6回投げて、表がちょうど4回出る確率を求めてください。
Q3. サイコロを4回振って、少なくとも1回は6の目が出る確率を求めてください。
Q4. 「袋から玉を取り出して元に戻す」試行は反復試行ですか？ 「元に戻さない」場合はどうですか？
Q5. 反復試行で確率 $P(k)$ が最大になる $k$ を求める方法を述べてください。
反復試行の確率に関する入試形式の問題で実力を確認しましょう。
1枚の硬貨を7回投げるとき、次の確率を求めよ。
(1) 表がちょうど5回出る確率
(2) 表が少なくとも1回出る確率
(1) $\dfrac{21}{128}$ (2) $\dfrac{127}{128}$
方針：(1) 反復試行の公式に代入。(2) 余事象を使う。
(1) $p = \frac{1}{2}$, $n = 7$, $k = 5$ として
${}_7C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 21 \times \frac{1}{128} = \frac{21}{128}$
(2) 余事象は「表が0回」。
$P = 1 - \left(\frac{1}{2}\right)^7 = 1 - \frac{1}{128} = \frac{127}{128}$
A, B の2チームが野球の試合をして、先に4勝したチームが優勝とする。各試合でAが勝つ確率は $\dfrac{2}{3}$ で、引き分けはないものとする。
(1) ちょうど6試合目でAが優勝する確率を求めよ。
(2) Aが優勝する確率を求めよ。
(1) $\dfrac{80}{729}$ (2) $\dfrac{1808}{2187}$
方針：「先に $m$ 勝」の問題では、最後の試行で $m$ 勝目を決めることに注意する。
(1) 6試合目でAが優勝する条件：
・最初の5試合でAが3勝2敗（5試合目まではAがまだ3勝）
・6試合目でAが勝つ（4勝目を決める）
最初の5試合で3勝2敗の確率：${}_5C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 10 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{9} = \frac{80}{243}$
6試合目で勝つ確率：$\frac{2}{3}$
よって $\frac{80}{243} \times \frac{2}{3} = \frac{160}{729}$
修正：${}_5C_3 = 10$, $\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{8}{27}$, $\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$ より $10 \times \frac{8}{243} = \frac{80}{243}$。 これに $\frac{2}{3}$ を掛けて $\frac{160}{729}$。
(2) Aが優勝するのは、4試合目、5試合目、6試合目、7試合目で4勝目を決める場合。
・4試合で優勝：$\left(\frac{2}{3}\right)^4 = \frac{16}{81}$
・5試合で優勝：${}_4C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^1 \times \frac{2}{3} = 4 \times \frac{8}{27} \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{64}{243}$
・6試合で優勝：$\frac{160}{729}$（(1)で求めた）
・7試合で優勝：${}_6C_3 \left(\frac{2}{3}\right)^3 \left(\frac{1}{3}\right)^3 \times \frac{2}{3} = 20 \times \frac{8}{729} \times \frac{2}{3} = \frac{320}{2187}$
合計：$\frac{16}{81} + \frac{64}{243} + \frac{160}{729} + \frac{320}{2187}$
$= \frac{432 + 576 + 480 + 320}{2187} = \frac{1808}{2187}$
数直線上の原点に点Pがある。硬貨を1回投げて、表が出れば $+2$、裏が出れば $-1$ だけPを移動させる。硬貨を7回投げたとき、点Pが座標 $8$ にある確率を求めよ。
$\dfrac{21}{128}$
方針：表の回数と裏の回数について連立方程式を立てる。
表が $a$ 回、裏が $b$ 回出るとすると
$a + b = 7$ かつ $2a - b = 8$
これを解くと $3a = 15$ より $a = 5$, $b = 2$。
よって、求める確率は
${}_7C_5 \left(\frac{1}{2}\right)^5 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 21 \times \frac{1}{128} = \frac{21}{128}$
1個のサイコロを13回投げるとき、6の目がちょうど $k$ 回出る確率を $P_k$ とする。ただし $0 \leq k \leq 13$ とする。
(1) $P_k$ を $k$ の式で表せ。
(2) $P_k$ が最大となる $k$ の値を求めよ。
(1) $P_k = {}_{13}C_k \left(\dfrac{1}{6}\right)^k \left(\dfrac{5}{6}\right)^{13-k}$
(2) $k = 2$
方針：$P_{k+1}/P_k$ と $1$ の大小を調べる。
(1) 反復試行の公式より $P_k = {}_{13}C_k \left(\frac{1}{6}\right)^k \left(\frac{5}{6}\right)^{13-k}$
(2) $\dfrac{P_{k+1}}{P_k} = \dfrac{{}_{13}C_{k+1}}{{}_{13}C_k} \cdot \dfrac{\frac{1}{6}}{\frac{5}{6}} = \dfrac{13 - k}{k+1} \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{13-k}{5(k+1)}$
$\dfrac{P_{k+1}}{P_k} \geq 1$ のとき $13 - k \geq 5(k+1)$、つまり $13 - k \geq 5k + 5$、$8 \geq 6k$、$k \leq \frac{4}{3}$
$k$ は整数なので $k \leq 1$。
よって $P_0 < P_1 < P_2 > P_3 > \cdots > P_{13}$
したがって $P_k$ が最大となるのは $k = 2$。