サイコロを振ったとき、6の目が出る「確からしさ」はどれくらいでしょうか。
確率は、偶然の世界に数学のメスを入れ、「どれくらい起こりやすいか」を数値で表す道具です。
この記事では、確率の土台となる定義と基本法則を、原理から丁寧に学びます。
確率を学ぶ前に、まず「言葉」を正確に定義しておく必要があります。 数学では、日常語をそのまま使うと曖昧さが残るので、専門用語を決めて議論の土台を固めます。
試行とは、同じ条件のもとで何回でも繰り返すことができ、どの結果が起こるかが偶然に決まるような実験や観測のことです。 たとえば、「サイコロを1個振る」「コインを投げる」「袋から玉を取り出す」などが試行にあたります。
重要なのは「同じ条件で繰り返せる」という点です。 「明日、雨が降るかどうか」は日常的には確率の話をしますが、厳密には同じ条件を再現して繰り返すことが難しいため、高校数学で扱う確率の試行とは少し性質が異なります。
事象とは、試行の結果として起こる事柄のことです。 たとえば「サイコロを1個振る」という試行において、「偶数の目が出る」「3以上の目が出る」などが事象です。
事象は集合で表すと整理しやすくなります。 サイコロの試行では、起こりうる結果の全体は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ です。 「偶数の目が出る」という事象は $A = \{2, 4, 6\}$ と書けます。
事象にはいくつかの重要な種類があります。
根元事象は確率の「最小単位」です。 どんな事象も、根元事象の集まり（集合）として表現できます。 「偶数の目が出る」= $\{2\} \cup \{4\} \cup \{6\}$ というように、根元事象を寄せ集めたものが一般の事象です。
確率の理論では、事象を集合として扱うことが基本です。 第6章で学んだ「場合の数」と集合の知識が、確率の土台になっています。
「事象 $A$ が起こる」＝「結果が集合 $A$ の要素である」。 和事象は和集合 $A \cup B$、積事象は共通部分 $A \cap B$、余事象は補集合 $\overline{A}$。 集合の言葉に翻訳すれば、確率の法則は集合の性質から自然に導かれます。
確率では、見た目が同じものでも1つ1つを区別して考えるのが鉄則です。
✕ 誤：赤玉1個と白玉9個の袋から1個取り出すとき、「赤か白の2通りだから確率は $\dfrac{1}{2}$」
○ 正：白玉9個を白$_1$, 白$_2$, ..., 白$_9$ と区別する。全部で10通りの根元事象があり、赤玉が出るのは1通り。よって確率は $\dfrac{1}{10}$。
「赤が出る」と「白が出る」は同様に確からしくないのに、同様に確からしいと誤認したのが原因です。 根元事象を正しく設定するには、個々のものを区別して数える必要があります。
「同様に確からしい」は英語で "equally likely" や "equally possible" と言います。 これは「各根元事象の起こる確率が等しい」という対称性の仮定です。
サイコロは6面が対称的に作られているから、各面が出ることは同程度に期待できます。 しかし、ペットボトルのキャップを投げたとき、「表」と「裏」が同程度に出るとは限りません。 形状が非対称だからです。
「同様に確からしい」は物理的な対称性に基づく前提条件であり、自動的に成り立つものではありません。 この前提が正しいかどうかを確認することが、確率を正しく求める第一歩です。
いよいよ確率の定義です。 ここでは、根元事象がすべて同様に確からしい場合の確率を定義します。
全事象 $U$ に属する根元事象の個数を $n(U)$、事象 $A$ に属する根元事象の個数を $n(A)$ とするとき、 事象 $A$ の起こる確率 $P(A)$ を次のように定めます。
根元事象がすべて同様に確からしい試行において、
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{\text{事象 } A \text{ の起こる場合の数}}{\text{起こりうるすべての場合の数}}$$なぜこの定義が自然なのでしょうか。 根元事象が $n(U)$ 個あり、どれも同じ確率で起こるなら、各根元事象の確率は $\dfrac{1}{n(U)}$ です。 事象 $A$ は $n(A)$ 個の根元事象からなるので、$A$ が起こる確率は $\dfrac{n(A)}{n(U)}$ になります。 つまり、確率の定義は「対称性の仮定」から必然的に導かれる式なのです。
定義から直ちに、次の3つの性質が導かれます。
事象 $A$ は全事象 $U$ の部分集合なので、$A$ の要素の個数は $U$ の要素の個数以下です。
$$0 \leq n(A) \leq n(U)$$
両辺を $n(U) > 0$ で割ると、
$$0 \leq \frac{n(A)}{n(U)} \leq 1$$
すなわち $0 \leq P(A) \leq 1$ が成り立ちます。 確率が0なら「絶対に起こらない」、1なら「必ず起こる」、その間の値なら「ある程度の確からしさで起こる」ことを意味します。
確率を求める手順は、突き詰めるとたった2ステップです。
Step 1：全事象 $U$ の場合の数 $n(U)$ を求める（分母）
Step 2：求めたい事象 $A$ の場合の数 $n(A)$ を求める（分子）
あとは $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ に代入するだけ。 第6章で学んだ「順列・組合せ」の技術は、まさにこの2つの場合の数を正確に数えるための道具です。
1個のサイコロを振る試行を考えましょう。 全事象は $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ で $n(U) = 6$ です。
「偶数の目が出る」事象を $A = \{2, 4, 6\}$ とすると、$n(A) = 3$。
$$P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$「5以上の目が出る」事象を $B = \{5, 6\}$ とすると、$n(B) = 2$。
$$P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$2個のサイコロを投げるとき、全事象の場合の数はいくつでしょうか。
✕ 誤：「目の組み合わせ」で考えて $(1,1), (1,2), \ldots, (6,6)$ の21通り
○ 正：2個のサイコロをA, Bと区別する。Aの目が6通り、Bの目が6通りで $6 \times 6 = 36$ 通り
$(1,2)$（Aが1, Bが2）と $(2,1)$（Aが2, Bが1）は別の根元事象です。 区別しないと、たとえば「目の和が7」の確率を正しく求められません。 同じ形のサイコロでも、必ず区別して数えるのが鉄則です。
$P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ が使えるのは、根元事象が同様に確からしいときに限ります。
✕ 誤：3枚のコインを投げるとき、「表3枚・表2裏1・表1裏2・裏3枚」の4通りだから、表3枚の確率は $\dfrac{1}{4}$
○ 正：3枚を区別すると全事象は $2^3 = 8$ 通り。表3枚は $(表, 表, 表)$ の1通りだけなので確率は $\dfrac{1}{8}$
上の4パターンは同様に確からしくありません。表2裏1は3通り、表3枚は1通りなので、同じ重みで数えてはいけないのです。
高校で学ぶ確率の定義は「根元事象が同様に確からしい」場合に限定されています。 では、コインの表裏が等確率でない場合や、連続的な確率（たとえば「0から1の間のランダムな実数」）はどう扱うのでしょうか。
1933年、ロシアの数学者コルモゴロフは、確率を次の3つの公理で定義しました。
(1) 任意の事象 $A$ に対して $P(A) \geq 0$
(2) $P(U) = 1$
(3) 互いに排反な事象 $A_1, A_2, \ldots$ に対して $P(A_1 \cup A_2 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + \cdots$
この3つの公理を満たすものを「確率」と呼ぶ、というのが現代数学の立場です。 高校で学ぶ $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ は、この公理を満たす「特別な場合」にすぎません。 公理的な定義により、天気予報の降水確率や量子力学の確率など、より広い世界を扱えるようになります。
事象 $A$ に対して、「$A$ が起こらない」という事象を $A$ の余事象といい、$\overline{A}$ で表します。 集合の言葉でいえば、$\overline{A}$ は $A$ の補集合です。
$A$ と $\overline{A}$ の関係を整理しましょう。
$A \cup \overline{A} = U$ の両辺の確率を考えると、$A$ と $\overline{A}$ は排反なので、
$$P(A) + P(\overline{A}) = P(U) = 1$$したがって、
この公式は一見シンプルですが、実は非常に強力な武器です。 「少なくとも1つは〜」「すべてが〜でない」のように、直接数えると場合分けが面倒な事象は、 余事象を使うとスッキリ計算できることが多いのです。
「少なくとも1個は赤玉が出る」確率を直接求めようとすると、「赤1個」「赤2個」「赤3個」...と場合分けが必要になります。
しかし余事象「赤玉が1個も出ない（＝すべて白玉）」は1パターンだけなので計算が簡単です。
$$P(\text{少なくとも1個は赤}) = 1 - P(\text{すべて白})$$
「少なくとも」「〜でない」「1つ以上」というキーワードが問題文に現れたら、余事象の出番です。
2個のサイコロを同時に投げるとき、少なくとも1個は偶数の目が出る確率を求めてみましょう。
全事象は $n(U) = 6 \times 6 = 36$ 通りです。
直接数えると、「1個だけ偶数」と「2個とも偶数」の場合分けが必要です。 余事象を使えば、「2個とも奇数」だけ数えればよいので簡単です。
2個とも奇数の目（1, 3, 5）が出る場合の数は $3 \times 3 = 9$ 通り。
$$P(\text{少なくとも1個は偶数}) = 1 - P(\text{2個とも奇数}) = 1 - \frac{9}{36} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$すべての問題で余事象が最善とは限りません。判断基準は「場合分けの数」です。
余事象が有利：「少なくとも1つは〜」→ 余事象は「1つも〜でない」の1パターン
直接計算が有利：「ちょうど2個が〜」→ 余事象は「0個」「1個」「3個」...と多くなる
余事象の方が場合分けが少なくなるかどうかを、手を動かす前に見極めましょう。
2つの事象 $A$, $B$ に対して、「$A$ または $B$ が起こる」事象を和事象といい、$A \cup B$ で表します。 「$A$ と $B$ がともに起こる」事象は積事象で、$A \cap B$ と書きます。
和事象の確率は、集合の要素の個数の公式と同じ構造をしています。
一般の場合：
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$$A$ と $B$ が排反（$A \cap B = \emptyset$）のとき：
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$$P(A) + P(B)$ をそのまま足すと、$A$ にも $B$ にも含まれる根元事象（$A \cap B$ の部分）が2回数えられてしまいます。
だから $P(A \cap B)$ を1回分引いて、ちょうど1回ずつ数えるようにします。 これは第6章で学んだ集合の要素の個数の公式 $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ と全く同じ原理です。
$A$ と $B$ が排反なら $A \cap B = \emptyset$ で $P(A \cap B) = 0$ なので、単純に足すだけで済みます。
集合の要素の個数について、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ が成り立ちます。
両辺を $n(U)$ で割ると、
$$\frac{n(A \cup B)}{n(U)} = \frac{n(A)}{n(U)} + \frac{n(B)}{n(U)} - \frac{n(A \cap B)}{n(U)}$$
確率の定義 $P(X) = \dfrac{n(X)}{n(U)}$ を適用すると、
$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$
が得られます。確率の加法定理は、集合の個数の公式を $n(U)$ で割っただけなのです。
2つの事象 $A$, $B$ が同時には起こらないとき、すなわち $A \cap B = \emptyset$ のとき、$A$ と $B$ は互いに排反であるといいます。
たとえば、サイコロを1個振るとき、「1の目が出る」と「6の目が出る」は排反です。 一方、「偶数の目が出る」と「3の倍数の目が出る」は排反ではありません。 なぜなら、6は偶数かつ3の倍数なので、両方が同時に起こりうるからです。
52枚のトランプから1枚引くとき、「ハートまたは絵札」が出る確率を求めましょう。
$A$：ハートが出る → $P(A) = \dfrac{13}{52}$
$B$：絵札（J, Q, K）が出る → $P(B) = \dfrac{12}{52}$
$A \cap B$：ハートの絵札が出る → $P(A \cap B) = \dfrac{3}{52}$
$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$$上の例で「ハート」と「絵札」は排反ではありません。ハートの絵札（J, Q, K）が両方に含まれます。
✕ 誤：$P(A \cup B) = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} = \dfrac{25}{52}$（$P(A \cap B)$ を引いていない）
○ 正：$P(A \cup B) = \dfrac{13}{52} + \dfrac{12}{52} - \dfrac{3}{52} = \dfrac{22}{52} = \dfrac{11}{26}$
「排反かどうか」を必ず確認してください。排反でなければ $P(A \cap B)$ を引く。 「排反 → そのまま足す」「排反でない → 重複を引く」を徹底しましょう。
3つの事象 $A$, $B$, $C$ の和事象の確率は、集合の個数の公式を拡張して次のように表されます。
$$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A \cap B) - P(B \cap C) - P(C \cap A) + P(A \cap B \cap C)$$「足して、引いて、また足す」というパターンは、第6章の「包除原理」と全く同じです。 確率の問題で3つ以上の事象を扱う場合は少ないですが、集合の知識が基盤にあることを理解しておきましょう。
確率の理論が集合の言葉で記述されるのには、深い理由があります。 事象を集合として扱うことで、和事象（$\cup$）、積事象（$\cap$）、余事象（補集合）といった操作を、 集合の演算として統一的に扱えるからです。
大学の測度論では、確率は「集合に数値を割り当てる関数」（測度）として定式化されます。 面積が「図形に数値（広さ）を割り当てる」のと同じ発想で、確率は「事象に数値（確からしさ）を割り当てる」のです。 高校で「事象 ＝ 集合」と学ぶことは、この壮大な理論への入口にあたります。
ここまで学んだ確率の基本法則を一覧にして、全体像を整理しましょう。
| 法則 | 公式 | 使いどころ |
|---|---|---|
| 確率の定義 | $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(U)}$ | すべての確率計算の出発点 |
| 確率の範囲 | $0 \leq P(A) \leq 1$ | 答えの検算に使う |
| 加法定理（排反） | $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ | $A$ と $B$ が同時に起こらないとき |
| 加法定理（一般） | $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ | $A$ と $B$ に重複があるとき |
| 余事象の確率 | $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ | 「少なくとも」「〜でない」の問題 |
| パターン | 問題の特徴 | 解法のポイント |
|---|---|---|
| サイコロ | 1個: $n(U) = 6$、2個: $n(U) = 36$ | 2個以上は必ず区別して表を書く |
| コイン | $n$ 枚で $n(U) = 2^n$ | 各コインを区別。樹形図が有効 |
| カード・トランプ | 52枚から $r$ 枚引く | 組合せ ${}_nC_r$ で場合の数を求める |
| 玉の取り出し | 色や番号で区別された玉 | 「同時に取り出す」＝ 組合せ |
| 余事象の利用 | 「少なくとも」「1つ以上」 | $1 - P(\text{1つも〜でない})$ で計算 |
Q1. 1個のサイコロを振るとき、5以上の目が出る確率を求めてください。
Q2. 2個のサイコロを同時に投げるとき、目の和が10以上になる確率を求めてください。
Q3. 事象 $A$ の確率が $P(A) = 0.7$ のとき、$A$ が起こらない確率はいくつですか。
Q4. 2つの事象 $A$, $B$ が排反であるとはどういう意味ですか。また、排反のとき $P(A \cup B)$ はどう計算しますか。
Q5. $P(A) = \dfrac{1}{3}$、$P(B) = \dfrac{1}{2}$、$P(A \cap B) = \dfrac{1}{6}$ のとき、$P(A \cup B)$ を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
2個のサイコロを同時に投げるとき、次の確率を求めよ。
(1) 目の和が7になる確率
(2) 目の積が12になる確率
(1) $\dfrac{1}{6}$ (2) $\dfrac{1}{9}$
方針：2個のサイコロを区別し、全事象 $n(U) = 36$ を確認。条件を満たす場合を書き出す。
(1) 目の和が7：$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$ の6通り。
$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$
(2) 目の積が12：$12 = 2 \times 6 = 3 \times 4$ より、$(2,6), (6,2), (3,4), (4,3)$ の4通り。
$P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}$
赤玉5個と白玉4個が入っている袋から、同時に3個の玉を取り出す。少なくとも1個は赤玉が含まれる確率を求めよ。
$\dfrac{20}{21}$
方針：「少なくとも1個は赤」の余事象は「すべて白」。余事象で計算する。
全事象：9個から3個選ぶ → ${}_9C_3 = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 84$ 通り
すべて白玉：4個から3個選ぶ → ${}_4C_3 = 4$ 通り
$P(\text{すべて白}) = \dfrac{4}{84} = \dfrac{1}{21}$
$P(\text{少なくとも1個は赤}) = 1 - \dfrac{1}{21} = \dfrac{20}{21}$
52枚のトランプから1枚引くとき、「スペードまたは7以下の数札（A, 2, 3, 4, 5, 6, 7）」が出る確率を求めよ。ただし、Aは1とみなす。
$\dfrac{34}{52} = \dfrac{17}{26}$
方針：「スペード」と「7以下の数札」は排反ではない（スペードの7以下が重複）。加法定理を使う。
$A$：スペードが出る → $n(A) = 13$（スペードは13枚）
$B$：7以下の数札が出る → $n(B) = 7 \times 4 = 28$（A〜7が4スート）
$A \cap B$：スペードの7以下の数札 → $n(A \cap B) = 7$
$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{28}{52} - \frac{7}{52} = \frac{34}{52} = \frac{17}{26}$$
⚠️ 排反でないので $P(A \cap B)$ を忘れずに引く。
赤玉7個と青玉6個の合計13個の玉が入っている袋から、同時に4個取り出すとき、次の確率を求めよ。
(1) 赤玉が4個すべて取り出される確率
(2) 少なくとも1個は青玉が取り出される確率
(3) 4個とも同じ色である確率
(1) $\dfrac{7}{143}$ (2) $\dfrac{136}{143}$ (3) $\dfrac{10}{143}$
方針：全事象は13個から4個選ぶ組合せ。(2)は余事象を使う。(3)は排反事象の和。
全事象：${}_{13}C_4 = \dfrac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 715$
(1) 赤玉7個から4個選ぶ：${}_7C_4 = {}_7C_3 = \dfrac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$
$P = \dfrac{35}{715} = \dfrac{7}{143}$
(2) 余事象「4個すべて赤玉」の確率が (1) の $\dfrac{7}{143}$。
$P(\text{少なくとも1個は青}) = 1 - \dfrac{7}{143} = \dfrac{136}{143}$
(3) 「4個とも同じ色」＝「4個とも赤」または「4個とも青」。これらは排反。
4個とも赤：${}_7C_4 = 35$ 通り
4個とも青：${}_6C_4 = 15$ 通り
$P = \dfrac{35 + 15}{715} = \dfrac{50}{715} = \dfrac{10}{143}$