円形に並べる問題では、回転して重なるものを「同じ」と見なします。
なぜ $(n-1)!$ になるのか、なぜ数珠順列では $\div 2$ するのか。
原理を理解すれば、公式の暗記なしに条件付きの問題にも対応できます。
6-2で学んだ順列は、ものを一列に並べる場合の数でした。 では、円形のテーブルに人を座らせるとき、場合の数はどう変わるでしょうか。
直線上の並びと円形の並びには、決定的な違いがあります。 直線上では「左端が誰か」で区別できますが、円形には左端がありません。 円形に並べたとき、全体をぐるっと回転させて同じ配置になるものは、1通りと数えるのです。 このような並べ方を円順列といいます。
A, B, C, D, E の5人を円形に並べる場合の数を考えましょう。 まず、5人を一列に並べる順列は $5! = 120$ 通りです。
しかし、円形では「ABCDE」「BCDEA」「CDEAB」「DEABC」「EABCD」の5つは、 回転するとすべて同じ配置になります。 つまり、1つの円順列に対して $5$ 通りの直線順列が対応しています。
一般に、$n$ 個のものを円形に並べると、1つの円順列に対して $n$ 通りの直線順列が対応します。 なぜなら、円順列を1か所で切って直線に伸ばすとき、切る場所が $n$ か所あるからです。
円順列の公式の根拠は、「同じものが $n$ 通りずつ重複している」という事実です。
直線順列 $n!$ 通りの中には、回転して同じになるものが $n$ 通りずつ含まれています。 だから $n!$ を $n$ で割ります。
$$\text{円順列の総数} = \frac{n!}{n} = (n-1)!$$
この「重複を数えて割る」という考え方は、円順列に限らずあらゆる場合の数の問題で使う基本原理です。
同じ結果を、別のアプローチでも導けます。 円形の並びでは「誰が最初か」に意味がないので、1人を固定して基準にするのです。
たとえば A の位置を固定します。すると、残りの B, C, D, E の4人を A の右隣から順に並べればよく、これは $4! = 24$ 通りです。 一般に $n$ 個のうち1つを固定すると、残り $(n-1)$ 個の順列で $(n-1)!$ 通りとなります。
異なる $n$ 個のものの円順列の総数は
$$(n-1)!$$
考え方1（割り算）：$n$ 個の直線順列は $n!$ 通り。円形では回転で $n$ 通りが同一になるから、 円順列の総数は $\dfrac{n!}{n} = (n-1)!$
考え方2（固定）：1つを固定すると残りは $(n-1)$ 個の直線順列。よって $(n-1)!$ 通り。
どちらも $(n-1)!$ となり一致します。考え方2のほうが直観的なので、実際の問題では「1つ固定」を使うことが多いです。
誤：6人を円形に並べる方法は $6! = 720$ 通り
正：6人を円形に並べる方法は $(6-1)! = 5! = 120$ 通り
「円形に並べる」という条件を見落として直線順列の $n!$ で答えてしまうのは、最も多いミスです。 問題文に「円形に並べる」「円卓に座る」「輪になる」などのキーワードがあれば、 回転で同一視するかどうかを必ず確認しましょう。
$n = 1$ のとき、円順列は $(1-1)! = 0! = 1$ 通りです。$0! = 1$ であることを忘れないようにしましょう。
$n = 2$ のとき、円順列は $(2-1)! = 1! = 1$ 通り。2人が円形に座る方法は1通りしかありません。 なぜなら、A-B と B-A は回転すると同じだからです。
円順列で「回転で同じものを1つと数える」操作は、大学数学の群論で厳密に定式化されます。 $n$ 個の回転（$0^\circ, \dfrac{360^\circ}{n}, \dfrac{2 \times 360^\circ}{n}, \ldots$）は巡回群 $C_n$ と呼ばれる群を構成し、この群の作用で同じになるものを「同値類」として1つにまとめます。
高校で使う「$n!$ を $n$ で割る」は、「同値類の大きさがすべて $n$ だから、 全体を $n$ で割れば同値類の個数が出る」という群論の定理の特殊ケースです。
円順列では「回転」だけを同一視しました。 しかし、ネックレスやブレスレットのように裏返すことができるものでは、 裏返して同じ配置になるものもさらに同一と見なします。 この並べ方を数珠順列（じゅず順列）といいます。
たとえば、5個の異なる宝石を糸に通して首飾りを作る場面を考えましょう。 首飾りは手で持ち上げてひっくり返せるので、円順列で異なる2つの配置が、 裏返すと同じになる場合があります。
円順列のうち、裏返して一致するものが2つずつペアになっています。
たとえば、ある円順列で時計回りに「ABCDE」と並んでいるものと、 反時計回りに「ABCDE」（裏返すと「AEDCB」）と並んでいるものは、 裏返すと一致します。
このペアをまとめるには、円順列の総数を $2$ で割ります。
$$\text{数珠順列の総数} = \frac{(n-1)!}{2}$$
異なる $n$ 個のものの数珠順列の総数は
$$\frac{(n-1)!}{2}$$
誤：6個の宝石でネックレスを作る方法は $(6-1)! = 120$ 通り
正：ネックレスは裏返せるので $\dfrac{(6-1)!}{2} = \dfrac{120}{2} = 60$ 通り
問題文に「首飾り」「ネックレス」「ブレスレット」「腕輪」「輪を作る」 などのキーワードがあれば、裏返しが可能かどうかを必ず考えましょう。 「円卓に座る」場合は裏返せないので円順列、 「糸でつないで輪を作る」場合は裏返せるので数珠順列です。
同じ「円形に並べる」でも、問題の設定によって円順列か数珠順列かが変わります。
| 問題文の表現 | 裏返し | 使う公式 |
|---|---|---|
| 円形に並べる / 円卓に座る / 手をつないで輪になる | 不可 | $(n-1)!$（円順列） |
| 首飾りを作る / ブレスレットを作る / 輪を作る | 可能 | $\dfrac{(n-1)!}{2}$（数珠順列） |
「手をつないで輪になる」は、人が立っている状態なので裏返せません。→ 円順列
「玉にひもを通して輪を作る」は、物理的に裏返せます。→ 数珠順列
判断基準は「裏返して同じ配置が作れるかどうか」です。 人が物理的に裏返ることはできませんが、ビーズや宝石はひっくり返せます。 迷ったら「裏表を入れ替えた配置が現実に起こりうるか」を考えましょう。
円順列では回転（巡回群 $C_n$）だけを同一視しましたが、 数珠順列では回転と裏返し（鏡映）の両方を同一視します。 この操作全体は大学数学で二面体群（dihedral group）$D_n$と呼ばれます。
$D_n$ は $2n$ 個の要素（$n$ 回の回転 $+ n$ 回の鏡映）を持つ群です。 異なる $n$ 個の数珠順列が $\dfrac{(n-1)!}{2}$ になるのは、 $|D_n| = 2n$ なので $\dfrac{n!}{2n} = \dfrac{(n-1)!}{2}$ と計算できるからです。
入試では「特定の人が隣り合う」「向かい合う」「隣り合わない」「男女交互」 などの条件が付いた円順列が頻出です。 これらの条件の処理方法を整理しましょう。
直線順列と同じく、隣り合うものをひとまとめにするのが基本です。
たとえば、A, B, C, D, Eの5人を円形に並べるとき、AとBが隣り合う場合の数を求めましょう。 AとBをひとまとめにして1つのブロックと見なすと、このブロックとC, D, Eの合計4つを円形に並べます。 4つの円順列は $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。 さらにブロック内でAとBの並び方が $2!= 2$ 通りあるので、 $6 \times 2 = 12$ 通りです。
「隣り合う」条件の処理は直線順列と同じで、隣り合うものを1つのブロックにします。
手順：
1. 隣り合うもの $k$ 個を1ブロックにまとめ、全体を $(n - k + 1)$ 個と見なす
2. $(n - k + 1)$ 個の円順列を求める → $(n - k)!$
3. ブロック内の並び方 $k!$ をかける
$$\text{隣り合う円順列} = (n-k)! \times k!$$
円形の「向かい合う」は、円順列ならではの条件です。 $n$ 人が円形に座るとき、ある人から見て正面に座る人は1人に決まります（$n$ が偶数の場合）。
たとえば、6人が円卓に座るとき、AとBが向かい合う場合の数を考えます。 Aの位置を固定すると、Bの位置は正面の1か所に決まります。 残りの4人を4つの席に並べるので $4! = 24$ 通り。
ここで重要なのは、Aを固定した時点で回転の重複が解消されていることです。 Bの位置も自動的に1通りに決まるので、残りは直線順列と同じ計算になります。
Step 1：一方（たとえばA）の位置を固定する。→ 回転の重複を解消。
Step 2：もう一方（B）は向かい側の1か所に確定。→ 1通り。
Step 3：残りの $(n-2)$ 人を残りの席に並べる。→ $(n-2)!$ 通り。
結論：$1 \times 1 \times (n-2)! = (n-2)!$ 通り。
「隣り合わない」は、まず条件のないものを円形に並べてから、間に入れる方法が有効です。
たとえば、父母と子ども4人（息子2人、娘2人）が円卓に座るとき、 息子2人が隣り合わない場合の数を考えます。
まず息子以外の4人（父、母、娘2人）を円形に並べます。→ $(4-1)! = 6$ 通り。 4人の間に4つの隙間ができるので、そこから2つ選んで息子を1人ずつ入れます。 → $_4P_2 = 4 \times 3 = 12$ 通り。 よって $6 \times 12 = 72$ 通りです。
上の例で、息子2人を4つの隙間から2つ選んで入れる部分は、円順列ではなく通常の順列です。
誤：息子2人を4つの隙間に入れるのも円順列で $(2-1)! = 1$ 通り
正：4つの隙間は先に並べた4人によって「位置が区別されている」ので、 選び方は $_4P_2 = 12$ 通り
先に並べた人が基準になっているため、後から入れる人の配置は直線順列と同じです。 回転して同じになるものはもう含まれていないことがポイントです。
男子 $m$ 人と女子 $m$ 人が交互に並ぶ場合（合計 $2m$ 人）は、 まず一方の性別を円形に並べ、その間にもう一方を並べます。
たとえば、男子3人と女子3人が交互に円形に並ぶ場合の数は、 まず男子3人の円順列 $(3-1)! = 2$ 通り。 男子の間の3か所に女子3人を並べるので $3! = 6$ 通り。 よって $2 \times 6 = 12$ 通りです。
条件付き円順列で最も大切なのは、最初に条件を処理し、残りを配置するという順序です。
隣り合う：ひとまとめ → 円順列 → ブロック内の並び
向かい合う：一方を固定 → もう一方は確定 → 残りの順列
隣り合わない：他を先に円順列 → 間に入れる
交互：一方を円順列 → 間にもう一方を並べる
「円順列で処理する部分」と「通常の順列で処理する部分」を正しく見分けることが鍵です。
ここでは、$n$ 個から $r$ 個を選んで円形に並べる問題や、 立体の面を色で塗り分ける問題を扱います。 これらは円順列の考え方を応用した重要なテーマです。
$n$ 個の異なるものから $r$ 個を取り出して円形に並べる場合の数を考えましょう。 まず $n$ 個から $r$ 個を取って一列に並べると $_nP_r$ 通りです。 このうち、円形では回転で同じになるものが $r$ 通りずつあるので、
$$\frac{_nP_r}{r}$$たとえば、7人から5人を選んで円形に並べる方法は、 $\dfrac{_7P_5}{5} = \dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3}{5} = \dfrac{2520}{5} = 504$ 通りです。
実は $\dfrac{_nP_r}{r} = {}_nC_r \times (r-1)!$ が成り立ちます。
$\dfrac{_nP_r}{r} = \dfrac{n!}{(n-r)! \cdot r} = \dfrac{n!}{r! \cdot (n-r)!} \times (r-1)! = {}_nC_r \times (r-1)!$
これは「まず $r$ 個を選び（${}_nC_r$）、選んだ $r$ 個を円形に並べる（$(r-1)!$）」と解釈できます。 どちらの式を使っても構いませんが、「一列の順列を $r$ で割る」と「選んでから円順列」は同じ結果になることを理解しておくと、ミスが減ります。
立方体や正多角柱の面を異なる色で塗り分ける問題は、円順列の重要な応用です。 「回転して同じになるものを1つと数える」という考え方がそのまま使えます。
たとえば、正四角柱（直方体）の6面を異なる6色で塗り分ける方法を考えましょう。
Step 1：上面の色を1つ固定する。すると下面の色の選び方は残り5色から1つで $5$ 通り。
Step 2：側面4面の塗り方を考える。上面と下面が固定された状態で、 側面4面を回転して同じになるものを同一視する。 これは4色の円順列で $(4-1)! = 6$ 通り。
結論：$5 \times 6 = 30$ 通り。
上面と下面が同じ色で塗られる場合（5色で6面を塗るなど）は、 上下をひっくり返して同じになるものが出てくるため、側面は数珠順列を使います。
円順列の「$n!$ を $n$ で割る」、数珠順列の「さらに $2$ で割る」は、 実は大学数学のバーンサイドの補題（Burnside's lemma）の特殊ケースです。
バーンサイドの補題は次のように述べられます：群 $G$ が集合 $X$ に作用するとき、 軌道（同値類）の数は
$$|X / G| = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} |X^g|$$
ここで $|X^g|$ は操作 $g$ で不変な要素の数です。 異なる $n$ 個の円順列では $G = C_n$（巡回群）、$|G| = n$ で、 恒等操作以外で不変な配置は0個なので $|X/G| = \dfrac{n! + 0 + \cdots + 0}{n} = (n-1)!$ となります。
同じものを含む場合や、正多面体の塗り分けなど、単純に「割る」だけでは対応できない問題では、 バーンサイドの補題が威力を発揮します。 さらにこれを一般化したポリアの数え上げ定理は、化学で分子の異性体を数える問題にも使われています。
すべてが異なるものの数珠順列は「円順列 $\div 2$」で求められますが、 同じものを含む場合は単純に $\div 2$ できません。
なぜなら、円順列の中に左右対称な配置が含まれている可能性があるからです。 左右対称な配置は、裏返しても自分自身と一致するため、ペアにならず1通りのままです。
解法：
1. 円順列の総数を求める
2. そのうち左右対称な配置の数を数える（$s$ 通りとする）
3. 左右非対称な配置は $(円順列の総数 - s)$ 通りで、これが2つずつペアになる
4. 数珠順列の総数 $= s + \dfrac{円順列の総数 - s}{2}$
ここまで学んだ内容を整理し、問題のパターンを一覧にしましょう。
| パターン | 問題の特徴 | 解法のポイント |
|---|---|---|
| A：基本の円順列 | $n$ 個すべてを円形に並べる | $(n-1)!$（1つ固定して残りを並べる） |
| B：数珠順列 | 裏返して同じものを同一視 | $\dfrac{(n-1)!}{2}$（首飾り、ブレスレット） |
| C：隣り合う | 特定のものが隣り合う | ひとまとめにして円順列 → 内部の並び |
| D：向かい合う | 特定のものが正面に来る | 一方を固定 → 他方は確定 → 残りの順列 |
| E：隣り合わない | 特定のものが隣接しない | 他を先に円順列 → 間に挿入 |
| F：交互に並ぶ | 2種類が交互に配置 | 一方を円順列 → 間に他方を順列 |
| G：部分選択 | $n$ 個から $r$ 個を選んで円形に | $\dfrac{_nP_r}{r}$ または ${}_nC_r \times (r-1)!$ |
| H：塗り分け | 立体の面を色分け | 1面を固定 → 残りを円順列または数珠順列 |
すべてのパターンの根底にある原理は同じです： 「回転（または回転+裏返し）で同じになるものを数え、その分だけ割る」。 この原理さえ理解していれば、どんな条件の問題にも対応できます。
Q1. 8人が円卓に座る方法は何通りですか。
Q2. 異なる6個の宝石でネックレスを作る方法は何通りですか。
Q3. A, B, C, D, E, Fの6人が円形に並ぶとき、AとBが隣り合う並び方は何通りですか。
Q4. 円順列と数珠順列の違いを説明してください。
Q5. 10人から4人を選んで円形に並べる方法は何通りですか。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
a, b, c, d, e の文字が書かれた5個の玉がある。
(1) これらの玉を円形に並べる方法は何通りあるか。
(2) a と b が隣り合うように円形に並べる方法は何通りあるか。
(3) これらの玉にひもを通し、輪を作る方法は何通りあるか。
(1) $24$ 通り (2) $12$ 通り (3) $12$ 通り
方針：(1) 基本の円順列。(2) ひとまとめにして円順列。(3) 数珠順列。
(1) 異なる5個の円順列なので $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。
(2) a, b を1つのブロックと見なして、ブロック+c, d, e の4つの円順列。 $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。 ブロック内の a, b の並び方は $2! = 2$ 通り。 $6 \times 2 = 12$ 通り。
(3) ひもを通して輪にすると裏返しが可能なので数珠順列。 $\dfrac{(5-1)!}{2} = \dfrac{24}{2} = 12$ 通り。
1, 2, 3, 4, 5, 6 の数字が書かれた6枚のカードを円形に並べるとき、次の場合の数を求めよ。
(1) 1 と 2 が隣り合う並べ方
(2) 1 と 2 が向かい合う並べ方
(1) $48$ 通り (2) $24$ 通り
(1) 1と2をひとまとめにし、このブロックと3, 4, 5, 6の合計5つの円順列。 $(5-1)! = 24$ 通り。 ブロック内の並び方 $2! = 2$ 通り。 $24 \times 2 = 48$ 通り。
(2) 1の位置を固定すると、2の位置は正面の1か所に確定。 残りの4枚（3, 4, 5, 6）の並び方は $4! = 24$ 通り。
両親と4人の子ども（息子2人、娘2人）が手をつないで輪を作るとき、次の問いに答えよ。
(1) 6人の並び方は全部で何通りあるか。
(2) 両親が正面に向かい合う並び方は何通りあるか。
(3) 男性と女性が交互に並ぶ並び方は何通りあるか。
(1) $120$ 通り (2) $24$ 通り (3) $12$ 通り
方針：「手をつないで輪になる」は人なので裏返し不可。円順列で考える。
(1) 6人の円順列。$(6-1)! = 5! = 120$ 通り。
(2) 父の位置を固定すると、母は正面の1か所に確定。 残りの4人（息子2人、娘2人）の並び方は $4! = 24$ 通り。
(3) 男性は父と息子2人の計3人。 まず男性3人を円形に並べる。$(3-1)! = 2! = 2$ 通り。 男性の間の3か所に女性3人（母と娘2人）を並べる。$3! = 6$ 通り。 $2 \times 6 = 12$ 通り。
注意：(2)で子ども4人の並びを円順列とする間違いに注意。 父と母の位置が既に固定されているので、残りの4人は直線順列 $4!$ で数えます。
立方体の各面を色で塗る。回転させて一致する塗り方は同じとみなす。
(1) 異なる6色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。
(2) 異なる5色をすべて使って塗る方法は何通りあるか。ただし、向かい合う1組の面が同じ色になる。
(1) $30$ 通り (2) $15$ 通り
方針：1つの面を固定して、残りの面の配置を円順列（または数珠順列）で数える。
(1) 1色を上面に固定する。 下面に塗る色の選び方は残り5色から1つで $5$ 通り。 側面4面の塗り方は、上下が固定された状態で4色の円順列。 $(4-1)! = 3! = 6$ 通り。 よって $5 \times 6 = 30$ 通り。
(2) 同じ色で塗る向かい合う面の色の選び方は $5$ 通り。 この色で上面と下面を塗る。 残りの側面4面を残り4色で塗るが、上下をひっくり返すと側面の配置が裏返しになるので、 数珠順列を使う。 $\dfrac{(4-1)!}{2} = \dfrac{6}{2} = 3$ 通り。 よって $5 \times 3 = 15$ 通り。
上下が同じ色のとき、立方体を180度回転させて上下を入れ替えると側面が裏返し状態になるため、 側面は数珠順列で数えます。これが(1)との本質的な違いです。