場合の数を数えるとき、いちいち全部書き出していたのでは大変です。
「和の法則」と「積の法則」は、場合の数を効率よく計算するための2つの基本原理。
この2つの法則を正しく使い分けられれば、順列・組合せの公式もすべて理解できます。
場合の数を求めるときの最も基本的な原理が和の法則です。 6-1で学んだ「もれなく・重複なく数える」の延長にあります。
たとえば、通学路が「バスルート3通り」と「電車ルート4通り」あるとしましょう。 バスか電車のどちらかで通学する方法は、$3 + 4 = 7$ 通りです。 これが和の法則の考え方です。
ただし、ここには重要な前提条件があります。 「バスルート」と「電車ルート」が重複していないこと。 もしバスでも電車でも通れるルートがあったら、それを二重に数えてしまいます。
2つの事柄 $A$, $B$ が同時には起こらないとする。
$A$ の起こり方が $m$ 通り、$B$ の起こり方が $n$ 通りあるとき、
$A$ または $B$ の起こる場合の数は
$$m + n \text{ 通り}$$和の法則の核心は「同時には起こらない」（排反である）という条件にあります。
集合の言葉で書けば、事柄 $A$ の場合の集合を $A$、事柄 $B$ の場合の集合を $B$ とすると、 $A \cap B = \emptyset$（共通部分がない）のとき、 $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$ です。
なぜ排反が必要なのか？ もし共通部分があれば、$n(A) + n(B)$ は共通部分を二重に数えてしまう。 だから「足す」ためには、場合が重ならないことが絶対に必要なのです。
「さいころを1回投げて、偶数が出る場合と3の倍数が出る場合」を考えましょう。 偶数は $\{2, 4, 6\}$ の3通り、3の倍数は $\{3, 6\}$ の2通り。 これを単純に $3 + 2 = 5$ 通りとしてよいでしょうか？
答えは「いいえ」です。$6$ は偶数でもあり3の倍数でもあるので、二重に数えてしまいます。 正しくは $3 + 2 - 1 = 4$ 通り（$\{2, 3, 4, 6\}$）です。 このように、排反でない場合に和の法則をそのまま使うと間違えます。
× 誤：偶数は3通り、3の倍数は2通り。よって偶数または3の倍数は $3 + 2 = 5$ 通り。
○ 正：$6$ が共通なので排反ではない。$3 + 2 - 1 = 4$ 通り。
対処法：和の法則を使う前に「2つの場合に共通するものがないか？」を必ず確認しましょう。 共通部分があるなら、包除原理（$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$）を使う必要があります。
共通部分がある場合でも、場合分けの仕方を工夫すれば排反にできます。 上の例なら、「偶数（3通り）」と「奇数の3の倍数（$\{3\}$ の1通り）」に分ければ排反です。 $3 + 1 = 4$ 通りと正しく求まります。
和の法則は「排反」が前提です。もし分けた場合が排反でなければ、次の2つの方法があります。
方法1：場合分けの仕方を変えて排反にする。
方法2：包除原理を使って共通部分を引く。$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$
いずれにせよ、「重複を見逃さない」ことが正しい数え上げの鍵です。
和の法則を集合の言葉で書くと $n(A \cup B) = n(A) + n(B)$（$A \cap B = \emptyset$ のとき）。 これは大学数学の測度論で学ぶ「加法性」の最も単純な例です。
確率論では、この加法性が確率の公理（コルモゴロフの公理）の1つになっています。 排反な事象 $A$, $B$ に対して $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$。 高校で学ぶ「場合の数の和の法則」は、確率の加法公理の土台そのものなのです。
次に学ぶのが積の法則です。 和の法則が「AまたはB」の場合の数を求めるのに対し、 積の法則は「AそしてB（AとBの両方）」の場合の数を求めます。
たとえば、ランチでメインが3種類、ドリンクが4種類あるとしましょう。 メインとドリンクの組合せは $3 \times 4 = 12$ 通りです。 メインをどれにするかを決めた後に、ドリンクを選ぶ。 どのメインを選んでも、ドリンクの選択肢は常に4種類ある。 だから「$3 \times 4$」になるのです。
事柄 $A$ の起こり方が $m$ 通りあり、そのおのおのの場合に対して、 事柄 $B$ の起こり方が $n$ 通りあるとき、
$A$ と $B$ がともに起こる場合の数は
$$m \times n \text{ 通り}$$積の法則の核心は、「$A$ のどの場合を選んでも、$B$ の選択肢が同じ $n$ 通りある」という条件です。
ランチの例でいえば、どのメインを選んでもドリンクは必ず4種類から選べる。 もし「パスタのときだけドリンクが3種類」なら、単純に $3 \times 4$ とはできません。
この「各段階での選択肢の数が一定」という条件を独立性と呼びます。 積の法則は「独立な選択を繰り返す」ときに使えるのです。
$A$ の起こり方が $m$ 通りで、各場合に対して $B$ の起こり方が異なるとき、 積の法則はそのままでは使えません。 このときは、樹形図を描いて数えるか、場合分けして和の法則と組み合わせます。
たとえば、1から5までの数から2つ選んで2桁の整数を作るとき、 十の位が偶数なら一の位は4通り（十の位と同じ数は使わないので）、 十の位が奇数でも一の位は4通り。 この場合はどの十の位でも一の位は「残り4個」なので、$5 \times 4 = 20$ 通りと積の法則が使えます。
× 誤：「メインが3種類、ドリンクはメインによって2種類か4種類。だから $3 \times 2 = 6$ 通り（または $3 \times 4 = 12$ 通り）」
○ 正：各メインに対するドリンクの数が異なるので、場合分けが必要。 メインAでドリンク2種、メインBでドリンク4種、メインCでドリンク4種なら、 $2 + 4 + 4 = 10$ 通り（和の法則で合算）。
積の法則を使うには「どの場合でも次の選択肢が同数」という条件を確認しましょう。
$A$ の場合の集合を $\{a_1, a_2, \ldots, a_m\}$、各 $a_i$ に対して $B$ の場合の集合を $\{b_1, b_2, \ldots, b_n\}$ とします。
$A$ と $B$ がともに起こる場合の全体は、順序対（ペア）の集合です。
$$\{(a_i, b_j) \mid i = 1, 2, \ldots, m, \; j = 1, 2, \ldots, n\}$$$a_1$ に対するペアが $n$ 個、$a_2$ に対するペアが $n$ 個、$\ldots$、$a_m$ に対するペアが $n$ 個。 合計で $\underbrace{n + n + \cdots + n}_{m \text{ 個}} = m \times n$ 個。
つまり、積の法則とは「同じ数の繰り返し加算を掛け算に置き換えたもの」です。 積の法則は、和の法則の特別な場合とも言えます。
積の法則の「ともに起こる」は、2つの操作を順番に（または同時に）行うことを意味します。
× 誤：「偶数かつ3の倍数」の場合の数を $3 \times 2$ で計算する。
○ 正：「偶数かつ3の倍数」は1つのさいころの目の条件であり、2段階の選択ではない。 これは共通部分 $\{6\}$ の1通り。
積の法則は「段階的な選択」（メインを選び、ドリンクを選ぶ）に使う法則です。 1つの対象に複数の条件を同時に課す場合には使えません。
積の法則で作った順序対 $(a_i, b_j)$ の全体は、大学数学で直積集合（デカルト積）と呼ばれます。 $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A, \, b \in B\}$ と書き、$|A \times B| = |A| \times |B|$ です。
座標平面の点 $(x, y)$ も、実は $\mathbb{R} \times \mathbb{R}$ という直積集合の元です。 「2つの量を対にする」という発想は、ベクトル空間やデータベースのテーブル設計にも現れます。 積の法則は、この「対にして数える」という普遍的な操作の入門なのです。
和の法則と積の法則は、樹形図（tree diagram）で視覚的に理解できます。 ここでは樹形図を使って、2つの法則の関係を明確にしましょう。
樹形図とは、起こりうる場合を枝分かれの図で順次かき表す方法です。 根（出発点）から枝が伸び、各枝がさらに枝分かれしていきます。 最終的に到達した先端（葉）の数が、場合の数の合計です。
排反な2つの事柄 $A$, $B$ があるとき、$A$ の樹形図と $B$ の樹形図は完全に別の木です。 $A$ の木の葉が $m$ 枚、$B$ の木の葉が $n$ 枚なら、合計は $m + n$ 枚。 これが和の法則です。
たとえば、「$A$：バスで通学（3通り）」と「$B$：電車で通学（4通り）」なら、 バスの枝3本と電車の枝4本は完全に分離しています。葉の合計は $3 + 4 = 7$。
2段階の選択で、各段階の枝の数が一定のとき、積の法則になります。 第1段階で $m$ 本に分かれ、どの枝からも同じ $n$ 本の枝がさらに伸びる。 葉の合計は $m \times n$。
ランチの例なら、メイン3種からそれぞれドリンク4種の枝が伸びて、 $3 \times 4 = 12$ 枚の葉ができます。
和の法則：樹形図を別々に描いたら（場合が重ならないなら）、葉の数を足す。
積の法則：樹形図を続けて描いたら（各枝の先に同数の枝が伸びるなら）、葉の数を掛ける。
もし「続けて描く」が「各枝で本数が異なる」なら、各枝ごとの葉の数を足す（和の法則に帰着）。 つまり、積の法則は「枝の本数が同じ場合」の和の法則の省略形なのです。
大小2個のさいころを投げるとき、目の出方は全部で何通りでしょうか。
大のさいころの目が $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6通り。 どの目が出ても、小のさいころの目は独立に $1, 2, 3, 4, 5, 6$ の6通り。 各枝の先にさらに6本の枝が伸びるので、$6 \times 6 = 36$ 通りです（積の法則）。
もし第1段階の分岐ごとに第2段階の枝の数が異なる場合、掛け算は使えません。
× 誤：$A$ の3通りから枝が出て、$a_1$ からは2本、$a_2$ からは3本、$a_3$ からは4本の枝。全体は $3 \times 3 = 9$ 通り。
○ 正：枝の数がバラバラなので掛け算は使えない。$2 + 3 + 4 = 9$ 通り（和の法則で正しく数える）。
結果が同じ9でも、考え方が正しいかどうかが重要です。数字が変われば誤った方法では間違えます。
樹形図は、大学数学やコンピュータサイエンスで木（tree）と呼ばれるデータ構造そのものです。 根（root）から葉（leaf）までの道がちょうど1つしかないグラフを「木」と定義します。
プログラミングでは、ファイルシステムの階層構造や、AIの探索アルゴリズム（ゲーム木など）に この木構造が使われています。場合の数を「木で整理する」という発想は、 数学に限らずあらゆる分野で活きる思考法です。
和の法則と積の法則の定義を理解したら、次は「いつどちらを使うか」を 問題文から正しく判断する力が必要です。 ここでは判断の手順と典型パターンを整理しましょう。
問題文を読んだとき、次の順序で考えます。
| キーワード | 使う法則 | 樹形図のイメージ |
|---|---|---|
| 「または」「いずれか」「どちらか」 | 和の法則 | 別々の木の葉を足す |
| 「かつ」「そして」「続けて」「同時に」 | 積の法則 | 枝の先に枝が伸びる |
| 「$A$ の場合…、$B$ の場合…」 | 和の法則 | 排反な場合に分ける |
| 「$A$ を決めた後、$B$ を決める」 | 積の法則 | 段階的に選択を重ねる |
100円硬貨が3枚、50円硬貨が1枚、10円硬貨が2枚あるとき、 支払える金額（1円以上）は何通りでしょうか。
各硬貨の使い方は独立に決められます。 100円硬貨の使い方は 0, 1, 2, 3 枚の4通り。 50円硬貨の使い方は 0, 1 枚の2通り。 10円硬貨の使い方は 0, 1, 2 枚の3通り。
各硬貨をどう使うかの組合せは $4 \times 2 \times 3 = 24$ 通り（積の法則）。 ただし「すべて0枚（何も払わない）」の1通りを除くので、答えは $24 - 1 = 23$ 通りです。
1から9までの番号が書かれた玉が入った袋から、1個取り出して戻し、もう1個取り出す。 2つの番号の和が偶数になるのは何通りでしょうか。
和が偶数になるのは「(i) 2つとも偶数」または「(ii) 2つとも奇数」の場合です。 (i) と (ii) は排反です（同時には起こらない）。
(i) 偶数は $\{2, 4, 6, 8\}$ の4個。$4 \times 4 = 16$ 通り（積の法則）。
(ii) 奇数は $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ の5個。$5 \times 5 = 25$ 通り（積の法則）。
よって、$16 + 25 = 41$ 通り（和の法則）。
この問題のように、「まず場合分け（和の法則）→ 各場合の中で段階的に数える（積の法則）」 という組合せがよく出題されます。
集合 $A = \{1, 2, 3\}$ から集合 $B = \{a, b\}$ への関数（写像）は何通りあるでしょうか。 関数とは「$A$ の各元に $B$ の元を1つ対応させる」ことです。
$1$ の行き先は $a$ か $b$ の2通り。 $2$ の行き先は $a$ か $b$ の2通り。 $3$ の行き先は $a$ か $b$ の2通り。 各元の行き先を独立に決めるので、$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ 通り（積の法則）。
一般に、集合 $A$ が $m$ 個の元、集合 $B$ が $n$ 個の元を持つとき、 $A$ から $B$ への関数の総数は $n^m$ 通りです。 これは積の法則を $m$ 回適用した結果です。
「大小2個のさいころを同時に投げる」は $6 \times 6 = 36$ 通り（積の法則）。 しかし「1つのさいころの目が偶数かつ3以下」は、1つの操作に2つの条件を課しているだけで、段階的選択ではありません。
× 誤：偶数は3通り、3以下は3通りだから $3 \times 3 = 9$ 通り。
○ 正：偶数かつ3以下は $\{2\}$ の1通り。
「同時に」の意味を区別する：「2つの操作を同時に行う」なら積の法則。「1つの事象に2つの条件」なら集合の共通部分。
ここまで学んだ和の法則と積の法則を、全体像として整理しましょう。 場合の数を求めるすべての計算は、この2つの法則の組合せに帰着します。
| 項目 | 和の法則 | 積の法則 |
|---|---|---|
| いつ使う？ | 排反な場合を合わせるとき | 段階的な選択を組み合わせるとき |
| キーワード | 「または」「場合分け」 | 「かつ」「続けて」「独立に」 |
| 計算 | $m + n$ | $m \times n$ |
| 前提条件 | 排反（重複なし） | 各段階で選択肢の数が一定 |
| 樹形図 | 別々の木の葉を足す | 枝の先に同数の枝を伸ばす |
| 集合の言葉 | $n(A \cup B)$（$A \cap B = \emptyset$） | $|A \times B|$（直積集合） |
| 問題のパターン | 使う法則 | 具体例 |
|---|---|---|
| 排反な場合を列挙して足す | 和の法則 | 偶数の目 or 3の倍数の目（排反に分けて） |
| 独立な選択を段階的に行う | 積の法則 | メイン3種 × ドリンク4種 |
| 場合分け + 各場合で段階選択 | 和 + 積 | 和が偶数：(偶偶) + (奇奇) |
| 関数（写像）の個数 | 積の法則の累乗 | $A \to B$ の関数 $= n^m$ 通り |
| 「少なくとも1つ」型 | 全体 − 余事象 | $n^m - $ （すべて同じ色の場合） |
Q1. 和の法則を使うための前提条件は何ですか？
Q2. 積の法則を使うための前提条件は何ですか？
Q3. シャツが5種類、ズボンが3種類あるとき、組合せは何通りですか？ どの法則を使いましたか？
Q4. 集合 $\{1, 2\}$ から集合 $\{a, b, c\}$ への関数（写像）は全部で何通りですか？
Q5. さいころ1個の目が「3以下」または「5以上」の場合の数を和の法則で求めてください。和の法則が使えるかどうかの確認も行いましょう。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
大小2個のさいころを同時に投げるとき、次の場合の数を求めよ。
(1) 目の出方の総数
(2) 目の和が4の倍数になる場合の数
(1) $36$ 通り
(2) $9$ 通り
方針：(1) は積の法則で直接計算。(2) は「和が4」「和が8」「和が12」に場合分けして和の法則。
(1) 大のさいころ6通り、小のさいころ6通り。各目に対して小の目は6通りあるので、$6 \times 6 = 36$ 通り。
(2) 和が4の倍数 → 和が4, 8, 12 のいずれか。
・和が4：$(1,3), (2,2), (3,1)$ の3通り
・和が8：$(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)$ の5通り
・和が12：$(6,6)$ の1通り
3つの場合は排反なので、和の法則により $3 + 5 + 1 = 9$ 通り。
100円硬貨が4枚、50円硬貨が2枚、10円硬貨が3枚あるとき、 これらの硬貨を使って支払える金額は何通りあるか。ただし、少なくとも1枚は使うものとする。
$59$ 通り
方針：各硬貨の使い方は独立に決められるので積の法則。ただし「すべて0枚」の場合を除く。
100円硬貨の使い方は 0, 1, 2, 3, 4 枚の 5通り。
50円硬貨の使い方は 0, 1, 2 枚の 3通り。
10円硬貨の使い方は 0, 1, 2, 3 枚の 4通り。
各硬貨の使い方は独立なので、組合せの総数は $5 \times 3 \times 4 = 60$ 通り（積の法則）。
ここから「すべて0枚（何も払わない）」の1通りを引いて、$60 - 1 = 59$ 通り。
※ この問題では、異なる硬貨で同じ金額を作ることがないため、「通り数 ＝ 金額の種類」と一致します。
1, 2, 3, 4, 5 の5つの数字を使って3桁の整数を作る。ただし、同じ数字は使わないものとする。
(1) 3桁の整数は全部で何個あるか。
(2) 偶数は何個あるか。
(1) $60$ 個
(2) $24$ 個
方針：(1) 百の位→十の位→一の位の順に選ぶ。各段階で選択肢の数を確認して積の法則。(2) 偶数の条件（一の位が偶数）を先に固定する。
(1) 百の位は1〜5の5通り。十の位は百の位で使った数を除いた4通り。一の位は残りの3通り。
$5 \times 4 \times 3 = 60$ 個（積の法則）。
(2) 偶数であるためには一の位が偶数（2 または 4）。
一の位の選び方：2通り。百の位：一の位で使った数を除いた4通り。十の位：百の位と一の位で使った数を除いた3通り。
$2 \times 4 \times 3 = 24$ 個（積の法則）。
※ (2) では「条件の厳しい桁（一の位）から先に決める」のがポイントです。
$(2x + 5y + z)(a + 3b)(p + q)$ を展開すると、異なる項は何個できるか。
$12$ 個
方針：展開で得られる各項は、3つの括弧からそれぞれ1つずつ項を取り出して掛けたもの。各括弧の選択が独立かを確認し、積の法則を使う。
第1の括弧 $(2x + 5y + z)$ から1つ選ぶ：$3$ 通り
第2の括弧 $(a + 3b)$ から1つ選ぶ：$2$ 通り
第3の括弧 $(p + q)$ から1つ選ぶ：$2$ 通り
各括弧に含まれる文字はすべて異なるため、どの選び方をしても同類項は生じない。 したがって、各括弧の選択は独立であり、積の法則が適用できる。
よって、異なる項の個数は $3 \times 2 \times 2 = 12$ 個。
別解の視点：この問題は「3つの集合からそれぞれ1つずつ元を選ぶ」操作の数え上げです。 $\{x, y, z\} \times \{a, b\} \times \{p, q\}$ という直積集合の元の個数が $3 \times 2 \times 2 = 12$。 展開の各項は、この直積集合の元に1対1に対応しています。