$\sin 120^\circ$ や $\cos 150^\circ$ のような鈍角の三角比は、変換公式を使えば鋭角の三角比に帰着できます。
暗記に頼らず、単位円の対称性から公式を「見える」ようにしましょう。
4-1で学んだ三角比の定義を思い出してください。 直角三角形において、鋭角 $\theta$ に対して $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ を定義しました。 ここで、直角三角形のもう1つの鋭角に注目してみましょう。
直角三角形の3つの内角の和は $180^\circ$ です。 1つが直角（$90^\circ$）なので、残りの2つの鋭角の和は $90^\circ$ になります。 つまり、一方の角が $\theta$ なら、もう一方は $90^\circ - \theta$ です。 この関係にある2つの角を余角（よかく）と呼びます。
ここが重要なポイントです。直角三角形の斜辺を $r$、角 $\theta$ に対する対辺を $a$、隣辺を $b$ とすると、 $\sin\theta = \dfrac{a}{r}$、$\cos\theta = \dfrac{b}{r}$ です。 ところが、角 $90^\circ - \theta$ から見ると、$a$ と $b$ の役割が入れ替わります。 角 $90^\circ - \theta$ にとっての対辺は $b$、隣辺は $a$ です。
したがって：
$$\sin(90^\circ - \theta) = \frac{b}{r} = \cos\theta$$ $$\cos(90^\circ - \theta) = \frac{a}{r} = \sin\theta$$余角の公式は新しい知識ではありません。 1つの直角三角形の中で、どちらの鋭角を基準にするかによって、対辺と隣辺が入れ替わるという事実を式にしたものです。
$\sin$ は「対辺/斜辺」、$\cos$ は「隣辺/斜辺」。 角度を $\theta$ から $90^\circ - \theta$ に変えると対辺と隣辺が交代するので、$\sin$ と $\cos$ が入れ替わるのです。
名前の由来も同じです。cosine（余弦）は「complementary（余角の）sine」の略。 $\cos\theta$ とは $90^\circ - \theta$ の $\sin$ という意味なのです。
$$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$$
$$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$$
$$\tan(90^\circ - \theta) = \frac{1}{\tan\theta}$$
✕ 誤：$\sin(90^\circ - \theta) = \sin\theta$（$\sin$ はそのまま）
○ 正：$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$（$\sin$ が $\cos$ に変わる）
覚え方：$90^\circ$ が絡む変換では必ず $\sin \leftrightarrow \cos$ が入れ替わる。 具体的な角度で確認する習慣をつけましょう。 $\sin(90^\circ - 30^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$\cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。確かに一致します。
余角の公式を使うと、$45^\circ$ より大きい鋭角の三角比を、$45^\circ$ 以下の角の三角比で表すことができます。
たとえば $\sin 58^\circ$ を考えてみましょう。 $58^\circ = 90^\circ - 32^\circ$ なので、 $\sin 58^\circ = \sin(90^\circ - 32^\circ) = \cos 32^\circ$ と変換できます。 $32^\circ$ は $45^\circ$ 以下なので、三角比の表で値を読み取ることができます。
同様に $\cos 76^\circ = \cos(90^\circ - 14^\circ) = \sin 14^\circ$ です。 三角比の表は通常 $0^\circ$ から $45^\circ$ までしか載っていませんが、 余角の公式があれば $46^\circ$ から $89^\circ$ までの値もすべて求められるのです。
数学IIで学ぶ弧度法（ラジアン）では、$90^\circ = \dfrac{\pi}{2}$ と表します。 余角の公式は $\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$ となります。
大学数学では、この関係を余関数の恒等式（cofunction identity）と呼びます。 sin と cos、tan と cot、sec と csc がそれぞれ「余関数」の関係にあり、 $\dfrac{\pi}{2}$ だけずらすと互いに入れ替わります。 高校で学ぶ余角の公式は、この一般的な構造の最初の一歩です。
次に、和が $180^\circ$ になる2つの角の関係を考えます。 一方が $\theta$ のとき、もう一方は $180^\circ - \theta$ です。 この関係にある2つの角を補角（ほかく）と呼びます。
たとえば $30^\circ$ と $150^\circ$、$60^\circ$ と $120^\circ$、$45^\circ$ と $135^\circ$ はそれぞれ補角の関係です。 $\theta$ が鋭角なら $180^\circ - \theta$ は鈍角になります。 つまり、補角の公式は鈍角の三角比を鋭角の三角比で表すための道具です。
では、$\sin(180^\circ - \theta)$ の値はどうなるでしょうか。 4-1で学んだ単位円の定義を使って考えてみましょう。
単位円上で角 $\theta$ に対応する点を $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ とします。 角 $180^\circ - \theta$ に対応する点 $\mathrm{P}'$ は、$y$ 軸に関して $\mathrm{P}$ と対称な位置にあります。 つまり $\mathrm{P}'(-\cos\theta, \sin\theta)$ です。
ここから直ちに：
$$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$$ $$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$$単位円上で、角 $\theta$ の点と角 $180^\circ - \theta$ の点は $y$ 軸に関して対称です。
$y$ 軸対称とは、$x$ 座標の符号が反転し、$y$ 座標はそのまま、ということです。 $\cos$ は $x$ 座標だから符号が変わる。$\sin$ は $y$ 座標だからそのまま。
これが補角の公式のすべてです。「$\sin$ はそのまま、$\cos$ は符号反転」と覚えるのではなく、 「$y$ 軸対称だから $x$ 座標だけ符号が変わる」と理解しましょう。
$$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$$
$$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$$
$$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan\theta$$
✕ 誤：$\sin(180^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ$（余角の公式と混同）
○ 正：$\sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
判別のポイント：$90^\circ$ が絡むなら $\sin \leftrightarrow \cos$ が入れ替わる（余角）。 $180^\circ$ が絡むなら $\sin$・$\cos$ はそのままで符号だけ変わりうる（補角）。
余角は「関数名が変わる」、補角は「符号が変わりうる」。この違いを意識してください。
単位円上で、動径の角度が $\theta$（$0^\circ < \theta < 180^\circ$）のとき、 対応する点は $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ です。
角度が $180^\circ - \theta$ のとき、動径は $x$ 軸の正の向きから反時計回りに $180^\circ - \theta$ だけ回転します。 これは $\theta$ の動径を $y$ 軸に関して折り返した位置にあたります。
$y$ 軸に関する対称移動は $(x, y) \to (-x, y)$ なので：
$\mathrm{P}'$ の座標 $= (-\cos\theta, \sin\theta)$
よって $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$、$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$。
$\tan$ については $\tan(180^\circ - \theta) = \dfrac{\sin(180^\circ - \theta)}{\cos(180^\circ - \theta)} = \dfrac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta$。 $\blacksquare$
補角の公式の最も重要な使い方は、鈍角の三角比を鋭角の三角比に帰着させることです。
$\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan 135^\circ = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$
このように、$90^\circ$ より大きい角の三角比は、補角の公式で鋭角に帰着させてから計算するのが基本です。
✕ 誤：$\cos 120^\circ = \cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}$
○ 正：$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$
補角の公式で $\cos$ にはマイナスがつくことを忘れないでください。 なぜマイナスがつくかは単位円で確認できます。$120^\circ$ の点は $x$ 座標が負の領域（第2象限）にあるので、 $\cos 120^\circ < 0$ は当然です。
ここまで余角と補角の公式を別々に学んできましたが、 実はどちらも単位円の対称性という1つの原理から導けます。 この統一的な見方を身につけると、公式を忘れても自分で再構成できるようになります。
単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ に対して、次の2種類の対称性を考えましょう。
点 $(a, b)$ を直線 $y = x$ に関して対称移動すると、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わって $(b, a)$ になります。
単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を直線 $y = x$ で折り返すと、 $(\sin\theta, \cos\theta)$ になります。 この点は角 $90^\circ - \theta$ に対応する点 $\mathrm{P}'$ です。
したがって $\mathrm{P}' = (\cos(90^\circ - \theta), \sin(90^\circ - \theta)) = (\sin\theta, \cos\theta)$ より：
$$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta, \quad \sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$$点 $(a, b)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると、$(-a, b)$ になります。
単位円上の点 $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ を $y$ 軸で折り返すと、 $(-\cos\theta, \sin\theta)$ になります。 この点は角 $180^\circ - \theta$ に対応する点 $\mathrm{P}'$ です。
したがって $\mathrm{P}' = (\cos(180^\circ - \theta), \sin(180^\circ - \theta)) = (-\cos\theta, \sin\theta)$ より：
$$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta, \quad \sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$$三角比の変換公式は、すべて単位円上の点の対称移動から導けます。
余角（$90^\circ - \theta$）：直線 $y = x$ に関する対称 → $x, y$ 座標が入れ替わる → $\sin \leftrightarrow \cos$
補角（$180^\circ - \theta$）：$y$ 軸に関する対称 → $x$ 座標の符号が反転 → $\cos$ に $-$ がつく
公式を忘れても、「どの対称移動か？」を考えれば、 座標のどの成分がどう変わるかがわかり、公式を自力で再構成できます。
$\sin$ と $\cos$ の公式がわかれば、$\tan = \dfrac{\sin}{\cos}$ から $\tan$ の公式は自動的に得られます。
余角：$\tan(90^\circ - \theta) = \dfrac{\sin(90^\circ - \theta)}{\cos(90^\circ - \theta)} = \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} = \dfrac{1}{\tan\theta}$
補角：$\tan(180^\circ - \theta) = \dfrac{\sin(180^\circ - \theta)}{\cos(180^\circ - \theta)} = \dfrac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta$
$\tan$ の公式を独立に覚える必要はありません。$\sin$ と $\cos$ の変換結果から割り算すれば導けます。 $\blacksquare$
| 変換 | $\sin$ | $\cos$ | $\tan$ | 対称の種類 |
|---|---|---|---|---|
| $90^\circ - \theta$（余角） | $\cos\theta$ | $\sin\theta$ | $\dfrac{1}{\tan\theta}$ | 直線 $y = x$ 対称 |
| $180^\circ - \theta$（補角） | $\sin\theta$ | $-\cos\theta$ | $-\tan\theta$ | $y$ 軸対称 |
$90^\circ + \theta$ の公式も存在しますが、高校数学I の範囲では $90^\circ - \theta$ だけ使います。
参考として：$\sin(90^\circ + \theta) = \cos\theta$、$\cos(90^\circ + \theta) = -\sin\theta$ です。
$90^\circ - \theta$ では $\sin \to \cos$、$\cos \to \sin$（どちらも正）。 $90^\circ + \theta$ では $\sin \to \cos$、$\cos \to -\sin$（$\cos$ にマイナス）。 $\pm$ で符号が変わるので注意してください。ただし、まず $90^\circ - \theta$ と $180^\circ - \theta$ の2つを確実にすることが最優先です。
大学の線形代数では、座標の回転を回転行列で表します。角 $\alpha$ の回転は $\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha \\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}$ という行列で表現されます。
$y$ 軸対称は行列 $\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ で表され、 $x$ 座標の符号だけを反転させます。 補角の公式 $(\cos\theta, \sin\theta) \to (-\cos\theta, \sin\theta)$ は、 この変換行列を適用した結果そのものです。
高校の変換公式は、行列による座標変換の具体例になっています。
変換公式の最も実践的な使い方は、 さまざまな角度が混在する式を1つの角度に統一して計算を進めることです。 ここでは典型的な問題パターンを見ていきましょう。
$\sin 150^\circ$、$\cos 120^\circ$、$\tan 135^\circ$ のような鈍角の三角比は、 補角の公式で鋭角に帰着させます。
$\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
$\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$
三角比の表は $0^\circ$ から $45^\circ$ までしか載っていないことがあります。 余角の公式を使えば $45^\circ$ 以上の角も扱えます。
$\sin 70^\circ = \sin(90^\circ - 20^\circ) = \cos 20^\circ$
$\cos 56^\circ = \cos(90^\circ - 34^\circ) = \sin 34^\circ$
式に $70^\circ$、$110^\circ$、$160^\circ$ など複数の角度が混在するとき、 変換公式を使ってすべてを1つの角度（多くの場合、最も小さい鋭角）に揃えます。
たとえば $\sin 70^\circ \cos 110^\circ + \sin 70^\circ \cos 160^\circ$ を計算してみましょう。
まず、すべてを $20^\circ$ の三角比に揃えます。
代入すると：
$$\cos 20^\circ \cdot (-\sin 20^\circ) + \cos 20^\circ \cdot (-\cos 20^\circ)$$ $$= -\sin 20^\circ \cos 20^\circ - \cos^2 20^\circ$$変換公式を使う問題では、以下の手順で解くのが基本です。
Step 1：式に含まれる角度を確認し、最も小さい鋭角を「基準角」とする
Step 2：他のすべての角度を、補角・余角の公式で基準角に変換する
Step 3：基準角の三角比だけで表された式を計算する
鈍角は「$180^\circ -$（鋭角）」の形なので補角の公式を使い、 $45^\circ$ 超の鋭角が残ったら余角の公式でさらに小さくします。
変換公式で角度を揃えた後に、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ などの 三角比の相互関係を使って式を簡略化することが多くあります。
たとえば、$\cos 40^\circ \cos 140^\circ + \cos 50^\circ \cos 130^\circ$ を簡単にしてみましょう。
$\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$
$\cos 50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$
$\cos 130^\circ = \cos(180^\circ - 50^\circ) = -\cos 50^\circ = -\sin 40^\circ$
代入すると：
$$\cos 40^\circ \cdot (-\cos 40^\circ) + \sin 40^\circ \cdot (-\sin 40^\circ)$$ $$= -\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = -(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ) = -1$$相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を使って、きれいに $-1$ と出ました。 変換公式と相互関係の組み合わせは、入試の定番パターンです。
1. 鈍角 → 補角の公式で鋭角に変換（$\sin$ はそのまま、$\cos$ は符号反転）
2. $45^\circ$ 超の鋭角 → 余角の公式で $45^\circ$ 以下に変換（$\sin \leftrightarrow \cos$ 入替え）
3. 同じ角度の三角比だけの式にした後、相互関係（$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ など）で簡略化
変換公式は、三角比の体系の中で「異なる角度間の橋渡し」をする役割を担っています。 この記事で学んだ内容が、他のテーマとどうつながるかを整理しましょう。
Q1. $\sin(90^\circ - 35^\circ)$ を別の三角比で表してください。
Q2. $\cos 150^\circ$ の値を求めてください。
Q3. 余角の公式と補角の公式で、$\sin$ と $\cos$ の変わり方はどう異なりますか？
Q4. $\sin 70^\circ$ を $20^\circ$ の三角比で表してください。
Q5. $\sin(90^\circ - \theta) - \sin(180^\circ - \theta) + \cos(90^\circ - \theta) + \cos(180^\circ - \theta)$ を簡単にしてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の値を求めよ。
(1) $\sin 120^\circ$
(2) $\cos 135^\circ$
(3) $\tan 150^\circ$
(1) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ (2) $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ (3) $-\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
方針：すべて補角の公式で鋭角に帰着させる。
(1) $\sin 120^\circ = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
(2) $\cos 135^\circ = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos 45^\circ = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
(3) $\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}$
※ (2)(3) は補角の公式で $\cos$、$\tan$ にマイナスがつくことに注意。
次の三角比を $45^\circ$ 以下の角の三角比で表せ。
(1) $\sin 58^\circ$
(2) $\cos 76^\circ$
(3) $\tan 80^\circ$
(1) $\cos 32^\circ$ (2) $\sin 14^\circ$ (3) $\dfrac{1}{\tan 10^\circ}$
方針：余角の公式 $\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha$ 等を用いて、$45^\circ$ 以下の角に変換する。
(1) $\sin 58^\circ = \sin(90^\circ - 32^\circ) = \cos 32^\circ$
(2) $\cos 76^\circ = \cos(90^\circ - 14^\circ) = \sin 14^\circ$
(3) $\tan 80^\circ = \tan(90^\circ - 10^\circ) = \dfrac{1}{\tan 10^\circ}$
次の式を簡単にせよ。
$\sin(90^\circ - \theta) - \sin(180^\circ - \theta) + \cos(90^\circ - \theta) + \cos(180^\circ - \theta)$
$0$
方針：各項に余角・補角の公式を適用し、$\theta$ の三角比に統一する。
$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta$（余角の公式）
$\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$（補角の公式）
$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$（余角の公式）
$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$（補角の公式）
よって、与式 $= \cos\theta - \sin\theta + \sin\theta + (-\cos\theta) = 0$
次の式を簡単にせよ。
$\cos 40^\circ \cos 140^\circ + \cos 50^\circ \cos 130^\circ$
$-1$
方針：補角・余角の公式で角度を $40^\circ$ に統一し、相互関係 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で整理する。
$\cos 140^\circ = \cos(180^\circ - 40^\circ) = -\cos 40^\circ$
$\cos 50^\circ = \cos(90^\circ - 40^\circ) = \sin 40^\circ$
$\cos 130^\circ = \cos(180^\circ - 50^\circ) = -\cos 50^\circ = -\sin 40^\circ$
よって、与式 $= \cos 40^\circ \cdot (-\cos 40^\circ) + \sin 40^\circ \cdot (-\sin 40^\circ)$
$= -\cos^2 40^\circ - \sin^2 40^\circ = -(\sin^2 40^\circ + \cos^2 40^\circ) = -1$