直角三角形の辺の比として定義した三角比を、鈍角にも使えるように拡張します。
「なぜ拡張が必要なのか」「どうやって拡張するのか」を原理から理解すれば、公式の丸暗記は不要です。
4-1で学んだ三角比の定義を思い出しましょう。 直角三角形の鋭角 $\theta$ に対して、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ を 「斜辺」「対辺」「隣辺」の比として定義しました。
しかし、この定義には制限があります。 $\theta$ は鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）でなければならないのです。 直角三角形の内角は「$90^\circ$ が1つ、鋭角が2つ」なので、 $\theta$ が $90^\circ$ 以上の角を扱うことができません。
ところが、現実には鈍角が必要な場面がたくさんあります。 たとえば、三角形 $\mathrm{ABC}$ の角 $\mathrm{B}$ が $120^\circ$ の三角形を考えてみてください。 正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}$ を使いたいのに、 $\sin 120^\circ$ の値がわからなければ、この公式は使えません。
正弦定理や余弦定理は、すべての三角形で成り立つ公式です。 鋭角三角形だけでなく、鈍角三角形でも使えなければ意味がありません。
しかし、三角比が鋭角にしか定義されていないと、鈍角を含む三角形に公式を適用できません。 だから、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲に三角比の定義を広げる必要があるのです。
拡張は「便利だからする」のではなく、「公式を一般的に使うために必要だからする」のです。
では、どうやって鈍角に三角比を定義すればよいでしょうか。 直角三角形の辺の比という元の定義は、$\theta \geq 90^\circ$ では意味を持ちません。 そこで、定義そのものを「書き換える」必要があります。
ここで大切なのは、書き換えた新しい定義が、鋭角の場合には元の定義と同じ値を与えることです。 鋭角では従来通り、鈍角では新しく値が決まる ── そのような定義が必要です。
✕ 誤：$\sin 120^\circ$ は定義できない。直角三角形の鋭角は $90^\circ$ 未満だから。
○ 正：直角三角形の定義では確かに鈍角を扱えませんが、 座標を用いた新しい定義により $\sin 120^\circ$ の値は確定します。
「拡張」とは、定義を捨てることではなく、 より広い範囲で使える新しい定義に「乗り換える」ことです。 鋭角での値は変わりません。
数学の歴史は「拡張」の歴史でもあります。 自然数（$1, 2, 3, \ldots$）だけでは引き算が自由にできないので整数に拡張し、 整数だけでは割り算が自由にできないので有理数に拡張し、 さらに $\sqrt{2}$ のような数を含めるために実数に拡張しました。
三角比の拡張もまったく同じ発想です。 鋭角だけでは不十分なので、$0^\circ$ から $180^\circ$ に拡張する。 さらに数学IIでは、$0^\circ$ から $360^\circ$（そして任意の角度）に拡張します。 拡張のたびに「元の範囲での値は変わらない」ことが大原則です。
拡張のカギは座標平面です。 鋭角のときの三角比を、座標を使って表現し直してみましょう。
座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r$ の半円を考えます。 半円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$（ただし $y \geq 0$）に対して、 $x$ 軸の正の方向と $\mathrm{OP}$ のなす角を $\theta$ とします。
このとき、$\theta$ が鋭角（$0^\circ < \theta < 90^\circ$）なら、 点 $\mathrm{P}$ は第1象限にあり、$x > 0$, $y > 0$ です。 直角三角形の辺の比として定義した三角比は、座標を使うと次のように書けます。
$$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x}$$ここで $r = \mathrm{OP} = \sqrt{x^2 + y^2}$ です。 斜辺が $r$、対辺（$y$ 方向）が $y$、隣辺（$x$ 方向）が $x$ に対応しています。
鋭角のとき、$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$, $\cos\theta = \dfrac{x}{r}$, $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ は、 直角三角形の定義と完全に同じ値を与えます。座標に翻訳しただけです。
しかし、この座標を使った式には「直角三角形」という制約がありません。 $\theta$ が鈍角でも、点 $\mathrm{P}(x, y)$ と原点からの距離 $r$ は定義できます。 だから、この式をそのまま $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲に適用すればよいのです。
座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r$ の半円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$（$y \geq 0$）について、 $x$ 軸の正の方向と $\mathrm{OP}$ のなす角を $\theta$ とするとき：
$$\sin\theta = \frac{y}{r}, \quad \cos\theta = \frac{x}{r}, \quad \tan\theta = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$$定義式で $r$ は約分されるので、三角比の値は $r$ の大きさに関係なく $\theta$ だけで決まります。 ならば、最も計算しやすい $r = 1$（単位円：半径1の円）を使いましょう。
$r = 1$ のとき、$\sin\theta = y$, $\cos\theta = x$ となります。 つまり、単位円上の点 $\mathrm{P}$ の座標そのものが $(\cos\theta, \sin\theta)$ なのです。 これが単位円を使う最大のメリットです。
✕ 誤：半径 $r = 2$ の円上の点 $(-1, \sqrt{3})$ と半径 $r = 4$ の円上の点 $(-2, 2\sqrt{3})$ では $\sin\theta$ が異なる。
○ 正：$r = 2$ のとき $\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$、$r = 4$ のとき $\sin\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$。同じ値です。
$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ は比なので、$r$ を何倍しても $x, y$ も同じ倍率で変わり、値は不変。 だから $r = 1$ に固定しても一般性を失わないのです。
$\theta$ が鈍角（$90^\circ < \theta < 180^\circ$）のとき、 点 $\mathrm{P}(x, y)$ は第2象限に位置します。 第2象限では $x < 0$, $y > 0$ なので、三角比の符号は次のようになります。
鋭角では $\sin$, $\cos$, $\tan$ のすべてが正でした。 鈍角では点 $\mathrm{P}$ の $x$ 座標が負になるので、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ が負になります。
覚え方は簡単です。「鈍角では $\sin$ だけ正、$\cos$ と $\tan$ は負」。 これは第2象限の座標の符号（$x < 0$, $y > 0$）から直接わかります。
直角三角形の定義は「長さ」（常に正の値）を使っているため、 負の値を持つ三角比を表現できません。 一方、座標は正の値も負の値もとれます。 この「符号付きの量」が拡張を可能にしているのです。
大学数学では、三角関数を複素数の指数関数で定義します（オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$）。 この定義なら任意の実数 $\theta$、さらには複素数 $\theta$ に対しても三角関数を定義でき、 座標による定義のさらなる拡張になっています。
座標を用いた定義を使えば、鈍角だけでなく $0^\circ$, $90^\circ$, $180^\circ$ の三角比も求められます。 単位円（$r = 1$）上で、各角度に対応する点の座標を考えましょう。
$\theta = 0^\circ$ のとき： 点 $\mathrm{P}$ は $(1, 0)$ にあるので、$\sin 0^\circ = 0$, $\cos 0^\circ = 1$, $\tan 0^\circ = 0$。
$\theta = 90^\circ$ のとき： 点 $\mathrm{P}$ は $(0, 1)$ にあるので、$\sin 90^\circ = 1$, $\cos 90^\circ = 0$。 $\tan 90^\circ = \dfrac{1}{0}$ は定義されない。
$\theta = 180^\circ$ のとき： 点 $\mathrm{P}$ は $(-1, 0)$ にあるので、$\sin 180^\circ = 0$, $\cos 180^\circ = -1$, $\tan 180^\circ = 0$。
$120^\circ$, $135^\circ$, $150^\circ$ の三角比は、対応する鋭角（$60^\circ$, $45^\circ$, $30^\circ$）の値と深い関係があります。 たとえば $\theta = 120^\circ$ のとき、点 $\mathrm{P}$ は単位円上で $x$ 軸の正の方向から $120^\circ$ の位置にあり、座標は $\left(-\dfrac{1}{2}, \, \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ です。
| $\theta$ | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $45^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | なし |
| $120^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\sqrt{3}$ |
| $135^\circ$ | $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ | $-1$ |
| $150^\circ$ | $\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ |
| $180^\circ$ | $0$ | $-1$ | $0$ |
上の表を見ると、たとえば $\sin 120^\circ = \sin 60^\circ$, $\cos 120^\circ = -\cos 60^\circ$ となっています。 これは偶然ではありません。
単位円上で、角 $\theta$ に対応する点 $\mathrm{P}(x, y)$ と、角 $180^\circ - \theta$ に対応する点 $\mathrm{Q}$ は、 $y$ 軸に関して対称です。 したがって $\mathrm{Q}$ の座標は $(-x, y)$ となります。
単位円上で、角 $\theta$ に対応する点を $\mathrm{P}(\cos\theta, \sin\theta)$ とします。
角 $180^\circ - \theta$ に対応する点 $\mathrm{Q}$ は、$\mathrm{P}$ と $y$ 軸に関して対称なので、 $\mathrm{Q}(-\cos\theta, \sin\theta)$ です。
一方、$\mathrm{Q}$ の座標は定義から $(\cos(180^\circ - \theta), \, \sin(180^\circ - \theta))$ です。
座標を比較して：
$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$, $\quad \sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$
$\tan(180^\circ - \theta) = \dfrac{\sin(180^\circ - \theta)}{\cos(180^\circ - \theta)} = \dfrac{\sin\theta}{-\cos\theta} = -\tan\theta$ $\quad \square$
✕ 誤：$\sin(180^\circ - 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\dfrac{1}{2}$
○ 正：$\sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
$\sin$ にはマイナスがつかない。$\cos$ と $\tan$ にマイナスがつく。 覚え方：「$y$ 軸対称だから $y$ 座標（$\sin$）は変わらない」。
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、各三角比がとりうる値の範囲をまとめておきましょう。
上の三角比の値を $\theta$ の関数としてグラフに描くと、 $y = \sin\theta$ は $0^\circ$ から $180^\circ$ にかけて山型のカーブを描きます。 数学IIでは $\theta$ を $360^\circ$ まで（さらに何周でも）広げて、 おなじみの正弦曲線（サインカーブ）が現れます。
サインカーブは音波、電磁波、交流電流など、あらゆる「周期的な現象」を表す最も基本的な関数です。 ここで学んだ $0^\circ$ 〜 $180^\circ$ の三角比は、その入口にあたります。
4-1で学んだ三角比の相互関係は、鋭角に限った式ではありません。 座標を用いた定義のもとでは、$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$（$\theta \neq 90^\circ$）の範囲で そのまま成り立ちます。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の根拠は三平方の定理です。
半径 $r$ の半円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ について、$x^2 + y^2 = r^2$ が成り立ちます。 両辺を $r^2$ で割ると $\left(\dfrac{x}{r}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{r}\right)^2 = 1$、 すなわち $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$。
この導出には「$\theta$ は鋭角」という条件がどこにも使われていません。 $x^2 + y^2 = r^2$ は円上のすべての点で成り立つので、 相互関係も $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の全範囲で成り立つのです。
鈍角の場合に注意が必要なのは、$\cos\theta$ の符号です。 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ から $\cos\theta$ を求めるとき、 $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ の平方根をとる必要があります。
鋭角なら $\cos\theta > 0$ なので正の平方根を選びますが、 鈍角なら $\cos\theta < 0$ なので負の平方根を選ばなければなりません。
具体例で確認しましょう。$\theta$ が $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ のとき、 $\cos\theta$ を求めます。
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$ よって $\cos\theta = \pm\dfrac{4}{5}$
ここで $\theta$ が鋭角なら $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$、鈍角なら $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ です。 $\theta$ の範囲が指定されていない場合、答えは2通りあります。
✕ 誤：$\sin\theta = \dfrac{3}{5}$ のとき $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$（正の値だけを答える）
○ 正：$\theta$ の範囲により $\cos\theta = \dfrac{4}{5}$（鋭角）または $\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$（鈍角）。 問題文で「$90^\circ < \theta < 180^\circ$」のような条件があれば、$\cos\theta = -\dfrac{4}{5}$ のみが正解。
拡張後は $\cos\theta$ や $\tan\theta$ が負になりうることを常に意識しましょう。 $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ から $\cos\theta$ を求めたら、$\theta$ の範囲に応じて符号を決定する。 これが拡張後の計算で最も重要なステップです。
座標による定義から、$\tan\theta$ には重要な幾何学的意味があります。 直線 $y = mx$（原点を通る傾き $m$ の直線）が $x$ 軸の正の方向となす角を $\theta$（$0^\circ < \theta < 180^\circ$, $\theta \neq 90^\circ$）とすると、
$$m = \tan\theta$$つまり、直線の傾き ＝ $\tan\theta$ です。 $\theta$ が鈍角のとき $\tan\theta < 0$ となるのは、右下がりの直線の傾きが負であることに対応しています。
三角比の拡張は、「直角三角形の辺の比」から「座標を用いた定義」へと視点を切り替えることで実現しました。 ここまでの内容を他の単元とのつながりも含めて整理しましょう。
Q1. 三角比の拡張が必要な理由を、一言で答えてください。
Q2. $\sin 135^\circ$, $\cos 135^\circ$, $\tan 135^\circ$ の値をそれぞれ求めてください。
Q3. $0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲で、$\sin\theta$ がとりうる値の範囲は？
Q4. $90^\circ < \theta < 180^\circ$ で $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$ のとき、$\cos\theta$ を求めてください。
Q5. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ が拡張後も成り立つ理由は何ですか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の三角比の値を求めよ。
(1) $\sin 150^\circ$
(2) $\cos 120^\circ$
(3) $\tan 150^\circ$
(1) $\dfrac{1}{2}$ (2) $-\dfrac{1}{2}$ (3) $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
方針：補角の公式を使い、鈍角の三角比を対応する鋭角の値から求める。
(1) $\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$
(2) $\cos 120^\circ = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}$
(3) $\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
※ $\sin$ にはマイナスがつかず、$\cos$ と $\tan$ にマイナスがつくことを確認。
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で $\cos\theta = -\dfrac{3}{5}$ のとき、$\sin\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
$\sin\theta = \dfrac{4}{5}$, $\quad \tan\theta = -\dfrac{4}{3}$
方針：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ から $\sin\theta$ を求め、$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ で $\tan\theta$ を求める。
$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より $\sin\theta \geq 0$ なので $\sin\theta = \dfrac{4}{5}$
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{4/5}{-3/5} = -\dfrac{4}{3}$
※ $\cos\theta < 0$ より $\theta$ は鈍角。$\sin\theta > 0$, $\tan\theta < 0$ は鈍角の符号と一致。
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ で $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$
(1) $-\dfrac{3}{8}$ (2) $\dfrac{11}{16}$
方針：$\sin\theta + \cos\theta$ の値から $\sin\theta\cos\theta$ を求め、因数分解の公式を利用する。
(1) $\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$ の両辺を2乗すると
$\sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = \dfrac{1}{4}$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より $1 + 2\sin\theta\cos\theta = \dfrac{1}{4}$
$\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= \dfrac{1}{2} \times \left(1 - \left(-\dfrac{3}{8}\right)\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{8} = \dfrac{11}{16}$
⚠️ $\sin\theta\cos\theta < 0$ より、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は異符号。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ では $\sin\theta \geq 0$ なので $\cos\theta < 0$、つまり $\theta$ は鈍角。
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ のとき、次の方程式を解け。
$$2\cos^2\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta = 0$$
$\theta = 45^\circ, \, 120^\circ$
方針：左辺を因数分解して、各因数を0とおく。
左辺を項のグループ分けで因数分解する。
$2\cos^2\theta + \cos\theta - 2\sin\theta\cos\theta - \sin\theta$
$= \cos\theta(2\cos\theta + 1) - \sin\theta(2\cos\theta + 1)$
$= (2\cos\theta + 1)(\cos\theta - \sin\theta)$
よって $(2\cos\theta + 1)(\cos\theta - \sin\theta) = 0$
(i) $2\cos\theta + 1 = 0$ のとき：
$\cos\theta = -\dfrac{1}{2}$。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より $\theta = 120^\circ$。
(ii) $\cos\theta - \sin\theta = 0$ のとき：
$\sin\theta = \cos\theta$。$\theta = 90^\circ$ では $\sin 90^\circ = 1 \neq 0 = \cos 90^\circ$ なので不適。
$\theta \neq 90^\circ$ のとき、両辺を $\cos\theta$ で割って $\tan\theta = 1$。$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より $\theta = 45^\circ$。
検算：$\theta = 45^\circ$ を元の式に代入すると $2 \cdot \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 0$。適する。
$\theta = 120^\circ$ を代入すると $2 \cdot \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 0$。適する。
よって $\theta = 45^\circ, \, 120^\circ$