$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ はバラバラに見えて、実は3つの関係式でがっちり結ばれています。
1つの三角比がわかれば残り2つも求まる ── その仕組みを原理から理解しましょう。
4-1で学んだ三角比の定義を思い出してください。 半径 $r$ の円上の点 $\mathrm{P}(x, y)$ を使って、$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$、$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$、$\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ と定義しました。
この3つの値は独立ではありません。3つの関係式で互いにつながっています。 その中でも最も根本的なのが、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ です。
3つの相互関係はすべて、三平方の定理 $x^2 + y^2 = r^2$ から導かれます。
両辺を $r^2$ で割ると $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。 両辺を $x^2$ で割ると $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$。 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ は定義の比をとるだけです。
つまり3つの公式を「暗記」する必要はなく、三平方の定理からいつでも導けるのです。 原理を理解していれば、忘れても怖くありません。
公式1（最重要）：
$$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$
公式2：
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
公式3：
$$1 + \tan^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} \quad (\cos\theta \neq 0)$$
座標平面上で、原点 $\mathrm{O}$ を中心とする半径 $r$ の半円上の点を $\mathrm{P}(x, y)$ とします。
三平方の定理より：
$$x^2 + y^2 = r^2$$
両辺を $r^2$ で割ると：
$$\frac{x^2}{r^2} + \frac{y^2}{r^2} = 1$$
$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$、$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$ なので：
$$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$$
すなわち $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$。 $\square$
この公式は「$\sin$ と $\cos$ の2乗の和は常に1」という意味です。 $\theta$ がどんな角度であっても（$0^\circ$ でも $90^\circ$ でも $180^\circ$ でも）必ず成り立ちます。 半径を $r = 1$（単位円）にすれば、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は「円の方程式 $x^2 + y^2 = 1$ そのもの」です。
✕ 誤：$\sin^2\theta$ を「$\sin$ の2乗に $\theta$ をかけたもの」と解釈する
○ 正：$\sin^2\theta = (\sin\theta)^2$ つまり「$\sin\theta$ の値を2乗したもの」
$\sin^2\theta$ は $(\sin\theta)^2$ の省略記法です。 たとえば $\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}$ なので、$\sin^2 30^\circ = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{1}{4}$ です。 間違っても $\sin(30^2)$ のように角度を2乗するのではありません。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ はピタゴラスの恒等式（Pythagorean identity）と呼ばれ、 大学数学でも三角関数の最も基本的な性質として登場します。
数学IIで学ぶ加法定理 $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$ に $\alpha = \beta = \theta$ を代入すると $\cos 0 = \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ が得られます。 つまり $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ は加法定理の特殊ケースでもあるのです。
2つ目の関係式は、$\tan\theta$ を $\sin\theta$ と $\cos\theta$ で表す式です。 これは三角比の定義から直接導けます。
$\sin\theta = \dfrac{y}{r}$、$\cos\theta = \dfrac{x}{r}$ なので、
$$\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{y/r}{x/r} = \frac{y}{x} = \tan\theta$$分母・分子の $r$ が約分されて、$\tan\theta$ の定義そのものが出てきます。 つまり「$\tan$ は $\sin$ を $\cos$ で割ったもの」です。
$\tan\theta = \dfrac{y}{x}$ は、原点から点 $\mathrm{P}(x, y)$ へ向かう直線の傾きです。
「$\sin$ は $y$ 座標の割合、$\cos$ は $x$ 座標の割合、$\tan$ はその比（＝傾き）」と理解すれば、 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ は暗記する式ではなく、当然の関係です。
この式はとくに、$\sin\theta$ や $\cos\theta$ がわかっているときに $\tan\theta$ を求める場面で使います。
$\cos 90^\circ = 0$ なので、$\dfrac{\sin 90^\circ}{\cos 90^\circ} = \dfrac{1}{0}$ となり、$\tan 90^\circ$ は定義されません。
✕ 誤：$\theta = 90^\circ$ のときも $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ が使えると思い込む
○ 正：公式2と公式3は $\cos\theta \neq 0$（$\theta \neq 90^\circ$）が前提条件。 入試問題では「$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$」のように範囲が指定されますが、 $\theta = 90^\circ$ がありうるかどうかを常に確認しましょう。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ の両辺に $\cos\theta$ をかけると：
$$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$$この変形は、$\tan\theta$ と $\cos\theta$ がわかっているときに $\sin\theta$ を求める場面で便利です。 1つの式を変形するだけでさまざまな場面に対応できます。
$$\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad \Leftrightarrow \quad \sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta \quad \Leftrightarrow \quad \cos\theta = \frac{\sin\theta}{\tan\theta}$$
3つ目の公式は、一見すると唐突に見えるかもしれません。 しかし、導出過程を見れば「公式1の変形にすぎない」ことがわかります。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ の両辺を $\cos^2\theta$（$\neq 0$）で割ります。
$$\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} + \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
$\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \tan\theta$ なので、$\dfrac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta$。また $\dfrac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta} = 1$。
よって：
$$\tan^2\theta + 1 = \frac{1}{\cos^2\theta}$$
すなわち $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$。 $\square$
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ は新しい公式ではなく、$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を $\cos^2\theta$ で割っただけです。
同様に $\sin^2\theta$ で割れば $1 + \dfrac{1}{\tan^2\theta} = \dfrac{1}{\sin^2\theta}$ も得られます（ただしこの形は高校ではあまり使いません）。
3つの公式の中で本当に「独立」なのは公式1だけです。公式2は定義の比、公式3は公式1の変形。 だから $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を覚えていれば、残り2つはいつでも導けます。
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ は、$\tan\theta$ の値から $\cos\theta$ を求めるときに使います。
たとえば $\tan\theta = 2$ がわかっているとき、$\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + \tan^2\theta} = \dfrac{1}{1 + 4} = \dfrac{1}{5}$ と一発で求まります。 ここから $\cos\theta = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$ が得られ、$\theta$ の範囲で符号を決定します。
✕ 誤：$\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}$ だから $\cos\theta = \dfrac{1}{\sqrt{5}}$
○ 正：$\cos^2\theta = \dfrac{1}{5}$ だから $\cos\theta = \pm\dfrac{1}{\sqrt{5}}$。 $\theta$ の範囲によって正か負かを判定する必要があります。
$0^\circ < \theta < 90^\circ$ なら $\cos\theta > 0$。 $90^\circ < \theta < 180^\circ$ なら $\cos\theta < 0$。 2乗を外すときは「$\pm$」を付けて、条件から符号を選ぶ。これが鉄則です。
✕ 誤：$1 + \tan^2\theta = \cos^2\theta$ と記憶してしまう
○ 正：$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ （右辺は $\cos^2\theta$ の逆数）
検算しましょう。$\theta = 45^\circ$ のとき $\tan 45^\circ = 1$ なので、左辺 $= 1 + 1 = 2$。 $\cos 45^\circ = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ なので $\dfrac{1}{\cos^2 45^\circ} = \dfrac{1}{1/2} = 2$。確かに一致します。 もし $\cos^2\theta$ なら $\dfrac{1}{2}$ となって合いません。 具体的な値で検算する習慣が誤記憶を防ぎます。
大学数学では、$\dfrac{1}{\cos\theta}$ に$\sec\theta$（セカント）、 $\dfrac{1}{\sin\theta}$ に$\csc\theta$（コセカント）という名前がついています。
公式3を $\sec$ で書くと $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ となり、非常にすっきりします。 高校では $\sec$, $\csc$ は登場しませんが、大学の微積分では頻繁に使います。 「$\cos$ の逆数に名前がついている」と知っておくと、大学数学への移行がスムーズです。
ここからは、3つの公式を使って「1つの三角比の値から残り2つを求める」具体的な手順を整理します。 入試でも最頻出のパターンです。
$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ は3つの関係式で結ばれているので、 1つの値と $\theta$ の範囲がわかれば、残り2つは一意に決まります。
ただし、2乗を外す段階で $\pm$ が出るため、$\theta$ の範囲から符号を判定するステップが不可欠です。 符号の判定を忘れると、答えが2つ出たままになるか、間違った符号を選んでしまいます。
| 与えられた値 | 解法の流れ | 使う公式 |
|---|---|---|
| $\sin\theta$ が既知 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で $\cos\theta$ → 公式2で $\tan\theta$ | 公式1 → 公式2 |
| $\cos\theta$ が既知 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ で $\sin\theta$ → 公式2で $\tan\theta$ | 公式1 → 公式2 |
| $\tan\theta$ が既知 | 公式3で $\cos\theta$ → 公式2変形で $\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$ | 公式3 → 公式2 |
Step 1：$\sin\theta$ を求める。 $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$。 $\theta$ は鋭角なので $\sin\theta > 0$。よって $\sin\theta = \dfrac{12}{13}$。
Step 2：$\tan\theta$ を求める。 $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}$。
Step 1：$\cos\theta$ を求める。 $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より $\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + (-2)^2} = \dfrac{1}{5}$。 $90^\circ < \theta < 180^\circ$ なので $\cos\theta < 0$。よって $\cos\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{5}} = -\dfrac{\sqrt{5}}{5}$。
Step 2：$\sin\theta$ を求める。 $\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = (-2) \times \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right) = \dfrac{2\sqrt{5}}{5}$。
検算：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = \dfrac{4}{5} + \dfrac{1}{5} = 1$ ✓
✕ 非効率：$\tan\theta = -2$ のとき、$\sin\theta = -2\cos\theta$ を公式1に代入して $4\cos^2\theta + \cos^2\theta = 1$ を解く（計算はできるが回りくどい）
○ 効率的：公式3を使って $\cos^2\theta = \dfrac{1}{1+\tan^2\theta}$ で一発。
公式3は「$\tan$ から $\cos$ への直通ルート」です。 わざわざ公式1に代入して連立方程式を解く必要はありません。 ただし、「非効率な方法でも正解にはたどり着ける」ことを知っておくと、公式を忘れたときの保険になります。
符号の判定は、$\theta$ の範囲と三角比の性質から行います。
| $\theta$ の範囲 | $\sin\theta$ | $\cos\theta$ | $\tan\theta$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ < \theta < 90^\circ$（鋭角） | $+$ | $+$ | $+$ |
| $\theta = 90^\circ$ | $+$（$= 1$） | $0$ | 定義なし |
| $90^\circ < \theta < 180^\circ$（鈍角） | $+$ | $-$ | $-$ |
$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ の範囲では、$\sin\theta$ は常に $0$ 以上です（$y$ 座標が $0$ 以上だから）。 $\cos\theta$ は鋭角で正、鈍角で負。$\tan\theta$ は $\cos\theta$ と同じ符号パターンです。
三角比の相互関係は、三角比を使った計算のすべての土台になります。 この記事で学んだ3つの公式がどのような問題につながるか、全体像を把握しましょう。
| 公式 | 由来 | 主な用途 |
|---|---|---|
| $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ | 三平方の定理 ÷ $r^2$ | $\sin$ と $\cos$ の相互変換。式の値を求める問題 |
| $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ | 定義の比 | $\sin$, $\cos$ から $\tan$ を求める。式の書き換え |
| $1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ | 公式1 ÷ $\cos^2\theta$ | $\tan$ から $\cos$ を求める |
Q1. 三角比の相互関係の3つの公式を書いてください。
Q2. $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ はどのような定理から導かれますか？
Q3. $\sin\theta = \dfrac{3}{5}$（$\theta$ は鋭角）のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ を求めてください。
Q4. $90^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\sin\theta$, $\cos\theta$, $\tan\theta$ の符号はそれぞれ正・負のどちらですか？
Q5. $\tan\theta = 3$ のとき、$\cos^2\theta$ の値を公式3を使って求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$\sin\theta = \dfrac{4}{5}$（$\theta$ は鋭角）のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
$\cos\theta = \dfrac{3}{5}$、$\tan\theta = \dfrac{4}{3}$
方針：公式1で $\cos\theta$ を求め、公式2で $\tan\theta$ を求める。
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{16}{25} = \dfrac{9}{25}$
$\theta$ は鋭角なので $\cos\theta > 0$。よって $\cos\theta = \dfrac{3}{5}$。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{4/5}{3/5} = \dfrac{4}{3}$
検算：$\left(\dfrac{4}{5}\right)^2 + \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16+9}{25} = 1$ ✓
$\tan\theta = \sqrt{3}$（$\theta$ は鋭角）のとき、$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値を求めよ。
$\cos\theta = \dfrac{1}{2}$、$\sin\theta = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
方針：公式3で $\cos\theta$ を求め、$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta$ で $\sin\theta$ を求める。
$1 + \tan^2\theta = \dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より
$\cos^2\theta = \dfrac{1}{1 + (\sqrt{3})^2} = \dfrac{1}{4}$
$\theta$ は鋭角なので $\cos\theta > 0$。よって $\cos\theta = \dfrac{1}{2}$。
$\sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = \sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
※ これは $\theta = 60^\circ$ の三角比であることが確認できます。
$\sin\theta = \dfrac{5}{13}$（$90^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$）のとき、$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値を求めよ。
$\cos\theta = -\dfrac{12}{13}$、$\tan\theta = -\dfrac{5}{12}$
方針：公式1で $\cos\theta$ を求め、符号を判定してから公式2で $\tan\theta$ を求める。
$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169}$
$90^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$ より $\cos\theta \leq 0$。 また $\sin\theta = \dfrac{5}{13} > 0$ なので $\theta \neq 180^\circ$。 よって $90^\circ \leq \theta < 180^\circ$ で $\cos\theta \leq 0$。
$\theta = 90^\circ$ のとき $\cos\theta = 0$ だが、$\sin 90^\circ = 1 \neq \dfrac{5}{13}$ なので $\theta \neq 90^\circ$。
よって $\cos\theta < 0$ であり、$\cos\theta = -\dfrac{12}{13}$。
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{5/13}{-12/13} = -\dfrac{5}{12}$
$\sin\theta + \cos\theta = \dfrac{1}{2}$（$0^\circ \leq \theta \leq 180^\circ$）のとき、次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta\cos\theta$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta$
(1) $\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = \dfrac{11}{16}$
方針：$\sin\theta + \cos\theta$ の2乗を展開し、公式1を使って $\sin\theta\cos\theta$ を求める。 (2) は因数分解の公式 $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を利用する。
(1) $(\sin\theta + \cos\theta)^2 = \sin^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta$
$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より
$\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$
$\dfrac{1}{4} = 1 + 2\sin\theta\cos\theta$
$2\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{4}$
$\sin\theta\cos\theta = -\dfrac{3}{8}$
(2) $\sin^3\theta + \cos^3\theta = (\sin\theta + \cos\theta)(\sin^2\theta - \sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta)$
$= (\sin\theta + \cos\theta)(1 - \sin\theta\cos\theta)$
$= \dfrac{1}{2} \times \left(1 - \left(-\dfrac{3}{8}\right)\right) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{11}{8} = \dfrac{11}{16}$