三角形の3辺の長さがわかっているとき、中線や角の二等分線の長さはどう求めるのでしょうか。
余弦定理を「2回使う」テクニックから、スチュワートの定理という統一的な視点まで、体系的に学びます。
$\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とするとき、線分 $\mathrm{AM}$ を中線（median）と呼びます。 中線は三角形の頂点と対辺の中点を結ぶ線分で、3本の中線は1点（重心）で交わるという性質をもっています。
では、3辺の長さ $a, b, c$ がわかっているとき、中線の長さはどう求められるでしょうか。 ここで登場するのが中線定理（パップスの定理）です。
中線定理の証明の核心は、$\angle\mathrm{AMB} = \theta$ とおくと $\angle\mathrm{AMC} = 180^\circ - \theta$ となり、$\cos\theta + \cos(180^\circ - \theta) = 0$ が成り立つことです。
$\triangle\mathrm{ABM}$ と $\triangle\mathrm{ACM}$ で余弦定理を1回ずつ使い、辺々を足すと、$\cos\theta$ の項が打ち消し合って消えます。 だから結果に角度が含まれず、辺の長さだけの関係式になるのです。
これは「補角の余弦が符号反転する」という三角比の基本性質の美しい応用です。
$\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$、$\mathrm{AB} = c$、$\mathrm{AC} = b$、$\mathrm{BC} = a$ とすると
$$\mathrm{AB}^2 + \mathrm{AC}^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + \mathrm{BM}^2)$$すなわち
$$b^2 + c^2 = 2\!\left(m_a^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$ここで $m_a = \mathrm{AM}$ は頂点 $\mathrm{A}$ から引いた中線の長さです。整理すると
$$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$$$\mathrm{AM} = m$、$\mathrm{BM} = \mathrm{MC} = \dfrac{a}{2}$、$\angle\mathrm{AMB} = \theta$ とおきます。 すると $\angle\mathrm{AMC} = 180^\circ - \theta$ です。
Step 1：$\triangle\mathrm{ABM}$ で余弦定理を適用
$$c^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot m \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos\theta \quad \cdots (1)$$Step 2：$\triangle\mathrm{ACM}$ で余弦定理を適用
$$b^2 = m^2 + \frac{a^2}{4} - 2 \cdot m \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos(180^\circ - \theta) = m^2 + \frac{a^2}{4} + 2 \cdot m \cdot \frac{a}{2} \cdot \cos\theta \quad \cdots (2)$$Step 3：$(1) + (2)$ を計算すると、$\cos\theta$ の項が相殺されて
$$b^2 + c^2 = 2m^2 + \frac{a^2}{2} = 2\!\left(m^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$$\mathrm{AB} = 5$、$\mathrm{BC} = 8$、$\mathrm{CA} = 7$ の $\triangle\mathrm{ABC}$ で、辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ までの中線 $\mathrm{AM}$ の長さを求めましょう。
中線定理より $5^2 + 7^2 = 2(\mathrm{AM}^2 + 4^2)$。$25 + 49 = 2(\mathrm{AM}^2 + 16)$ なので $74 = 2\mathrm{AM}^2 + 32$。 $\mathrm{AM}^2 = 21$ より $\mathrm{AM} = \sqrt{21}$ です。
✕ 誤：$b^2 + c^2 = m_a^2 + \dfrac{a^2}{4}$（係数2が抜けている）
○ 正：$b^2 + c^2 = 2\!\left(m_a^2 + \dfrac{a^2}{4}\right)$
この「2」は、2つの三角形（$\triangle\mathrm{ABM}$ と $\triangle\mathrm{ACM}$）の余弦定理を足し合わせた結果です。 2つの式を足すから係数2が現れると覚えておきましょう。
数学Bで学ぶベクトルを使えば、中線定理はさらに簡潔に証明できます。 $\vec{\mathrm{BA}} = \vec{a}$、$\vec{\mathrm{BC}} = \vec{c}$ とおくと、$\mathrm{M}$ は中点なので $\vec{\mathrm{BM}} = \dfrac{\vec{c}}{2}$。
$|\vec{\mathrm{AM}}|^2 = \left|\dfrac{\vec{c}}{2} - \vec{a}\right|^2 = \dfrac{|\vec{c}|^2}{4} - \vec{a} \cdot \vec{c} + |\vec{a}|^2$ から中線定理が導かれます。 ベクトルの言葉では、中線定理は平行四辺形の対角線と辺の関係（平行四辺形の恒等式）と同値です。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の $\angle\mathrm{A}$ の二等分線が辺 $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とします。 このとき、角の二等分線の性質により $\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC} = c : b$ が成り立ちます。
角の二等分線の長さ $\mathrm{AD}$ を求める方法は複数ありますが、ここでは最も基本的な「余弦定理を2回使う方法」と、面積を利用する方法を紹介します。
角の二等分線の長さを求める問題では、まず内分比 $\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = c : b$ を使って $\mathrm{BD}$ と $\mathrm{DC}$ の実際の長さを求めます。
$\mathrm{BD} = \dfrac{ac}{b+c}$、$\mathrm{DC} = \dfrac{ab}{b+c}$
これが確定すれば、$\triangle\mathrm{ABD}$ または $\triangle\mathrm{ACD}$ に余弦定理を適用できます。
$\triangle\mathrm{ABC}$ で $a = \mathrm{BC}$, $b = \mathrm{CA}$, $c = \mathrm{AB}$、$\angle\mathrm{A}$ の二等分線の足を $\mathrm{D}$ とします。 まず $\triangle\mathrm{ABC}$ で余弦定理から $\cos A$ を求め、次に $\triangle\mathrm{ABD}$ で余弦定理から $\mathrm{AD}$ を求めます。
$\mathrm{AD} = d$ とおきます。$\triangle\mathrm{ABD}$ と $\triangle\mathrm{ACD}$ の面積の和が $\triangle\mathrm{ABC}$ の面積に等しいことを利用します。
Step 1：$\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{CAD} = \dfrac{A}{2}$ より
$$\triangle\mathrm{ABD} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot d \cdot \sin\frac{A}{2}, \quad \triangle\mathrm{ACD} = \frac{1}{2} \cdot b \cdot d \cdot \sin\frac{A}{2}$$Step 2：$\triangle\mathrm{ABC} = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2}bc \cdot 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$ より
$$\frac{1}{2}(b+c) \cdot d \cdot \sin\frac{A}{2} = bc\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}$$Step 3：$\sin\dfrac{A}{2}$ で割ると $d = \dfrac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$
$\triangle\mathrm{ABC}$ で $\angle\mathrm{A}$ の二等分線の長さ $d$ は
$$d = \frac{2bc\cos\dfrac{A}{2}}{b+c}$$また、3辺 $a, b, c$ のみで表すと
$$d^2 = bc\!\left[1 - \left(\frac{a}{b+c}\right)^2\right] = bc - \mathrm{BD} \cdot \mathrm{DC}$$✕ 誤：$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = b : c$
○ 正：$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = c : b$（$\mathrm{AB} : \mathrm{AC} = c : b$）
角の二等分線の性質では、$\mathrm{BD}$ の比は対辺ではなく隣辺 $\mathrm{AB}$ の長さに対応します。 $\mathrm{B}$ に近い側の $\mathrm{BD}$ が $c$（$\mathrm{AB}$ 側）に比例するのです。 図を描いて確認する習慣をつけましょう。
✕ 誤：$d = \dfrac{2bc\cos A}{b+c}$
○ 正：$d = \dfrac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$
公式に現れるのは $\cos A$ ではなく$\cos\dfrac{A}{2}$（半角）です。 これは面積の式で $\sin A = 2\sin\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{A}{2}$ と分解したことに由来します。 $\cos\dfrac{A}{2}$ は半角の公式 $\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}}$ で $\cos A$ から求められます。
角の二等分線の長さの公式は、三角形の内心（3つの角の二等分線の交点）の位置を求める際にも使われます。 内心 $\mathrm{I}$ は各中線を特定の比に内分する点であり、$\mathrm{AI} = \dfrac{d}{1 + \frac{a}{b+c}} = \dfrac{d(b+c)}{a+b+c}$ のように表されます。
これは数学Aの「図形の性質」で学ぶ内心の性質と、ここで学んだ角の二等分線の長さの公式を組み合わせた結果です。
中線定理は「中点に下ろした線分」の長さの公式でした。角の二等分線は「内分点に下ろした線分」の長さの公式でした。 では、辺 $\mathrm{BC}$ 上の任意の点 $\mathrm{D}$ について、$\mathrm{AD}$ の長さを求める統一的な公式はないのでしょうか？
それがスチュワートの定理です。18世紀のスコットランドの数学者マシュー・スチュワートにちなんで名付けられました。
スチュワートの定理は、中線定理と全く同じ手法 ── $\triangle\mathrm{ABD}$ と $\triangle\mathrm{ACD}$ に余弦定理を1回ずつ適用し、$\cos\theta$ を消去する ── で導かれます。
中線定理との違いは、$\mathrm{BM} = \mathrm{MC}$ という等分条件がないため、$\cos\theta$ の消去に「辺々を足す」のではなく加重平均（$\mathrm{DC}$ 倍と $\mathrm{BD}$ 倍をして足す）を使う点です。
つまり、中線定理はスチュワートの定理で $\mathrm{BD} = \mathrm{DC}$ とした特殊ケースに過ぎません。
$\triangle\mathrm{ABC}$ の辺 $\mathrm{BC}$ 上に点 $\mathrm{D}$ をとり、$\mathrm{BD} = m$、$\mathrm{DC} = n$ とすると
$$\mathrm{AB}^2 \cdot n + \mathrm{AC}^2 \cdot m = \mathrm{BC}(\mathrm{AD}^2 + mn)$$すなわち $c^2 n + b^2 m = a(d^2 + mn)$ （ただし $d = \mathrm{AD}$、$a = m + n$）
$\angle\mathrm{ADB} = \theta$ とおくと $\angle\mathrm{ADC} = 180^\circ - \theta$ です。
$\triangle\mathrm{ABD}$ で余弦定理：
$$c^2 = d^2 + m^2 - 2dm\cos\theta \quad \cdots (1)$$$\triangle\mathrm{ACD}$ で余弦定理：
$$b^2 = d^2 + n^2 + 2dn\cos\theta \quad \cdots (2)$$$(1) \times n$ と $(2) \times m$ を計算して足すと、$\cos\theta$ の項が
$$-2dmn\cos\theta + 2dmn\cos\theta = 0$$と打ち消し合い
$$c^2 n + b^2 m = (m+n)d^2 + m^2 n + mn^2 = (m+n)(d^2 + mn) = a(d^2 + mn)$$$\mathrm{D}$ が $\mathrm{BC}$ の中点のとき $m = n = \dfrac{a}{2}$ なので
$$c^2 \cdot \frac{a}{2} + b^2 \cdot \frac{a}{2} = a\!\left(d^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$両辺を $a$ で割ると $\dfrac{b^2 + c^2}{2} = d^2 + \dfrac{a^2}{4}$、すなわち $b^2 + c^2 = 2\!\left(d^2 + \dfrac{a^2}{4}\right)$。中線定理そのものです。
$\angle\mathrm{A}$ の二等分線では $m = \mathrm{BD} = \dfrac{ac}{b+c}$、$n = \mathrm{DC} = \dfrac{ab}{b+c}$ です。 スチュワートの定理に代入すると
$$c^2 \cdot \frac{ab}{b+c} + b^2 \cdot \frac{ac}{b+c} = a\!\left(d^2 + \frac{a^2 bc}{(b+c)^2}\right)$$整理すると $d^2 = bc\!\left[1 - \left(\dfrac{a}{b+c}\right)^2\right]$ が得られ、先ほどの公式と一致します。
スチュワートの定理で $c^2$ にかかるのは $n = \mathrm{DC}$、$b^2$ にかかるのは $m = \mathrm{BD}$ です。
✕ 誤：$c^2 \cdot \mathrm{BD} + b^2 \cdot \mathrm{DC}$（$\mathrm{B}$ 側の辺に $\mathrm{B}$ 側の長さをかけてしまう）
○ 正：$c^2 \cdot \mathrm{DC} + b^2 \cdot \mathrm{BD}$（たすき掛けになっている）
覚え方：「$\mathrm{AB}^2$ には $\mathrm{D}$ から $\mathrm{C}$ の距離」「$\mathrm{AC}^2$ には $\mathrm{D}$ から $\mathrm{B}$ の距離」── 反対側をかけます。
スチュワートの定理を知っていれば、中線の長さも角の二等分線の長さも、$m$ と $n$ を適切に設定するだけで自動的に導けます。
個別の公式を暗記する必要はなく、「余弦定理を2回使って $\cos\theta$ を消す」という原理1つを理解しておけば十分です。
入試問題で中線や角の二等分線の長さを求める場面に出会ったとき、どの方法を選ぶべきでしょうか。 実は問題の条件によって最適な方法が異なります。
| 条件 | 推奨方法 | 理由 |
|---|---|---|
| 3辺 $a, b, c$ が既知 | 中線定理 or スチュワートの定理 | 直接代入で計算できる |
| $\cos A$ が既知 | 余弦定理2回 | $\cos\frac{A}{2}$ の計算不要 |
| 面積が既知 | 面積分割法 | 計算がシンプル |
| 角度のみ既知 | 正弦定理 + 余弦定理 | まず辺を求めてから |
中線定理や角の二等分線の長さの公式は便利ですが、入試で問われるのは「なぜそうなるか」を説明する力です。
✕ 誤：「中線定理より $m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2}$」と書いて終わり
○ 正：余弦定理を2回適用して $\cos\theta$ を消去する過程を丁寧に記述する
特に「中線定理を証明せよ」という問題は頻出です。公式の結果だけでなく、導出過程を自力で再現できるようにしておきましょう。
Q1. 中線定理 $b^2 + c^2 = 2(m_a^2 + \mathrm{BM}^2)$ の証明で、$\cos\theta$ が消える理由を簡潔に述べてください。
Q2. $\mathrm{AB} = 3$, $\mathrm{BC} = 7$, $\mathrm{CA} = 5$ の $\triangle\mathrm{ABC}$ で、辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ への中線 $\mathrm{AM}$ の長さを求めてください。
Q3. $\triangle\mathrm{ABC}$ で $\angle\mathrm{A}$ の二等分線が $\mathrm{BC}$ と交わる点 $\mathrm{D}$ について、$\mathrm{BD} : \mathrm{DC}$ を $b, c$ で表してください。
Q4. スチュワートの定理で $m = n$（$\mathrm{D}$ が中点）とおくと、どんな公式が得られますか？
Q5. 角の二等分線の長さの公式 $d = \dfrac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$ で、$\cos\dfrac{A}{2}$ を $\cos A$ から求める方法を述べてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$\mathrm{AB} = 9$, $\mathrm{BC} = 8$, $\mathrm{CA} = 7$ の $\triangle\mathrm{ABC}$ において、辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とするとき、$\mathrm{AM}$ の長さを求めよ。
$\mathrm{AM} = \sqrt{34}$
方針：中線定理を直接適用する。
$a = 8$, $b = 7$, $c = 9$ として中線定理
$$c^2 + b^2 = 2\!\left(\mathrm{AM}^2 + \frac{a^2}{4}\right)$$$81 + 49 = 2(\mathrm{AM}^2 + 16)$
$130 = 2\mathrm{AM}^2 + 32$ より $\mathrm{AM}^2 = 49$ ... ではなく、$2\mathrm{AM}^2 = 98$ より $\mathrm{AM}^2 = 49$?
確認：$\mathrm{AM} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{98 + 162 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{196} = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$
計算をやり直します。$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2b^2 + 2c^2 - a^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 81 - 64} = \frac{1}{2}\sqrt{136} = \frac{\sqrt{136}}{2} = \frac{2\sqrt{34}}{2} = \sqrt{34}$
よって $\mathrm{AM} = \sqrt{34}$
$\triangle\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB} = 4$, $\mathrm{AC} = 5$, $\mathrm{BC} = 6$ とする。$\angle\mathrm{A}$ の二等分線が $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とするとき、$\mathrm{BD}$ の長さを求めよ。
$\mathrm{BD} = \dfrac{8}{3}$
方針：角の二等分線の性質から内分比を求める。
$\mathrm{BD} : \mathrm{DC} = \mathrm{AB} : \mathrm{AC} = 4 : 5$
$\mathrm{BC} = 6$ なので $\mathrm{BD} = 6 \times \dfrac{4}{4+5} = \dfrac{24}{9} = \dfrac{8}{3}$
$\triangle\mathrm{ABC}$ で $\mathrm{AB} = 4$, $\mathrm{AC} = 5$, $\mathrm{BC} = 6$ とする。$\angle\mathrm{A}$ の二等分線が $\mathrm{BC}$ と交わる点を $\mathrm{D}$ とするとき、$\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。
$\mathrm{AD} = \dfrac{4\sqrt{14}}{9}$
方針：まず余弦定理で $\cos A$ を求め、次に $\triangle\mathrm{ABD}$ で余弦定理を使って $\mathrm{AD}$ を求める。
$\triangle\mathrm{ABC}$ で余弦定理：$\cos A = \dfrac{16 + 25 - 36}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \dfrac{5}{40} = \dfrac{1}{8}$
$\mathrm{BD} = \dfrac{8}{3}$ は前問で求めた通り。
$\triangle\mathrm{ABD}$ で余弦定理（$\angle\mathrm{BAD} = \dfrac{A}{2}$）：
$\cos\dfrac{A}{2} = \sqrt{\dfrac{1 + \cos A}{2}} = \sqrt{\dfrac{1 + \frac{1}{8}}{2}} = \sqrt{\dfrac{9}{16}} = \dfrac{3}{4}$
$\mathrm{BD}^2 = \mathrm{AB}^2 + \mathrm{AD}^2 - 2 \cdot \mathrm{AB} \cdot \mathrm{AD} \cdot \cos\dfrac{A}{2}$
$\dfrac{64}{9} = 16 + \mathrm{AD}^2 - 2 \cdot 4 \cdot \mathrm{AD} \cdot \dfrac{3}{4} = 16 + \mathrm{AD}^2 - 6\mathrm{AD}$
$\mathrm{AD}^2 - 6\mathrm{AD} + 16 - \dfrac{64}{9} = 0$
$\mathrm{AD}^2 - 6\mathrm{AD} + \dfrac{80}{9} = 0$
$9\mathrm{AD}^2 - 54\mathrm{AD} + 80 = 0$
解の公式：$\mathrm{AD} = \dfrac{54 \pm \sqrt{2916 - 2880}}{18} = \dfrac{54 \pm 6}{18}$
$\mathrm{AD} = \dfrac{60}{18} = \dfrac{10}{3}$ または $\mathrm{AD} = \dfrac{48}{18} = \dfrac{8}{3}$
別解として公式を使うと：$d = \dfrac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c} = \dfrac{2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \frac{3}{4}}{5+4} = \dfrac{30}{9} = \dfrac{10}{3}$
⚠️ 2次方程式の2つの解のうち、正しいのは $\dfrac{10}{3}$。$\mathrm{AD} = \dfrac{10}{3}$
$\triangle\mathrm{ABC}$ において $\mathrm{AB} = 6$, $\mathrm{BC} = 8$, $\mathrm{CA} = 7$ とする。辺 $\mathrm{BC}$ を $1 : 3$ に内分する点を $\mathrm{D}$ とするとき、$\mathrm{AD}$ の長さを求めよ。
$\mathrm{AD} = \dfrac{\sqrt{670}}{4}$
方針：スチュワートの定理を適用する。$\mathrm{BD} = 2$, $\mathrm{DC} = 6$。
$c^2 n + b^2 m = a(d^2 + mn)$ に $c = 6$, $b = 7$, $a = 8$, $m = 2$, $n = 6$ を代入：
$36 \cdot 6 + 49 \cdot 2 = 8(d^2 + 12)$
$216 + 98 = 8d^2 + 96$
$314 = 8d^2 + 96$ より $8d^2 = 218$ より $d^2 = \dfrac{218}{8} = \dfrac{109}{4}$
$\mathrm{AD} = \dfrac{\sqrt{109}}{2}$
検算（余弦定理2回で確認）：$\cos B = \dfrac{36 + 64 - 49}{2 \cdot 6 \cdot 8} = \dfrac{51}{96} = \dfrac{17}{32}$
$\triangle\mathrm{ABD}$ で：$\mathrm{AD}^2 = 36 + 4 - 2 \cdot 6 \cdot 2 \cdot \dfrac{17}{32} = 40 - \dfrac{51}{4} = \dfrac{109}{4}$ ✓
よって $\mathrm{AD} = \dfrac{\sqrt{109}}{2}$