三角形には、必ず外接円と内接円が1つずつ存在します。
外接円の半径 $R$ は正弦定理から、内接円の半径 $r$ は面積の公式 $S = rs$ から求まります。
この2つの公式の「なぜ」を理解すれば、円と三角形の融合問題を自在に解けるようになります。
三角形の3つの頂点を通る円を外接円といいます。 どんな三角形にも、外接円はただ1つ存在します。 外接円の中心（外心）は、各辺の垂直二等分線の交点です。
外接円の半径 $R$ を求めるための道具は、4-2で学んだ正弦定理です。 $\triangle ABC$ において、$a = BC$、$b = CA$、$c = AB$ とすると、
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$この等式の右辺が $2R$（外接円の直径）であるところが、外接円と三角形をつなぐ鍵です。 つまり、辺の長さと対角の正弦の比は、すべて外接円の直径に等しいのです。
正弦定理 $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ は、実は円周角の定理を三角比の言葉で書き直したものです。
外接円の直径を $BC$ に対する弦の一端 $B$ から引くと、その端点を $B'$ とすると $BB' = 2R$。 円周角の定理から $\angle B'CB = 90^\circ$（直径に対する円周角は直角）かつ $\angle B'BC = \angle A$（同じ弧に対する円周角）。
直角三角形 $B'BC$ で $\sin A = \sin(\angle B'BC) = \dfrac{BC}{BB'} = \dfrac{a}{2R}$。 移項すると $a = 2R \sin A$、すなわち $\dfrac{a}{\sin A} = 2R$。
正弦定理は暗記する公式ではなく、円周角の定理から自然に導けるのです。
$\triangle ABC$ の外接円の半径を $R$ とすると
$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{b}{2\sin B} = \frac{c}{2\sin C}$$$\triangle ABC$ で $a = 3\sqrt{2}$、$A = 45^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めてみましょう。
正弦定理より $2R = \dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \dfrac{3\sqrt{2}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}} = \dfrac{3\sqrt{2} \times 2}{\sqrt{2}} = 6$。 よって $R = 3$。
✕ 誤：$R = \dfrac{a}{\sin A}$（$2R$ ではなく $R$ だと勘違い）
○ 正：$\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ なので、$R = \dfrac{a}{2\sin A}$
正弦定理の右辺は「直径 $2R$」です。$R$ を求めるときは必ず2で割ることを忘れないでください。 逆に、辺の長さを求めるときは $a = 2R\sin A$ と「2倍」します。
平面上の三角形には外接円がありますが、球面上の三角形にも同様の関係が成り立ちます。 大学の球面三角法では、球面上の「辺」は大円（球の切り口の最大の円）の弧であり、 正弦定理は $\dfrac{\sin a}{\sin A} = \dfrac{\sin b}{\sin B} = \dfrac{\sin c}{\sin C}$ という形に一般化されます。
この球面上の正弦定理は、天文学での天体の位置計算や、航海術での最短経路（大圏航路）の計算に使われています。 平面の正弦定理は、球面の半径を無限大にした極限として得られます。
三角形の3辺すべてに接する円を内接円といいます。 どんな三角形にも、内接円はただ1つ存在します。 内接円の中心（内心）は、各角の二等分線の交点です。
外接円の半径 $R$ が正弦定理で求まるのに対して、内接円の半径 $r$ は三角形の面積を使って求めます。 ここに、美しいほどシンプルな公式があります。
内接円の半径 $r$ の公式は、「三角形を内心と各頂点を結ぶ線分で3つの小三角形に分割する」という たった1つのアイデアから導かれます。
$\triangle ABC$ の内心を $I$ とすると、$\triangle ABC = \triangle IBC + \triangle ICA + \triangle IAB$。
各小三角形の底辺は元の三角形の辺（$a$, $b$, $c$）で、高さはすべて内接円の半径 $r$ です。 なぜなら、内心から各辺への距離は内接円の半径そのものだからです。
この「分割して足す」発想を理解すれば、公式は暗記不要です。
$\triangle ABC$ の内心を $I$、内接円の半径を $r$ とします。
Step 1：$I$ と各頂点を結んで、$\triangle ABC$ を3つの小三角形に分割します。
$\triangle ABC = \triangle IBC + \triangle ICA + \triangle IAB$
Step 2：各小三角形の面積を求めます。内心 $I$ から各辺への距離はすべて $r$（内接円の半径）なので、
$\triangle IBC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot r$、$\triangle ICA = \dfrac{1}{2} \cdot b \cdot r$、$\triangle IAB = \dfrac{1}{2} \cdot c \cdot r$
Step 3：3つを足します。
$$S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}r(a + b + c)$$ここで $s = \dfrac{a + b + c}{2}$（半周長）とおくと $a + b + c = 2s$ なので、
$$S = \frac{1}{2}r \cdot 2s = rs$$したがって $S = rs$、すなわち $r = \dfrac{S}{s}$ が得られます。
$\triangle ABC$ の面積を $S$、3辺の長さを $a$, $b$, $c$、半周長を $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ とすると
$$S = rs \quad \Longleftrightarrow \quad r = \frac{S}{s} = \frac{2S}{a+b+c}$$✕ 誤：$S = r(a + b + c)$ と書いて $r = \dfrac{S}{a+b+c}$ と計算
○ 正：$S = rs$ で $s = \dfrac{a+b+c}{2}$ なので、$r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{2S}{a+b+c}$
$s$ は周長の半分（半周長）です。$S = rs$ を $r = \dfrac{S}{a+b+c}$ と計算すると、 答えが2倍になってしまいます。$S = \dfrac{1}{2}r(a+b+c)$ と覚えるか、 $s$ の定義を確認する習慣をつけましょう。
三角形の「内心から辺への距離 = $r$」で面積を分割したのと同じ発想は、 四面体の内接球にも適用できます。
四面体の内接球の半径を $r$、4つの面の面積の和を $S_{\text{total}}$ とすると、 四面体の体積 $V$ は $V = \dfrac{1}{3} r \cdot S_{\text{total}}$ と表せます。 これは「四面体を内接球の中心から4つの三角錐に分割する」ことで導かれ、 2次元の $S = rs$ の3次元版です。
一般に $n$ 次元単体では $V_n = \dfrac{1}{n} r \cdot S_{n-1}$ という関係が成り立ちます。 次元を上げても同じ原理が貫かれているのです。
$r = \dfrac{S}{s}$ を使うには、面積 $S$ と3辺の長さが必要です。 ここでは、与えられた条件から $S$ と $s$ を求めるステップを整理します。
$\triangle ABC$ で $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$ のとき、内接円の半径 $r$ を求めてみましょう。
Step 1：半周長を計算。
$s = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{4 + 5 + 6}{2} = \dfrac{15}{2}$
Step 2：面積 $S$ を求める。まず余弦定理で $\cos A$ を求めます。
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{25 + 36 - 16}{2 \cdot 5 \cdot 6} = \dfrac{45}{60} = \dfrac{3}{4}$
$\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{16}} = \sqrt{\dfrac{7}{16}} = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4} = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$
Step 3：$r = \dfrac{S}{s}$ に代入。
$$r = \frac{S}{s} = \frac{\dfrac{15\sqrt{7}}{4}}{\dfrac{15}{2}} = \frac{15\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$$r$ を求める手順の核心は、三角形の面積を2通りの方法で表すことです。
方法1：辺と角から直接計算 → $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$
方法2：内接円の半径を使って表す → $S = rs$
この2つを等号で結ぶと $rs = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ となり、$r$ が求まります。
「面積を2通りで表して等式をつくる」は、数学の至るところで使われる基本テクニックです。
3辺の長さだけが与えられているとき、余弦定理を経由せずに面積を求める方法もあります。 それがヘロンの公式です。
$$S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$先ほどの例で確認しましょう。$s = \dfrac{15}{2}$ なので、
$s - a = \dfrac{15}{2} - 4 = \dfrac{7}{2}$、$s - b = \dfrac{15}{2} - 5 = \dfrac{5}{2}$、$s - c = \dfrac{15}{2} - 6 = \dfrac{3}{2}$
$$S = \sqrt{\frac{15}{2} \cdot \frac{7}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{15 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 3}{16}} = \sqrt{\frac{1575}{16}} = \frac{15\sqrt{7}}{4}$$先ほどと同じ結果になりました。ヘロンの公式を使えば $\cos A$ や $\sin A$ を経由する必要がなく、 3辺の長さから直接面積が求まります。
内接円の半径を求める問題で、面積 $S$ の求め方を知らないと手が止まります。 条件に応じて使い分けるべき面積の公式を整理しておきましょう。
○ 公式の使い分け：
・2辺とその間の角が既知 → $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$
・3辺が既知 → ヘロンの公式、または余弦定理で角を求めてから面積
・底辺と高さが既知 → $S = \dfrac{1}{2} \times \text{底辺} \times \text{高さ}$
どの条件が与えられているかを確認してから、面積の公式を選ぶことが大切です。
| 項目 | 外接円の半径 $R$ | 内接円の半径 $r$ |
|---|---|---|
| 定義 | 3頂点を通る円の半径 | 3辺に接する円の半径 |
| 中心 | 外心（垂直二等分線の交点） | 内心（角の二等分線の交点） |
| 求め方 | 正弦定理 $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ | 面積公式 $r = \dfrac{S}{s}$ |
| 必要な情報 | 1辺とその対角 | 面積と3辺の長さ |
✕ 誤：「内接円の半径を正弦定理で求めよう」
○ 正：正弦定理で求まるのは外接円の半径 $R$です。内接円の半径 $r$ は $r = \dfrac{S}{s}$ で求めます。
覚え方：外接円 → 正弦定理（$\sin$）、内接円 → 面積（$S$）。使う道具がまったく異なります。
ここまでに学んだ外接円・内接円の公式を組み合わせて解く問題を見ていきましょう。 入試では「正弦定理・余弦定理・面積公式・$S = rs$」を融合した問題がよく出題されます。
融合問題では、複数の公式をどの順番で使うかが問われます。解法を選ぶポイントは1つ。
「今わかっていること」と「求めたいもの」を整理し、それらを結ぶ公式を選ぶ。
具体的な判断フロー：
1. 辺と対角のペアがある → 正弦定理（$R$ も求まる）
2. 3辺、または2辺と間の角がある → 余弦定理
3. 面積を求めたい、または面積が絡む → $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ や $S = rs$
4. 内接円の半径 $r$ が絡む → $S = rs$ を利用
$\triangle ABC$ で $a = 4$, $b = 5$, $c = 6$ のとき、外接円の半径 $R$ と内接円の半径 $r$ を求めます。
Section 3で $\cos A = \dfrac{3}{4}$、$\sin A = \dfrac{\sqrt{7}}{4}$、$S = \dfrac{15\sqrt{7}}{4}$ を求めました。
外接円の半径 $R$：正弦定理より
$$R = \frac{a}{2\sin A} = \frac{4}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{4}{\dfrac{\sqrt{7}}{2}} = \frac{8}{\sqrt{7}} = \frac{8\sqrt{7}}{7}$$内接円の半径 $r$：$s = \dfrac{15}{2}$ より
$$r = \frac{S}{s} = \frac{\dfrac{15\sqrt{7}}{4}}{\dfrac{15}{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$$このように、3辺が与えられれば、余弦定理 → $\sin A$ → 面積 $S$ → $R$ と $r$ という流れで、 外接円・内接円の半径がどちらも求まります。
$\triangle ABC$ の面積 $S$ は、外接円の半径 $R$ を使って次のようにも表せます。
$$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{2R} = \frac{abc}{4R}$$これと $S = rs$ を組み合わせると、
$$rs = \frac{abc}{4R} \quad \Longleftrightarrow \quad r = \frac{abc}{4Rs}$$この関係式は、$R$ と $r$ を直接結びつけるものです。入試では直接使うことは少ないですが、 「面積を2つの公式で表して等式をつくる」テクニックの好例です。
$S = \dfrac{abc}{4R}$ は便利な公式ですが、これを単独で暗記するのは危険です。
○ 正しい理解：$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ に $\sin A = \dfrac{a}{2R}$（正弦定理）を代入しただけ。
「$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$」と「正弦定理」を理解していれば、いつでも導けます。 公式の数を増やすのではなく、少数の基本公式から導く力を身につけましょう。
外心と内心の距離 $d$ について、オイラーの公式と呼ばれる美しい関係式が成り立ちます。
$$d^2 = R^2 - 2Rr = R(R - 2r)$$
$d^2 \geq 0$ より $R \geq 2r$ が導かれます。これはオイラーの不等式と呼ばれ、 等号 $R = 2r$ は正三角形のときにのみ成り立ちます。
つまり、すべての三角形で外接円の半径は内接円の半径の2倍以上であり、 正三角形がこの意味で「最もバランスの良い」三角形なのです。 この結果は大学の幾何学（初等幾何やユークリッド幾何の深い定理）で証明されます。
ここまでの内容を、他の記事とのつながりを含めて整理しましょう。 内接円・外接円は「図形と計量」の総まとめ的な位置づけにあり、 正弦定理・余弦定理・面積公式のすべてを統合して使います。
| 求めたいもの | 使う公式 | 必要な前提知識 |
|---|---|---|
| 外接円の半径 $R$ | 正弦定理 $R = \dfrac{a}{2\sin A}$ | 三角比の定義、円周角の定理 |
| 内接円の半径 $r$ | $r = \dfrac{S}{s}$ | 面積公式（$\dfrac{1}{2}bc\sin A$ など） |
| 面積 $S$（2辺+間角） | $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A$ | 三角比の定義 |
| 面積 $S$（3辺） | ヘロンの公式 | 余弦定理の応用 |
| 辺の長さ | 余弦定理・正弦定理 | 三角比の定義 |
Q1. $\triangle ABC$ で $a = 6$、$A = 30^\circ$ のとき、外接円の半径 $R$ を求めてください。
Q2. 内接円の半径 $r$ を求める公式 $S = rs$ の $s$ は何を表しますか？
Q3. $\triangle ABC$ で $a = 3$, $b = 4$, $c = 5$ のとき、内接円の半径 $r$ を求めてください。
Q4. 外接円の半径を求めるときに使う定理と、内接円の半径を求めるときに使う公式をそれぞれ答えてください。
Q5. $S = rs$ の導出で使う「アイデア」を一言で述べてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
$\triangle ABC$ において、$b = 3$、$B = 60^\circ$、$C = 45^\circ$ のとき、辺 $c$ の長さと外接円の半径 $R$ を求めよ。
$c = \sqrt{6}$、$R = \sqrt{3}$
方針：2角と1辺が与えられているので正弦定理を利用。
正弦定理より $\dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$
$\dfrac{3}{\sin 60^\circ} = \dfrac{3}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$
よって $2R = 2\sqrt{3}$ から $R = \sqrt{3}$。
$c = 2R\sin C = 2\sqrt{3} \cdot \sin 45^\circ = 2\sqrt{3} \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{6}$
$\triangle ABC$ において、$a = 7$, $b = 8$, $c = 9$ とする。
(1) $\cos A$ の値を求めよ。
(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$ を求めよ。
(3) 内接円の半径 $r$ を求めよ。
(1) $\cos A = \dfrac{2}{3}$ (2) $S = 12\sqrt{5}$ (3) $r = \sqrt{5}$
方針：3辺が与えられているので、余弦定理 → 面積 → $r = \dfrac{S}{s}$ の流れ。
(1) 余弦定理より $\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{64 + 81 - 49}{2 \cdot 8 \cdot 9} = \dfrac{96}{144} = \dfrac{2}{3}$
(2) $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{4}{9}} = \sqrt{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{\sqrt{5}}{3}$
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 8 \cdot 9 \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{3} = \dfrac{72\sqrt{5}}{6} = 12\sqrt{5}$
(3) $s = \dfrac{7 + 8 + 9}{2} = 12$
$r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{12\sqrt{5}}{12} = \sqrt{5}$
$\triangle ABC$ において、$a = 7$, $A = 60^\circ$, $b = 3$ とする。
(1) 外接円の半径 $R$ を求めよ。
(2) 辺 $c$ の長さを求めよ。
(3) $\triangle ABC$ の面積 $S$ と内接円の半径 $r$ を求めよ。
(1) $R = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$ (2) $c = 5$ (3) $S = \dfrac{15\sqrt{3}}{4}$、$r = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
方針：$a$ と $A$ のペアがあるので正弦定理で $R$。$b$ も既知なので余弦定理で $c$。面積 → $r$。
(1) 正弦定理より
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{7}{2\sin 60^\circ} = \dfrac{7}{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}} = \dfrac{7}{\sqrt{3}} = \dfrac{7\sqrt{3}}{3}$
(2) 余弦定理 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$ より
$49 = 9 + c^2 - 2 \cdot 3 \cdot c \cdot \dfrac{1}{2} = 9 + c^2 - 3c$
$c^2 - 3c - 40 = 0$、$(c - 8)(c + 5) = 0$。$c > 0$ より $c = 8$。
検算：$3^2 + 8^2 - 2 \cdot 3 \cdot 8 \cdot \dfrac{1}{2} = 9 + 64 - 24 = 49 = 7^2$ ✓
(3) $S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 3 \cdot 8 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$
$s = \dfrac{a + b + c}{2} = \dfrac{7 + 3 + 8}{2} = 9$
$r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{6\sqrt{3}}{9} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3}$
$\triangle ABC$ において、$a = 13$, $b = 14$, $c = 15$ とする。次の値を求めよ。
(1) $\cos A$ の値
(2) $\triangle ABC$ の面積 $S$
(3) 外接円の半径 $R$
(4) 内接円の半径 $r$
(1) $\cos A = \dfrac{3}{5}$ (2) $S = 84$ (3) $R = \dfrac{65}{8}$ (4) $r = 4$
方針：3辺が与えられた典型問題。余弦定理 → $\sin$ → 面積 → $R$, $r$ の順。
(1) 余弦定理より
$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \dfrac{196 + 225 - 169}{2 \cdot 14 \cdot 15} = \dfrac{252}{420} = \dfrac{3}{5}$
(2) $\sin A = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \sqrt{\dfrac{16}{25}} = \dfrac{4}{5}$
$S = \dfrac{1}{2}bc\sin A = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 15 \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{1}{2} \cdot 14 \cdot 12 = 84$
(3) 正弦定理より
$R = \dfrac{a}{2\sin A} = \dfrac{13}{2 \cdot \dfrac{4}{5}} = \dfrac{13}{\dfrac{8}{5}} = \dfrac{13 \times 5}{8} = \dfrac{65}{8}$
(4) $s = \dfrac{13 + 14 + 15}{2} = 21$
$r = \dfrac{S}{s} = \dfrac{84}{21} = 4$
⚠️ 検算：$S = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{13 \cdot 14 \cdot 15}{4 \cdot \dfrac{65}{8}} = \dfrac{2730}{\dfrac{260}{8}} = \dfrac{2730 \times 8}{260} = \dfrac{21840}{260} = 84$ ✓