絶対値は「負の部分を正に折り返す」操作です。
2次関数に絶対値が加わると、放物線が折り返されて新しい形のグラフが生まれます。
折り返しの原理を理解すれば、複雑に見える問題もすべて同じ発想で解けます。
まず、絶対値の定義を確認しましょう。 $|A|$ は「$A$ が $0$ 以上ならそのまま、$A$ が負なら符号を反転させる」操作です。 つまり $|A| \geq 0$ が常に成り立ちます。
これをグラフに適用するとどうなるでしょうか。 $y = f(x)$ のグラフにおいて、$f(x) \geq 0$ となる部分はそのままで、 $f(x) < 0$ となる部分（$x$ 軸の下側にある部分）は $x$ 軸に関して対称に折り返されます。 なぜなら、$f(x) < 0$ のとき $|f(x)| = -f(x) > 0$ となり、$y$ 座標の符号が反転するからです。
$y = |f(x)|$ のグラフを描く手順は2ステップだけです。
Step 1：まず $y = f(x)$ のグラフを描く。
Step 2：$x$ 軸より下にある部分（$y < 0$ の部分）を、$x$ 軸に関して上側に折り返す。$x$ 軸より上の部分はそのまま。
この操作の結果、$y = |f(x)|$ のグラフは常に $y \geq 0$（$x$ 軸の上側）にあります。 「絶対値をとる ＝ 負の出力を正に変換する ＝ グラフの下側を上に折り返す」── すべて同じことを言い換えているだけです。
まず $f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$ のグラフを考えます。 これは $x = 1, 3$ で $x$ 軸と交わり、$1 < x < 3$ の範囲で $f(x) < 0$ です。 頂点は $x = 2$ で $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ です。
$y = |f(x)|$ のグラフでは、$1 < x < 3$ の範囲にある放物線の下側が $x$ 軸に関して上に折り返されます。 頂点だった $(2, -1)$ は $(2, 1)$ に移ります。 $x \leq 1$ と $x \geq 3$ の部分はもともと $f(x) \geq 0$ なのでそのままです。
結果として、$x = 1$ と $x = 3$ の点でグラフが尖った折れ点になります。 もとの放物線は滑らかな曲線ですが、折り返しによって $x$ 軸との交点が「角」になるのが特徴です。
✕ 誤：$y = |x^2 - 4x + 3|$ のグラフを $x = 1, 3$ で滑らかなカーブとして描く
○ 正：$x = 1, 3$ では、もとのグラフが $x$ 軸を通過していたので、折り返し後はV字型の尖った折れ点になる
もとの $y = f(x)$ が $x$ 軸と交わる点では、折り返しによって必ず尖りが生まれます。 逆に、$f(x) = 0$ でない点（$x$ 軸の上にある部分）は元のグラフと同じ滑らかさを保ちます。
手順：
1. $y = f(x)$ のグラフを描く
2. $y \geq 0$ の部分はそのまま残す
3. $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して対称に折り返す（$y$ 座標の符号を反転）
$y = |ax^2 + bx + c|$ のグラフの形状は、もとの放物線 $y = ax^2 + bx + c$ と $x$ 軸の位置関係（つまり判別式 $D$ の符号）で決まります。
$a > 0$ の場合を考えましょう。
なお、$a < 0$（上に凸）で $D > 0$ のときは、2つの $x$ 切片の外側で $f(x) < 0$ になるため、 外側が折り返されてM字型のグラフになります。「下に凸か上に凸か」で折り返される部分が変わる点に注意しましょう。
数学IIIで学ぶ微分可能性の概念を使うと、折れ点の正体がより明確になります。 $y = |f(x)|$ のグラフで $f(a) = 0$ かつ $f'(a) \neq 0$ である点 $x = a$ では、 左側と右側で接線の傾きが不連続に変わるため、微分不可能（尖っている）になります。
一方、$f(a) = 0$ かつ $f'(a) = 0$ の点（重根）では、グラフは $x$ 軸に接しており、 折り返しても滑らかなままです。 この「折れるか滑らかか」の違いは、もとの関数が $x$ 軸を「横切る」か「接する」かで決まります。
次に、絶対値が $x$ の中に入っている $y = f(|x|)$ の形を考えます。 これは Section 1 とは全く異なる操作です。
$|x|$ は「$x \geq 0$ なら $x$ そのまま、$x < 0$ なら $-x$（正に変換）」です。 つまり $f(|x|)$ を計算するとき、$x$ が正でも負でも、$f$ に入力される値は $|x| \geq 0$ です。 したがって $f(|x|) = f(|-x|)$、すなわち$y = f(|x|)$ は常に $y$ 軸に関して対称です。
$y = f(|x|)$ のグラフを描く手順も2ステップです。
Step 1：$y = f(x)$ のグラフのうち $x \geq 0$ の部分だけを描く。
Step 2：その $x \geq 0$ の部分を $y$ 軸に関して左側に折り返す（鏡像を描く）。
なぜこの手順で正しいのか？ $x \geq 0$ のとき $|x| = x$ なので $f(|x|) = f(x)$（もとのグラフと同じ）。 $x < 0$ のとき $|x| = -x > 0$ なので、$f(|x|) = f(-x)$。 これは $x \geq 0$ 側の値が左右反転して現れるということです。
$t = |x|$ とおくと $y = t^2 - 2t - 3 = (t - 1)^2 - 4$ です（$t \geq 0$）。
まず $x \geq 0$ の部分を考えます。$|x| = x$ なので $y = x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 4$ です。 これは頂点 $(1, -4)$、$x$ 切片 $x = -1, 3$ の放物線です。 ただし $x \geq 0$ の部分だけを描くので、$x = 3$ の $x$ 切片と頂点 $(1, -4)$ が見えます （$x = -1$ は $x < 0$ なので使いません）。$x = 0$ のとき $y = -3$ です。
次に、この $x \geq 0$ 部分を $y$ 軸に関して左に折り返します。 結果として、頂点が $(1, -4)$ と $(-1, -4)$ の2つ、$x$ 切片が $x = 3$ と $x = -3$ の $y$ 軸対称なグラフが得られます。
この2つは全く異なる操作です。混同すると答えが根本的に間違います。
✕ 誤：$y = |f(x)|$ と $y = f(|x|)$ を「どちらも絶対値だから同じようなもの」と考える
○ 正：
・$y = |f(x)|$：$f(x)$ の出力（$y$ の値）に絶対値 → $x$ 軸で折り返し（下を上に）
・$y = f(|x|)$：$f$ への入力（$x$ の値）に絶対値 → $y$ 軸で折り返し（右を左にコピー）
「出力に絶対値 → $x$ 軸」「入力に絶対値 → $y$ 軸」と覚えましょう。
手順：
1. $y = f(x)$ のグラフの $x \geq 0$ の部分を描く
2. その部分を $y$ 軸に関して対称に折り返す（左側にコピー）
結果：$y$ 軸に関して対称なグラフができる
$f(-x) = f(x)$ を満たす関数を偶関数と呼びます。 偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称です。
$y = f(|x|)$ は、どんな関数 $f$ に対しても自動的に偶関数になります。 なぜなら $f(|-x|) = f(|x|)$ が常に成り立つからです。 つまり「$|x|$ を代入する」という操作は、「任意の関数から偶関数を作り出す」操作と言えます。
大学のフーリエ解析では、関数を偶関数部分と奇関数部分に分解します。 $f(|x|)$ はこの偶関数化の一例であり、信号処理や物理学で重要な役割を果たします。
絶対値を含む方程式や不等式は、グラフの位置関係で考えるのが最も見通しがよい方法です。 Section 1, 2 で学んだグラフの描き方が、ここで直接役立ちます。
たとえば $|x^2 - 2x - 3| = k$（$k$ は定数）を解くことを考えましょう。 これは $y = |x^2 - 2x - 3|$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の $x$ 座標を求めることと同じです。
$f(x) = x^2 - 2x - 3 = (x+1)(x-3)$ のグラフは、$x = -1, 3$ で $x$ 軸と交わり、 $-1 < x < 3$ で $f(x) < 0$ です。頂点は $(1, -4)$ です。 $y = |f(x)|$ のグラフでは、この $-1 < x < 3$ の部分が上に折り返されて頂点が $(1, 4)$ になります。
直線 $y = k$ との共有点の個数を調べると：
$|f(x)| = g(x)$ は「$y = |f(x)|$ と $y = g(x)$ の交点」。
$|f(x)| > g(x)$ は「$y = |f(x)|$ が $y = g(x)$ より上にある範囲」。
$|f(x)| < g(x)$ は「$y = |f(x)|$ が $y = g(x)$ より下にある範囲」。
グラフを正確に描ければ、交点の座標を求めて上下関係を読み取るだけです。 場合分けで式を処理するのと本質的に同じですが、グラフを使えば全体像が見えるので間違いにくくなります。
グラフが描けない場合や、正確な値を代数的に求めたいときは、 絶対値の定義に戻って場合分けをします。
$|f(x)| = g(x)$ は次の2つの場合に分けられます。
$f(x) = x^2 - 2x$ とおく。
Case 1：$x^2 - 2x \geq 0$（$x \leq 0$ または $x \geq 2$）のとき
$x^2 - 2x = x$ より $x^2 - 3x = 0$、$x(x - 3) = 0$。よって $x = 0, 3$。
$x = 0$ は $x \leq 0$ を満たす。$x = 3$ は $x \geq 2$ を満たす。どちらも適する。
Case 2：$x^2 - 2x < 0$（$0 < x < 2$）のとき
$-(x^2 - 2x) = x$ より $-x^2 + 2x = x$、$-x^2 + x = 0$、$x(-x + 1) = 0$。よって $x = 0, 1$。
$x = 0$ は $0 < x < 2$ を満たさない。$x = 1$ は満たす。
結論：$x = 0, 1, 3$
✕ 誤：$|f(x)| = g(x)$ から $f(x) = g(x)$ と $-f(x) = g(x)$ を解き、出てきた解をすべて答えにする
○ 正：各 Case で得られた解が、その Case の条件を満たすかどうかを必ず確認する。 条件を満たさない解は「偽の解」であり、棄却しなければなりません。
これは2次方程式の文章題で「$x > 0$」の条件を確認するのと同じ発想です。 場合分けの条件は、解の存在範囲を限定しています。
絶対値を含む2次関数の最大・最小は、グラフの折り返しを踏まえて考えます。 2-2 で学んだ「候補点を比較する」方法と、絶対値によるグラフの変形を組み合わせるのがポイントです。
$|f(x)| \geq 0$ が常に成り立つので、$y = |f(x)|$ の最小値は $0$ 以上です。 もし $f(a) = 0$ となる $a$ が存在すれば、$|f(a)| = 0$ なので最小値は $0$です。
つまり、$y = |ax^2 + bx + c|$ の最小値は：
$|f(x)|$ の最小値を求める問題は、結局「$f(x) = 0$ が実数解をもつか」という問題に帰着します。
実数解をもつなら（$D \geq 0$）、最小値は $0$。もたないなら（$D < 0$）、最小値は頂点の $y$ 座標の絶対値。
定義域が制限されている場合は、$f(x) = 0$ の解がその定義域に含まれるかも確認が必要です。
定義域 $[\alpha, \beta]$ が指定されている場合、$y = |f(x)|$ の最大・最小は グラフを描いて候補点を比較します。候補となるのは：
これらの候補点で $|f(x)|$ の値を計算し、最大・最小を決定します。 特に最大値は、もとの放物線の頂点（折り返し後に「山」になる点）で得られることがあるので注意が必要です。
たとえば $y = |x^2 - 4x + 3|$ の $0 \leq x \leq 5$ における最大値と最小値を求めてみましょう。 $f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = (x-2)^2 - 1$ です。 頂点 $(2, -1)$、$x$ 切片 $x = 1, 3$。$1 < x < 3$ で $f(x) < 0$。
候補点での値を計算します。 $x = 0$（左端）：$|f(0)| = 3$、 $x = 1$（根）：$|f(1)| = 0$、 $x = 2$（折り返し後の頂点）：$|f(2)| = 1$、 $x = 3$（根）：$|f(3)| = 0$、 $x = 5$（右端）：$|f(5)| = 8$。 よって最小値 $0$（$x = 1, 3$）、最大値 $8$（$x = 5$）です。
$y = |f(x)|$ では、もとのグラフの頂点が $x$ 軸の下にあった場合、折り返しによって「山」（極大値）になります。
✕ 誤：端点だけ比較して最大値を求める
○ 正：折り返し後の「山」の高さ（$=$もとの頂点の $|y|$）も最大値の候補に含める。 特に定義域が狭い場合、この「山」が最大値になることがあります。
ここまで学んだ内容を整理し、全体像を見渡しましょう。 絶対値と2次関数の問題は、すべて「折り返し」の操作に帰着します。
| パターン | 操作の内容 | 解法のポイント |
|---|---|---|
| $y = |f(x)|$ | $x$ 軸の下を上に折り返す | $f(x) = 0$ の根で折れ点。$y \geq 0$ |
| $y = f(|x|)$ | $x \geq 0$ 部分を $y$ 軸で折り返す | $y$ 軸対称。$x \geq 0$ だけ計算すればよい |
| $|f(x)| = g(x)$ | グラフの交点を求める | グラフで全体像を把握し、場合分けで計算 |
| $|f(x)| \leq g(x)$ | グラフの上下関係を読む | $|f(x)|$ が $g(x)$ より下にある範囲 |
| 最大・最小 | 折り返し後のグラフで候補点比較 | 端点、頂点、$f = 0$ の根すべてが候補 |
すべてのパターンに共通する根本原理は、「絶対値は負の部分を正に変換する操作であり、グラフ上では折り返しとして現れる」ということです。 $|f(x)|$ は出力（$y$）を折り返し、$f(|x|)$ は入力（$x$）を折り返す。 この区別さえ明確にしておけば、どんな問題にも対応できます。
Q1. $y = |x^2 - 4|$ のグラフを描くとき、折れ点は $x$ のどの値で生じますか？
Q2. $y = |f(x)|$ と $y = f(|x|)$ の違いを、「どの軸で折り返すか」で説明してください。
Q3. $|x^2 - 2x - 3| = k$ が4つの実数解をもつための $k$ の範囲を求めてください。
Q4. $y = |x^2 + 2x - 8|$ の最小値を求めてください（定義域は全実数）。
Q5. $y = |x|^2 - 4|x| + 3$ のグラフはどのような対称性をもちますか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
関数 $y = |x^2 - 6x + 5|$ のグラフの概形を描き、$x$ 軸との共有点の座標をすべて求めよ。
$x$ 軸との共有点：$(1, 0)$, $(5, 0)$
方針：まず $f(x) = x^2 - 6x + 5$ のグラフを描き、$x$ 軸の下を折り返す。
$f(x) = (x-1)(x-5) = (x-3)^2 - 4$。頂点 $(3, -4)$、$x$ 切片 $x = 1, 5$。
$1 < x < 5$ で $f(x) < 0$ なので、この部分を $x$ 軸に関して上に折り返す。
折り返し後の頂点は $(3, 4)$。$x = 1, 5$ で折れ点。
$y = |f(x)|$ が $0$ になるのは $f(x) = 0$ のとき、すなわち $x = 1, 5$。
よって $x$ 軸との共有点は $(1, 0)$ と $(5, 0)$。
関数 $y = |x|^2 - 2|x| - 3$ の最小値を求めよ。
最小値 $-4$（$x = \pm 1$ のとき）
方針：$t = |x| \geq 0$ とおき換えて、$t$ の2次関数の最小値を求める。
$y = t^2 - 2t - 3 = (t - 1)^2 - 4$（$t \geq 0$）
頂点は $t = 1$ で $y = -4$。$t = 1 \geq 0$ なので定義域内。
よって最小値は $-4$。$t = |x| = 1$ より $x = \pm 1$ のとき。
※ おき換え後の定義域 $t \geq 0$ を忘れないこと。今回は頂点 $t = 1$ が定義域内なので、そのまま最小値になる。
$k$ を正の定数とする。方程式 $|x^2 - 4x + 3| = k$ の異なる実数解の個数を、$k$ の値によって場合分けして求めよ。
$0 < k < 1$ のとき：4個
$k = 1$ のとき：3個
$k > 1$ のとき：2個
方針：$y = |x^2 - 4x + 3|$ のグラフと直線 $y = k$ の共有点の個数を調べる。
$f(x) = x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3) = (x-2)^2 - 1$
頂点 $(2, -1)$、$x$ 切片 $x = 1, 3$。$1 < x < 3$ で $f(x) < 0$。
折り返し後、$(2, -1)$ は $(2, 1)$ に移る。$x = 1, 3$ が折れ点。
$y = |f(x)|$ のグラフは、$x \leq 1$ と $x \geq 3$ ではもとの放物線（上向き）、$1 \leq x \leq 3$ では折り返されて上向きの放物線（頂点 $(2, 1)$）。
直線 $y = k$（$k > 0$）との交点数：
・$0 < k < 1$：折り返し部分で2点、外側で2点の計 4個
・$k = 1$：折り返し部分の頂点 $(2, 1)$ で接するため1点、外側で2点の計 3個
・$k > 1$：折り返し部分とは交わらず、外側で2点の計 2個
関数 $y = |x^2 - 2ax|$（$a > 0$）の $0 \leq x \leq 3$ における最大値 $M(a)$ を求めよ。
$$M(a) = \begin{cases} 9 - 6a & (0 < a \leq 1) \\ a^2 & (1 < a \leq 3) \\ 9 - 6a & (a > 3,\ \text{ただし}\ |9-6a| = 6a-9) \end{cases}$$
整理すると：
$$M(a) = \begin{cases} 9 - 6a & (0 < a \leq 1) \\ a^2 & (1 \leq a \leq 3) \\ 6a - 9 & (a > 3) \end{cases}$$
方針：$f(x) = x^2 - 2ax = x(x - 2a)$ として $y = |f(x)|$ のグラフを描き、$[0, 3]$ での最大値を調べる。
$f(x) = (x - a)^2 - a^2$。頂点 $(a, -a^2)$、$x$ 切片 $x = 0, 2a$。
(i) $0 < a \leq 1$（$2a \leq 2 \leq 3$）のとき：
$0 \leq x \leq 2a$ で $f(x) \leq 0$（折り返し対象）。折り返し後の頂点の高さは $a^2$。
右端 $x = 3$ での値：$|f(3)| = |9 - 6a| = 9 - 6a$（$a \leq 1$ より $9 - 6a \geq 3$）。
$a^2 \leq 1 \leq 3 \leq 9 - 6a$ なので最大値は $9 - 6a$。
(ii) $1 < a \leq 3$（$2 < 2a \leq 6$）のとき：
$2a > 2$ なので区間 $[0, 3]$ の大部分で $f(x) \leq 0$。折り返し後の頂点の高さは $a^2$。
$|f(3)| = |9 - 6a|$。$a > \frac{3}{2}$ のとき $9 - 6a < 0$ なので $|f(3)| = 6a - 9$。
$a^2$ と $|f(3)|$ を比較すると、$a^2 \geq 6a - 9$ は $a^2 - 6a + 9 \geq 0$、$(a-3)^2 \geq 0$（常に成立）。
よって $a^2 \geq |f(3)|$ なので最大値は $a^2$。
(iii) $a > 3$（$2a > 6$）のとき：
区間 $[0, 3]$ 全体で $f(x) \leq 0$（$0 < x < 2a$ に含まれる）。
$|f(x)| = -f(x) = -(x-a)^2 + a^2$ は $[0, 3]$ で $x$ に近い方が大きい。
$a > 3$ より軸 $x = a$ は区間の右外。$|f(0)| = 0$、$|f(3)| = 6a - 9$。
$|f(a)| = a^2$ だが $a > 3$ で区間外。区間内の最大は $|f(3)| = 6a - 9$。
⚠️ 検算：$a = 1$：(i) $9-6=3$、(ii) $a^2 = 1$。境界で一致しない。
再考：$a = 1$ のとき $|f(3)| = 3$, $a^2 = 1$。最大値は $3 = 9-6a$。(ii) の範囲を確認すると、$1 < a$ では $a^2 > 1$ かつ $9 - 6a < 3$ なので $a^2$ と $9-6a$ の大小が入れ替わる。$a^2 = 9-6a$ より $a^2 + 6a - 9 = 0$, $a = -3 + 3\sqrt{2} \approx 1.24$。
正確には：$0 < a \leq -3+3\sqrt{2}$ で $M(a) = 9-6a$、$-3+3\sqrt{2} \leq a \leq 3$ で $M(a) = a^2$、$a > 3$ で $M(a) = 6a-9$。