2-7では2つの解がともにある値より大きい（小さい）場合を扱いました。
本節では、2つの解がある値をはさむ場合や、特定の区間に解が存在する場合など、
より複雑な解の配置条件を学びます。逆像法（定数分離）という強力な別解法も登場します。
2-7で学んだ「2つの解がともに $k$ より大きい」条件では、判別式・軸の位置・端点の値の 3つの条件が必要でした。では、2つの解が $k$ をはさむ （1つは $k$ より大きく、もう1つは $k$ より小さい）場合はどうでしょうか。
実は、この場合の条件は驚くほどシンプルです。 2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$（$a > 0$）の2つの実数解が $x = k$ をはさむとき、 $f(x) = ax^2 + bx + c$ のグラフ（下に凸の放物線）は $x = k$ で $x$ 軸の下側にあります。 つまり、$f(k) < 0$ が条件のすべてです。
$a > 0$ のとき、$f(k) < 0$ ならば放物線は $x = k$ で $x$ 軸より下にあります。 下に凸の放物線が $x$ 軸より下に潜り込むということは、 必ず $x = k$ の左右で $x$ 軸を1回ずつ横切ることを意味します。
したがって、判別式 $D > 0$（2つの実数解を持つこと）も、 軸の位置の条件も、$f(k) < 0$ から自動的に満たされます。
2-7の「ともに $k$ より大きい」では3条件が必要だったのに、 「$k$ をはさむ」では1条件で済む。この非対称性を理解することが、解の配置問題の核心です。
下に凸の放物線 $y = f(x)$ について、$f(k) < 0$ が成り立つ場合を考えましょう。 放物線は $x \to \pm\infty$ で $y \to +\infty$ に発散します。 一方、$x = k$ では $y < 0$ です。
ということは、$x = k$ から左に進むとどこかで $y = 0$（$x$ 軸）を横切り、 $x = k$ から右に進んでもどこかで $y = 0$ を横切ります。 つまり、$x < k$ と $x > k$ にそれぞれ1つずつ解が存在するのです。
この議論から、$f(k) < 0$ であれば自動的に以下が保証されます。
✕ 誤：$-x^2 + 3x - 1 = 0$ の解が $x = 2$ をはさむ条件は $f(2) < 0$
○ 正：$a < 0$（上に凸）のとき、解が $k$ をはさむ条件は $f(k) > 0$ です。
上に凸の放物線は $x \to \pm\infty$ で $y \to -\infty$ に発散するので、 $f(k) > 0$ ならば $x = k$ の左右でそれぞれ $x$ 軸を横切ります。
一般に、解が $k$ をはさむ条件は $a \cdot f(k) < 0$（$a$ と $f(k)$ が異符号）と書けます。 $a > 0$ なら $f(k) < 0$、$a < 0$ なら $f(k) > 0$ です。
2次方程式 $x^2 - ax + a^2 - 7 = 0$ の異なる2つの実数解のうち、 1つは $2$ より大きく、もう1つは $2$ より小さくなるような定数 $a$ の値の範囲を求めましょう。
Step 1：$f(x) = x^2 - ax + a^2 - 7$ とおく。$x^2$ の係数は $1 > 0$（下に凸）。
Step 2：2つの解が $x = 2$ をはさむ条件は $f(2) < 0$。
$$f(2) = 4 - 2a + a^2 - 7 = a^2 - 2a - 3 < 0$$
Step 3：$a^2 - 2a - 3 < 0$ を解く。
$(a - 3)(a + 1) < 0$ より $-1 < a < 3$。
結論：$-1 < a < 3$
✕ 誤：まず $D > 0$ を求めて...次に軸の条件を...そして $f(2) < 0$ を...と3条件を連立する。
○ 正：「$k$ をはさむ」型では $f(k) < 0$（$a > 0$ のとき）だけで十分。 不要な条件を追加しても間違いではありませんが、計算が無駄に増え、時間を浪費します。
ただし注意点があります。もし問題文が「異なる2つの実数解」と明記していて、 $f(k) < 0$ の条件だけでは実数解の存在が自動的に保証されない場合（$a < 0$ の場合など）は、 判別式の確認が必要になることがあります。$a > 0$ で $f(k) < 0$ のときだけ、1条件で完結します。
「$f(k) < 0$ ならば $k$ の左右に解がある」という議論の背景には、 大学数学で学ぶ中間値の定理があります。
連続関数 $f(x)$ について、$f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば、 $a$ と $b$ の間に $f(c) = 0$ となる $c$ が少なくとも1つ存在する、という定理です。
2次関数は連続関数であり、$a > 0$ のとき十分大きな $x$ で $f(x) > 0$ です。 $f(k) < 0$ であれば、$k$ と十分大きな値の間で符号が変わるので解が存在します。 $k$ と十分小さな値の間でも同様です。高校ではこの定理を厳密には学びませんが、 グラフの「つながり」から直感的に理解できる重要な性質です。
Section 1の「$k$ をはさむ」を一般化しましょう。 1つの解が区間 $(\alpha, \beta)$ に、もう1つの解がその外にある場合や、 2つの解がそれぞれ異なる区間に属する場合を考えます。
$f(x) = ax^2 + bx + c$（$a > 0$）の2つの解がともに区間 $(\alpha, \beta)$ に含まれる条件は、 2-7で学んだように、以下の3条件が必要です。
必要な条件は $f(k) < 0$（$a > 0$ のとき）の1つだけです。
たとえば「1つの解が $-2$ と $0$ の間にあり、もう1つの解が $0$ と $1$ の間にある」 という条件を考えます。これは端点での符号条件に帰着できます。
$a > 0$ のとき、$f(x) = 0$ の1つの解が $(\alpha, \beta)$ に、 もう1つの解が $(\gamma, \delta)$ にある条件は、 各区間の端点で放物線が $x$ 軸の上下を行き来することから導けます。
具体的に、1つの解が $(\alpha, \beta)$ に、もう1つが $(\gamma, \delta)$ にある （$\alpha < \beta \leq \gamma < \delta$）とき：
$f(\alpha) > 0$, $f(\beta) < 0$, $f(\gamma) < 0$, $f(\delta) > 0$
ただし、$\beta = \gamma$ の場合（2つの区間が隣接する場合）は、 $f(\beta)$ の条件が2つの不等式に共通するので、 $f(\alpha) > 0$, $f(\beta) < 0$, $f(\delta) > 0$ の3条件にまとめられます。
$x$ についての2次方程式 $x^2 + (a-1)x - a^2 + 2 = 0$ の1つの解が $-2$ と $0$ の間にあり、 もう1つの解が $0$ と $1$ の間にあるような定数 $a$ の値の範囲を求めましょう。
Step 1：$f(x) = x^2 + (a-1)x - a^2 + 2$ とおく。$x^2$ の係数は $1 > 0$（下に凸）。
Step 2：条件を端点の符号で表す。
$-2 < \alpha < 0$ かつ $0 < \beta < 1$（$\alpha, \beta$ は2つの解）であるから、 グラフが $x = -2$, $x = 1$ で $x$ 軸の上に、$x = 0$ で $x$ 軸の下にあればよい。
Step 3：各条件を計算する。
$f(-2) = 4 - 2(a-1) - a^2 + 2 = -a^2 - 2a + 8 > 0$
$\Rightarrow a^2 + 2a - 8 < 0 \Rightarrow (a+4)(a-2) < 0 \Rightarrow -4 < a < 2$ ... (1)
$f(0) = -a^2 + 2 < 0$
$\Rightarrow a^2 > 2 \Rightarrow a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$ ... (2)
$f(1) = 1 + (a-1) - a^2 + 2 = -a^2 + a + 2 > 0$
$\Rightarrow a^2 - a - 2 < 0 \Rightarrow (a-2)(a+1) < 0 \Rightarrow -1 < a < 2$ ... (3)
Step 4：(1), (2), (3) の共通部分を求める。
$-4 < a < 2$ かつ ($a < -\sqrt{2}$ または $a > \sqrt{2}$) かつ $-1 < a < 2$
$-1 < a < 2$ と $a > \sqrt{2}$ の共通部分：$\sqrt{2} < a < 2$
結論：$\sqrt{2} < a < 2$
✕ 誤：「解が $(-2, 0)$ にあるから $f(-2) < 0$ かつ $f(0) < 0$」
○ 正：下に凸の放物線が区間内で $x$ 軸を横切るには、 区間の両端で符号が異なる必要があります。 $f(-2) > 0$ かつ $f(0) < 0$、または $f(-2) < 0$ かつ $f(0) > 0$ です。
どちらが正しいかは、区間の配置を考えます。解が $(-2, 0)$ と $(0, 1)$ に1つずつあるなら、 $x = 0$ では放物線が $x$ 軸の下（$f(0) < 0$）にあり、 $x = -2$ と $x = 1$ では上（$f(-2) > 0, f(1) > 0$）にあるのが正しい配置です。
パターンCでは、端点の符号条件だけで解の存在が保証されます。
✕ 誤：端点の符号条件に加えて、$D > 0$ と軸の位置を調べる。
○ 正：$f(\alpha)$ と $f(\beta)$ が異符号ならば、 $(\alpha, \beta)$ の間に必ず解が存在します。 下に凸の放物線が区間の片方の端で正、もう片方で負であれば、 $D > 0$ は自動的に成り立ち、軸の位置も自然に決まります。 不要な計算を省くことが、時間内に完答するコツです。
「区間 $(\alpha, \beta)$ に少なくとも1つの解を持つ」 という条件は、これまでのパターンより複雑です。 なぜなら、「2つとも区間内」「1つだけ区間内」「重解が区間内」など、 複数のケースをカバーしなければならないからです。
「少なくとも1つの解が区間 $(\alpha, \beta)$ にある」を直接考えると、 場合分けが多くなります。
そこで、余事象（全体から「1つも区間内にない」場合を引く）で考えるか、 またはケースを漏れなく列挙して和集合を取る方法があります。
入試では、場合を直接列挙するアプローチが多く出題されます。 具体的には、以下のように分けます。
(i) 2つの解がともに $(\alpha, \beta)$ に含まれる場合
(ii) 1つの解だけが $(\alpha, \beta)$ に含まれる場合（もう1つは区間外）
それぞれの条件を求めて、(i) または (ii) の和集合が答えになります。
$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 2 = 0$ の解が $1 < x < 3$ の範囲に 少なくとも1つ存在するような定数 $a$ の値の範囲を求めましょう。
$f(x) = x^2 - 2ax + a + 2$ とおきます（下に凸）。以下の2つの場合に分けて考えます。
場合 (i)：すべての解が $(1, 3)$ に含まれるとき
2-7の方法（3条件）を使います。
共通部分：$2 \leq a < \dfrac{11}{5}$
場合 (ii)：1つの解だけが $(1, 3)$ にあるとき
もう1つの解は $x \leq 1$ または $x \geq 3$ の範囲にあります。 このとき、区間の端点のどちらかで $f$ の符号が変わります。 具体的には $f(1) < 0$ または $f(3) < 0$ です。
$f(1) < 0$ のとき：$a > 3$。このとき $f(3) = 11 - 5a < 11 - 15 < 0$。 両端とも負なので、区間 $(1, 3)$ の中に頂点があるかどうかが問題です。 軸 $x = a > 3$ は区間の右外なので、区間 $(1, 3)$ 内で $f$ は単調減少。 $f(1) < 0$ ならば区間内で $f$ はずっと負で、$x$ 軸と交わりません。 ただし、$f(1) < 0$ は左端で負、かつ下に凸なので $x < 1$ のどこかで $x$ 軸を横切ります。 つまり、1つの解が $x < 1$、もう1つの解も軸の位置から $x > 3$ にあり、 区間 $(1, 3)$ には解がありません。よってこの場合は不適。
$f(3) < 0$ のとき：$a > \dfrac{11}{5}$。$f(1) = 3 - a$ の符号を場合分けします。
場合 (ii) の条件：$\dfrac{11}{5} < a < 3$
(i) と (ii) を合わせて：
$2 \leq a < \dfrac{11}{5}$ または $\dfrac{11}{5} < a < 3$、 すなわち $\boxed{2 \leq a < 3}$（$a = \dfrac{11}{5}$ も含まれる）。
※ $a = \dfrac{11}{5}$ のとき $f(3) = 0$ なので $x = 3$ が解。 問題が開区間 $(1, 3)$ なら $x = 3$ は含まれないため、 もう1つの解が $(1, 3)$ にあるかを確認する必要があります。
✕ 誤：「少なくとも1つ」を「ちょうど1つ」と同じだと思い、$f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ だけで答える。
○ 正：「少なくとも1つ」には「2つとも区間内」の場合も含まれます。 $f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ は「1つだけ区間内」の条件であり、 「2つとも区間内」（$f(\alpha) > 0$ かつ $f(\beta) > 0$ で軸が区間内、$D \geq 0$）の場合が漏れてしまいます。
「少なくとも1つ」= 「ちょうど1つ」+「2つとも」です。必ず両方のケースを考えてください。
「$f(x) = 0$ の解が区間 $(\alpha, \beta)$ にある」ことは、 「$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸が、$\alpha < x < \beta$ の範囲で交点を持つ」 ことと同値です。
大学数学では、このような問題を不動点問題（$g(x) = x$ の解を探す問題）として扱うことがあります。 また、数値解析では二分法（bisection method）という手法があり、 $f(\alpha)$ と $f(\beta)$ の符号が異なることを利用して解を近似的に求めます。 高校の解の配置問題は、こうした数値計算の理論的基盤でもあるのです。
ここまでの解の配置問題では、「判別式・軸・端点の値」という3つの道具を使ってきました。 しかし、もう1つ強力な方法があります。それが逆像法（定数分離）です。
逆像法のアイデアは、方程式に含まれるパラメータ $a$ を一方の辺に分離して、 「$y = (\text{$x$ だけの式})$ と $y = (\text{$a$ を含む式})$ のグラフの交点問題」に帰着することです。
$f(x) = 0$ にパラメータ $a$ が含まれるとき、$a$ について解いて $a = g(x)$ の形にします。すると、元の方程式が解を持つ条件は、 $y = g(x)$ のグラフと $y = a$（水平線）が交点を持つ条件に変わります。
解が特定の区間にある条件は、「$x$ がその区間にあるときの $g(x)$ の値域に $a$ が含まれる」 ことに帰着します。つまり、$g(x)$ の最大・最小問題に変換できるのです。
この方法の利点は、判別式・軸・端点の3条件を個別に調べる代わりに、 グラフの形状から一度に条件を読み取れることです。
2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 2 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような 定数 $a$ の値の範囲を、逆像法で求めてみましょう。
Step 1：$a$ について整理する。
$$x^2 - 2ax - a + 2 = 0$$
$$x^2 + 2 = 2ax + a = a(2x + 1)$$
$2x + 1 \neq 0$（すなわち $x \neq -\dfrac{1}{2}$）のとき：
$$a = \frac{x^2 + 2}{2x + 1}$$
Step 2：$g(x) = \dfrac{x^2 + 2}{2x + 1}$ とおき、$x > 0$ における $g(x)$ の振る舞いを調べる。
$x > 0$ のとき $2x + 1 > 0$ なので分母は正。
Step 3：$g(x)$ の最小値を求める。微分相当の議論（2次方程式への帰着）を行う。
$a = g(x)$ とおくと $x^2 + 2 = a(2x + 1)$、すなわち $x^2 - 2ax - a + 2 = 0$。
これが $x > 0$ に異なる2つの解を持つ $a$ の範囲が答え。
$y = g(x)$ と $y = a$ のグラフの交点が $x > 0$ に2つあるような $a$ の範囲を、 $g(x)$ のグラフの概形から読み取ります。
$g'(x) = \dfrac{2x(2x+1) - 2(x^2+2)}{(2x+1)^2} = \dfrac{2x^2 + 2x - 4}{(2x+1)^2} = \dfrac{2(x+2)(x-1)}{(2x+1)^2}$
$x > 0$ では $x + 2 > 0$ なので、$g'(x) = 0$ のとき $x = 1$。
$0 < x < 1$ で $g'(x) < 0$（減少）、$x > 1$ で $g'(x) > 0$（増加）。
$g(1) = \dfrac{3}{3} = 1$（極小値）。$g(x) \to +\infty$（$x \to +\infty$）。$g(0) = 2$。
水平線 $y = a$ が $x > 0$ で $y = g(x)$ と異なる2点で交わるのは、$1 < a < 2$ のとき。
結論：$1 < a < 2$
Step 1：方程式をパラメータ $a$ について解き、$a = g(x)$ の形にする
Step 2：解が属すべき区間で $g(x)$ のグラフの概形を調べる（増減・極値・端点の値）
Step 3：$y = a$（水平線）と $y = g(x)$ が指定された区間で交点を持つ $a$ の範囲を読み取る
逆像法は $a$ について解ける場合に有効ですが、$a$ が $a^2$ の形で現れるなど、 $a$ について1次式に整理できない場合には使えません。 その場合は、従来の「判別式・軸・端点」の方法に戻る必要があります。
また、$a$ について解く過程で「$x \neq (\text{ある値})$」の条件が出てくることがあります。 その点が求める区間に含まれる場合、そこでの解の存在を別途確認する必要があります。
「逆像法」の「逆像」とは、大学数学の逆像（preimage）に由来します。 関数 $g: X \to Y$ に対して、値 $a \in Y$ の逆像は $g^{-1}(\{a\}) = \{x \in X \mid g(x) = a\}$、 すなわち「$g(x) = a$ を満たす $x$ の集合」です。
逆像法で行っていることは、まさにこの逆像を求めることです。 $a = g(x)$ と変形した時点で、「方程式 $f(x) = 0$ の解の集合」は 「関数 $g$ による $a$ の逆像」と一致します。
逆像の概念は、位相空間論（トポロジー）における連続性の定義や、 確率論における確率変数の定義など、 現代数学の多くの分野で基本的な役割を果たしています。
2-7と2-8で学んだ解の配置問題を、パターンごとに整理しましょう。 すべてのパターンに共通するのは、「$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸の位置関係」で考えるという視点です。
| パターン | 条件の内容 | 必要な条件 |
|---|---|---|
| ともに $k$ より大きい | 2解とも $x > k$ | $D \geq 0$, 軸 $> k$, $f(k) > 0$ |
| ともに $k$ より小さい | 2解とも $x < k$ | $D \geq 0$, 軸 $< k$, $f(k) > 0$ |
| $k$ をはさむ（解の分離） | 1解 $> k$、1解 $< k$ | $f(k) < 0$（$a > 0$ のとき）のみ |
| 区間 $(\alpha, \beta)$ に2解 | 2解とも区間内 | $D \geq 0$, $\alpha <$ 軸 $< \beta$, $f(\alpha) > 0$, $f(\beta) > 0$ |
| 異なる区間に1つずつ | 各区間に1解ずつ | 各区間の端点での符号条件 |
| 少なくとも1つが区間内 | 1つ以上が区間内 | 場合分け（2解とも区間内 or 1解だけ区間内） |
| 逆像法（定数分離） | $a = g(x)$ と変形 | $g(x)$ の値域に $a$ が含まれるかで判定 |
Q1. $f(x) = x^2 - 5x + 3$（$a > 0$）の2つの解が $x = 2$ をはさむかどうか判定してください。
Q2. 「2つの解が $k$ をはさむ」条件で判別式の確認が不要な理由を説明してください。
Q3. $x^2$ の係数が負（$a < 0$）のとき、2つの解が $k$ をはさむ条件はどうなりますか？
Q4. 逆像法（定数分離）で $a$ を分離する際、どのような場合に注意が必要ですか？
Q5. 「少なくとも1つの解が区間 $(\alpha, \beta)$ にある」を求めるとき、$f(\alpha) \cdot f(\beta) < 0$ だけでは不十分な理由を述べてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
2次方程式 $x^2 - 2ax + 3a - 2 = 0$ の異なる2つの実数解のうち、1つは $1$ より大きく、もう1つは $1$ より小さいような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
$a < 1$
方針：「$k$ をはさむ」型なので $f(k) < 0$ だけで解ける。
$f(x) = x^2 - 2ax + 3a - 2$ とおく。$x^2$ の係数は $1 > 0$（下に凸）。
2つの解が $x = 1$ をはさむ条件は $f(1) < 0$。
$f(1) = 1 - 2a + 3a - 2 = a - 1$
$f(1) < 0$ より $a - 1 < 0$、すなわち $a < 1$。
検算：$a = 0$ のとき $x^2 - 2 = 0$、$x = \pm\sqrt{2}$。$-\sqrt{2} < 1 < \sqrt{2}$ で確かに $1$ をはさんでいる。✓
2次方程式 $x^2 - 2ax - a + 2 = 0$ が符号の異なる2つの解を持つような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
$a > 2$
方針：「符号の異なる2つの解」= 「$x = 0$ をはさむ」。$f(0) < 0$ が条件。
$f(x) = x^2 - 2ax - a + 2$ とおく。$x^2$ の係数は $1 > 0$（下に凸）。
$f(0) = 0 - 0 - a + 2 = -a + 2$
$f(0) < 0$ より $-a + 2 < 0$、すなわち $a > 2$。
検算：$a = 3$ のとき $x^2 - 6x - 1 = 0$、$x = 3 \pm \sqrt{10}$。$3 - \sqrt{10} < 0 < 3 + \sqrt{10}$ で確かに符号が異なります。
$x$ についての2次方程式 $x^2 - 6x + a = 0$ の1つの解が $1$ と $2$ の間にあり、もう1つの解が $4$ と $5$ の間にあるような定数 $a$ の値の範囲を求めよ。
$5 < a < 8$
方針：端点の符号条件を利用する。2つの解を $\alpha \in (1,2)$, $\beta \in (4,5)$ とする。
$f(x) = x^2 - 6x + a$ とおく。$x^2$ の係数は $1 > 0$（下に凸）。
下に凸の放物線は、2つの解 $\alpha, \beta$ の間（$\alpha < x < \beta$）で負、外側で正です。 $1 < \alpha$ かつ $\beta < 5$ なので、$x = 1$ は $\alpha$ の左側（正）、$x = 2, 4$ は2つの解の間（負）、$x = 5$ は $\beta$ の右側（正）です。
したがって条件は：$f(1) > 0$, $f(2) < 0$, $f(4) < 0$, $f(5) > 0$
各値を計算します。
$f(1) = 1 - 6 + a = a - 5 > 0 \Rightarrow a > 5$ ... (1)
$f(2) = 4 - 12 + a = a - 8 < 0 \Rightarrow a < 8$ ... (2)
$f(4) = 16 - 24 + a = a - 8 < 0 \Rightarrow a < 8$ ... (3) （(2) と同じ）
$f(5) = 25 - 30 + a = a - 5 > 0 \Rightarrow a > 5$ ... (4) （(1) と同じ）
(1)〜(4) の共通部分：$5 < a < 8$。
※ $f(2) = f(4)$ かつ $f(1) = f(5)$ となるのは、軸 $x = 3$ に関して $x = 1, 5$ および $x = 2, 4$ が対称であるためです。
$x$ についての2次方程式 $x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ が異なる2つの正の解を持つような定数 $a$ の値の範囲を、逆像法（定数分離）を用いて求めよ。
$3 < a$
方針：$a$ について解いて定数分離する。
$x^2 - 2ax + 2a + 3 = 0$ を $a$ について整理する。
$x^2 + 3 = 2ax - 2a = 2a(x - 1)$
$x \neq 1$ のとき $a = \dfrac{x^2 + 3}{2(x - 1)}$
$g(x) = \dfrac{x^2 + 3}{2(x-1)}$ とおき、$x > 0$ かつ $x \neq 1$ での振る舞いを調べる。
$0 < x < 1$ のとき分母は負なので $g(x) < 0$。正の解2つという条件は $x > 0$ なので、$x > 1$ の部分を考える。
$x > 1$ で $g(x) > 0$。
$g'(x) = \dfrac{2x \cdot 2(x-1) - (x^2+3) \cdot 2}{4(x-1)^2} = \dfrac{2x^2 - 2x - x^2 - 3}{2(x-1)^2} = \dfrac{x^2 - 2x - 3}{2(x-1)^2} = \dfrac{(x-3)(x+1)}{2(x-1)^2}$
$x > 1$ では $x + 1 > 0$, $(x-1)^2 > 0$ なので、$g'(x) = 0$ のとき $x = 3$。
$1 < x < 3$ で $g'(x) < 0$（減少）、$x > 3$ で $g'(x) > 0$（増加）。
$g(3) = \dfrac{9 + 3}{2 \cdot 2} = \dfrac{12}{4} = 3$（極小値）。
$g(x) \to +\infty$（$x \to 1^+$ および $x \to +\infty$）。
水平線 $y = a$ が $x > 1$ で $y = g(x)$ と異なる2点で交わるのは $a > 3$ のとき。
ただし、$0 < x < 1$ の範囲で $g(x) < 0$ なので、$a > 0$ のとき $0 < x < 1$ に解はない。
また $x = 1$ のとき元の方程式は $1 - 2a + 2a + 3 = 4 \neq 0$ なので $x = 1$ は解にならない。
よって「異なる2つの正の解」は $x > 1$ の範囲の2つの解であり、$a > 3$。
（従来法でも確認：$D > 0$, 軸 $> 0$, $f(0) > 0$ の3条件から同じ結果が得られる。）