グラフを動かす操作は、すべて「座標をどう変換するか」に帰着します。
平行移動で「なぜ $x - p$ になるのか」を原理から理解すれば、対称移動も移動の合成も迷いません。
2-1で、$y = ax^2$ のグラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると $y = a(x - p)^2 + q$ になることを学びました。 ここでは「なぜ $x - p$ という引き算になるのか」を、原理から深く理解しましょう。
スマホの画面を右にスワイプして図形を動かすイメージを思い浮かべてください。 図形そのものが動いているように見えますが、数学では 「動いた後の点がどんな条件を満たすか」で式を書きます。 この視点の切り替えが、平行移動の式を理解するカギです。
座標平面上のすべてのグラフは、ある条件を満たす点 $(x, y)$ の集合です。 たとえば $y = x^2$ は「$y$ 座標が $x$ 座標の2乗に等しい点の集合」です。
グラフを $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動するということは、 すべての点を $(x, y) \to (x + p, \, y + q)$ と動かすことです。
移動後の点 $(X, Y)$ について、移動前の点は $(X - p, \, Y - q)$ です。 この移動前の点が元のグラフ上にあるから、$Y - q = f(X - p)$。 つまり $Y = f(X - p) + q$。
「$x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ に」という逆向きのおき換えは、 「移動後の点から移動前の点を逆算する」操作なのです。
上の原理は $y = ax^2$ に限らず、すべての関数 $y = f(x)$ に適用できます。 曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の方程式は、 次のようになります。
曲線 $y = f(x)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動すると：
$$y - q = f(x - p) \quad \text{すなわち} \quad y = f(x - p) + q$$
✕ 誤：「右に3移動」→ $y = f(x + 3)$（$+3$ だから右、と考える）
○ 正：「右に3移動」→ $y = f(x - 3)$
確認法：$y = (x - 3)^2$ の頂点は $(3, 0)$。確かに $y = x^2$ の頂点 $(0, 0)$ から右に3移動しています。 「右に $p$」なら「$x - p$」。符号が逆になることを、具体例で必ず確認する習慣をつけましょう。
点の平行移動は素直です。点 $(a, b)$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ移動すると $(a + p, \, b + q)$。 これは足し算です。
一方、曲線の方程式では $x$ を $x - p$ に、$y$ を $y - q$ におき換えます。 引き算になる理由は、曲線の方程式が「移動後の点が満たす条件」を表すからです。 点の移動は足し算、式のおき換えは引き算。この対応を整理しておきましょう。
放物線を平行移動しても、放物線の「開き具合」は変わりません。 つまり、$x^2$ の係数（2次の係数）は平行移動で変化しないのです。
✕ 誤：$y = 2x^2$ を右に1移動して $y = 3(x-1)^2$（係数が変わっている）
○ 正：$y = 2x^2$ を右に1移動すると $y = 2(x - 1)^2$。$x^2$ の係数はそのまま $2$。
平行移動の結果を展開して一般形に戻したとき、$x^2$ の係数が元と異なっていたら計算ミスです。
大学の線形代数では、回転・拡大・対称移動などを行列で表します。 ただし平行移動だけは行列の積では表せず、アフィン変換という枠組みが必要です。
座標 $(x, y)$ を $(x, y, 1)$ と3次元に拡張すると、 平行移動も行列の積 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & p \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ 1 \end{pmatrix}$ で表せます。これが同次座標と呼ばれる手法で、コンピュータグラフィックスの基礎技術です。
対称移動とは、ある直線（対称軸）や点（対称の中心）に関して、 図形を鏡に映したように移す操作です。 平行移動と同じく、「移動後の点の座標がどうなるか」を考えれば、方程式の変換ルールが導けます。
対称移動のルールは、点の座標がどう変わるかを考えるだけで導けます。
$x$ 軸に関して対称：$y$ 座標の符号が反転。$(x, y) \to (x, -y)$
$y$ 軸に関して対称：$x$ 座標の符号が反転。$(x, y) \to (-x, y)$
原点に関して対称：両方の符号が反転。$(x, y) \to (-x, -y)$
曲線の方程式では、平行移動と同様に「移動後の点から移動前を逆算」するので、 反転する座標を $-1$ 倍しておき換えるだけです。
点 $(a, b)$ を $x$ 軸に関して対称移動すると $(a, -b)$ です。 $x$ 座標はそのままで、$y$ 座標だけ符号が変わります。
曲線 $y = f(x)$ の方程式では、移動後の点 $(X, Y)$ に対応する移動前の点は $(X, -Y)$ です。 これが元のグラフ上にあるから $-Y = f(X)$。よって移動後の方程式は $y = -f(x)$ です。
点 $(a, b)$ を $y$ 軸に関して対称移動すると $(-a, b)$ です。 移動後の点 $(X, Y)$ に対応する移動前は $(-X, Y)$。 $Y = f(-X)$ となるので、移動後の方程式は $y = f(-x)$ です。
点 $(a, b)$ を原点に関して対称移動すると $(-a, -b)$ です。 移動後の点 $(X, Y)$ に対応する移動前は $(-X, -Y)$。 $-Y = f(-X)$ より、移動後の方程式は $y = -f(-x)$ です。
$x$ 軸に関して対称移動：$y$ を $-y$ におき換え → $y = -f(x)$
$y$ 軸に関して対称移動：$x$ を $-x$ におき換え → $y = f(-x)$
原点に関して対称移動：$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ におき換え → $y = -f(-x)$
放物線 $y = x^2 - 2x + 5$ を各対称移動してみましょう。 まず平方完成すると $y = (x - 1)^2 + 4$ です。頂点は $(1, 4)$。
$x$ 軸に関して対称移動：
$y$ を $-y$ におき換えます。$-y = x^2 - 2x + 5$ より $y = -x^2 + 2x - 5$。
頂点は $(1, -4)$。元の頂点 $(1, 4)$ の $y$ 座標だけ符号が変わりました。
$y$ 軸に関して対称移動：
$x$ を $-x$ におき換えます。$y = (-x)^2 - 2(-x) + 5 = x^2 + 2x + 5$。
平方完成すると $y = (x + 1)^2 + 4$。頂点は $(-1, 4)$。元の頂点の $x$ 座標だけ符号が変わりました。
原点に関して対称移動：
$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ におき換えます。$-y = (-x)^2 - 2(-x) + 5$ より $y = -x^2 - 2x - 5$。
平方完成すると $y = -(x + 1)^2 - 4$。頂点は $(-1, -4)$。両方の座標の符号が変わりました。
$y$ 軸に関する対称移動で $x$ を $-x$ におき換えるとき、最も多い計算ミスです。
✕ 誤：$y = x^2 - 2x + 5$ の $x$ を $-x$ に → $y = -x^2 + 2x + 5$
○ 正：$y = (-x)^2 - 2(-x) + 5 = x^2 + 2x + 5$
$(-x)^2 = x^2$ です。2乗すれば符号は消えます。 おき換えは「$x$ のある場所すべてに $(-x)$ を代入する」こと。 1つずつ丁寧に括弧をつけて代入しましょう。
$f(-x) = f(x)$ を満たす関数を偶関数、$f(-x) = -f(x)$ を満たす関数を奇関数と呼びます。
偶関数のグラフは $y$ 軸に関して対称です。$y = x^2$ や $y = \cos x$ が代表例です。 奇関数のグラフは原点に関して対称です。$y = x^3$ や $y = \sin x$ が代表例です。
対称移動の公式を使えば、「なぜ偶関数のグラフが $y$ 軸対称になるのか」が説明できます。 $y = f(x)$ を $y$ 軸対称移動すると $y = f(-x)$。偶関数なら $f(-x) = f(x)$ なので、移動後も同じ式。 つまりグラフが $y$ 軸対称移動で不変 ＝ $y$ 軸に関して対称、ということです。
$x$ 軸や $y$ 軸だけでなく、直線 $y = x$ に関する対称移動も重要です。 これは数学IIで学ぶ逆関数と深く関わります。
直線 $y = x$ は原点を通り、$x$ 軸と $45^\circ$ の角度をなす直線です。 点 $(a, b)$ を直線 $y = x$ に関して対称移動すると、どうなるでしょうか。
$y = x$ は「$x$ 座標と $y$ 座標が等しい点の集合」です。 この直線に関して折り返すと、$x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わります。 つまり $(a, b) \to (b, a)$ です。
直線 $y = x$ に関して対称移動すると、点 $(a, b)$ は $(b, a)$ に移ります。 $x$ 座標と $y$ 座標が入れ替わるのです。
曲線の方程式では、$x$ と $y$ を入れ替えればよいです。 $y = f(x)$ を $y = x$ に関して対称移動すると、$x = f(y)$ が得られます。
これは $y$ について解けば逆関数 $y = f^{-1}(x)$ になります。 つまり、逆関数のグラフは元の関数のグラフを $y = x$ に関して対称移動したものです。
$y = 2x + 1$ を直線 $y = x$ に関して対称移動してみましょう。 $x$ と $y$ を入れ替えると $x = 2y + 1$。$y$ について解くと $y = \dfrac{x - 1}{2}$。
検算しましょう。元の直線上の点 $(0, 1)$ を $y = x$ に関して対称移動すると $(1, 0)$。 $y = \dfrac{x - 1}{2}$ に $x = 1$ を代入すると $y = 0$。確かに $(1, 0)$ を通ります。
✕ 誤：$y = x^2 + 1$ を $y = x$ に関して対称移動 → $x = x^2 + 1$（$y$ だけ置き換え）
○ 正：$x$ と $y$ を同時に入れ替えて $x = y^2 + 1$。$y$ について解くと $y = \pm\sqrt{x - 1}$。
$x$ 軸対称（$y \to -y$）や $y$ 軸対称（$x \to -x$）では片方だけ変えますが、 $y = x$ 対称では$x$ と $y$ を丸ごと交換する点に注意しましょう。
入試では、複数の移動を組み合わせる問題がよく出ます。 たとえば「平行移動してから対称移動する」「対称移動してから平行移動する」などです。 移動の合成も、基本は「座標のおき換えを順番に適用する」だけです。
2つの移動を続けて行うとき、それぞれの移動に対応する座標のおき換えを順番に適用すればよいのです。
ただし、移動の順番を入れ替えると結果が変わることがあります。 平行移動と対称移動の順番を間違えると、全く異なるグラフが得られるので注意が必要です。
$y = x^2$ を $x$ 軸方向に $1$、$y$ 軸方向に $2$ だけ平行移動し、その後 $x$ 軸に関して対称移動します。
Step 1：平行移動。$x$ を $x - 1$ に、$y$ を $y - 2$ におき換えます。
$$y - 2 = (x - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad y = (x - 1)^2 + 2$$Step 2：$x$ 軸対称移動。得られた式で $y$ を $-y$ におき換えます。
$$-y = (x - 1)^2 + 2 \quad \Rightarrow \quad y = -(x - 1)^2 - 2$$同じ $y = x^2$ を、今度は先に $x$ 軸対称移動してから同じ平行移動をします。
Step 1：$x$ 軸対称移動。$y$ を $-y$ におき換え。$y = -x^2$。
Step 2：平行移動。$x$ を $x - 1$ に、$y$ を $y - 2$ におき換え。
$$y - 2 = -(x - 1)^2 \quad \Rightarrow \quad y = -(x - 1)^2 + 2$$例1の結果は $y = -(x-1)^2 - 2$（頂点 $(1, -2)$）、 例2の結果は $y = -(x-1)^2 + 2$（頂点 $(1, 2)$）。 同じ操作でも順番が違えば結果が異なるのです。
$x$ 軸に関して対称移動してから $y$ 軸に関して対称移動すると、 座標は $(x, y) \to (x, -y) \to (-x, -y)$ と変わります。 これは原点に関する対称移動と同じ結果です。
しかも、この場合は順番を入れ替えても結果は同じです。 $y$ 軸対称 → $x$ 軸対称でも $(x, y) \to (-x, y) \to (-x, -y)$ で、やはり原点対称です。
| 合成 | 座標の変化 | 結果 |
|---|---|---|
| $x$ 軸対称 → $y$ 軸対称 | $(x, y) \to (x, -y) \to (-x, -y)$ | 原点対称 |
| $y$ 軸対称 → $x$ 軸対称 | $(x, y) \to (-x, y) \to (-x, -y)$ | 原点対称 |
| $x$ 軸対称 → 原点対称 | $(x, y) \to (x, -y) \to (-x, y)$ | $y$ 軸対称 |
入試では「放物線 $y = ax^2 + bx + c$ を平行移動した後、$x$ 軸対称移動したら $y = -2x^2 - 6x - 4$ になった。$a, b, c$ を求めよ」のような逆問題もよく出ます。
逆問題の解法は、移動を逆にたどることです。 「平行移動 → $x$ 軸対称」の逆は「$x$ 軸対称 → 逆方向の平行移動」です。 移動の順番も逆になることに注意しましょう。
ここまで、グラフの移動を「座標のおき換え」という統一的な視点で学びました。 すべての移動は、次の表にまとめられます。
| 移動の種類 | 座標の変化 | 式のおき換え |
|---|---|---|
| 平行移動（$p$, $q$） | $(x, y) \to (x+p, \, y+q)$ | $x \to x - p$、$y \to y - q$ |
| $x$ 軸対称 | $(x, y) \to (x, -y)$ | $y \to -y$ |
| $y$ 軸対称 | $(x, y) \to (-x, y)$ | $x \to -x$ |
| 原点対称 | $(x, y) \to (-x, -y)$ | $x \to -x$、$y \to -y$ |
| $y = x$ 対称 | $(x, y) \to (y, x)$ | $x$ と $y$ を交換 |
共通する原理は、「移動後の点 $(X, Y)$ から移動前の点を逆算し、それが元の式を満たす条件を書く」ということです。 この原理を理解していれば、上の表を丸暗記する必要はありません。
Q1. 放物線 $y = 2x^2$ を $x$ 軸方向に $-3$、$y$ 軸方向に $4$ だけ平行移動した方程式を求めてください。
Q2. $y = x^2 - 4x + 3$ を $x$ 軸に関して対称移動した方程式を求めてください。
Q3. $y = 3x^2 + 6x + 1$ を $y$ 軸に関して対称移動した方程式を求めてください。
Q4. 「$x$ 軸対称移動 → $y$ 軸対称移動」と「原点対称移動」は同じ結果になります。なぜですか？
Q5. 直線 $y = 3x - 2$ を直線 $y = x$ に関して対称移動した方程式を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
放物線 $y = 2x^2 - 8x + 9$ を、次のものに関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。
(1) $x$ 軸
(2) $y$ 軸
(3) 原点
(1) $y = -2x^2 + 8x - 9$
(2) $y = 2x^2 + 8x + 9$
(3) $y = -2x^2 - 8x - 9$
方針：対称移動の公式に従い、対応する座標をおき換える。
元の式：$y = 2x^2 - 8x + 9$。平方完成すると $y = 2(x - 2)^2 + 1$。頂点 $(2, 1)$。
(1) $x$ 軸対称：$y$ を $-y$ におき換え。$-y = 2x^2 - 8x + 9$ より $y = -2x^2 + 8x - 9$。
頂点 $(2, -1)$。元の頂点の $y$ 座標だけ符号が変わった。✓
(2) $y$ 軸対称：$x$ を $-x$ におき換え。$y = 2(-x)^2 - 8(-x) + 9 = 2x^2 + 8x + 9$。
平方完成：$y = 2(x + 2)^2 + 1$。頂点 $(-2, 1)$。元の頂点の $x$ 座標だけ符号が変わった。✓
(3) 原点対称：$x$ を $-x$、$y$ を $-y$ におき換え。$-y = 2(-x)^2 - 8(-x) + 9 = 2x^2 + 8x + 9$ より $y = -2x^2 - 8x - 9$。
平方完成：$y = -2(x + 2)^2 - 1$。頂点 $(-2, -1)$。両方の符号が変わった。✓
放物線 $y = -x^2 + 4x - 1$ を $x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動した放物線の方程式を求めよ。
$y = -x^2 + 6$
方針：平方完成して頂点を求め、頂点を移動する。
$y = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x - 2)^2 + 4 - 1 = -(x - 2)^2 + 3$。頂点 $(2, 3)$。
$x$ 軸方向に $-2$、$y$ 軸方向に $3$ 移動すると、頂点は $(2 + (-2), \, 3 + 3) = (0, 6)$。
2次の係数は平行移動で変わらないので $a = -1$。
$y = -(x - 0)^2 + 6 = -x^2 + 6$
⚠️ 別解として、$x$ を $x - (-2) = x + 2$ に、$y$ を $y - 3$ におき換えてもよい。 $y - 3 = -(x + 2 - 2)^2 + 3$ より $y = -x^2 + 6$。同じ結果が得られる。
放物線 $y = x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した後、$x$ 軸に関して対称移動したところ、放物線 $y = -x^2 - 6x - 7$ が得られた。$p$, $q$ の値を求めよ。
$p = -3$, $q = -2$
方針：$y = x^2$ に対して平行移動と $x$ 軸対称を順に適用し、結果を比較する。
Step 1：平行移動。$y = x^2$ を $x$ 軸方向に $p$、$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動。
$$y = (x - p)^2 + q$$
Step 2：$x$ 軸対称移動。$y$ を $-y$ におき換え。
$$-y = (x - p)^2 + q \quad \Rightarrow \quad y = -(x - p)^2 - q$$
Step 3：結果と比較。$y = -x^2 - 6x - 7$ を平方完成する。
$y = -(x^2 + 6x) - 7 = -(x^2 + 6x + 9) + 9 - 7 = -(x + 3)^2 + 2$
$y = -(x - p)^2 - q$ と $y = -(x + 3)^2 + 2$ を比較すると：
$p = -3$, $-q = 2$ より $q = -2$...?
検算：$y = -(x - (-3))^2 - (-2) = -(x + 3)^2 + 2$。✓
よって $p = -3$, $q = -2$。
⚠️ 念のため順方向で確認。$y = x^2$ を左に3（$p = -3$）、下に2（$q = -2$）移動すると $y = (x + 3)^2 - 2$。頂点 $(-3, -2)$。 これを $x$ 軸対称移動すると $y = -(x + 3)^2 + 2$。展開すると $y = -x^2 - 6x - 9 + 2 = -x^2 - 6x - 7$。✓
最終解答：$p = -3$, $q = -2$
放物線 $C\colon y = 3x^2 - 6x - 7$ について、次の問いに答えよ。
(1) $C$ を $x$ 軸、$y$ 軸、原点に関して対称移動した放物線の方程式をそれぞれ求めよ。
(2) $C$ を $x$ 軸に関して対称移動した後、原点に関して対称移動した放物線の方程式を求めよ。
(1)
$x$ 軸対称：$y = -3x^2 + 6x + 7$
$y$ 軸対称：$y = 3x^2 + 6x - 7$
原点対称：$y = -3x^2 - 6x + 7$
(2) $y = 3x^2 + 6x - 7$
方針：各対称移動の公式を適用する。(2) は合成を利用。
元の式：$y = 3x^2 - 6x - 7$。平方完成すると $y = 3(x - 1)^2 - 10$。頂点 $(1, -10)$。
(1) $x$ 軸対称：$y \to -y$。$-y = 3x^2 - 6x - 7$ より $y = -3x^2 + 6x + 7$。頂点 $(1, 10)$。✓
(1) $y$ 軸対称：$x \to -x$。$y = 3(-x)^2 - 6(-x) - 7 = 3x^2 + 6x - 7$。頂点 $(-1, -10)$。✓
(1) 原点対称：$x \to -x$, $y \to -y$。$-y = 3(-x)^2 - 6(-x) - 7 = 3x^2 + 6x - 7$ より $y = -3x^2 - 6x + 7$。頂点 $(-1, 10)$。✓
(2) $x$ 軸対称 → 原点対称は、(Section 4の表より) $y$ 軸対称と同じ。
実際に確認：$x$ 軸対称で $y = -3x^2 + 6x + 7$。これを原点対称すると $x \to -x$, $y \to -y$。
$-y = -3(-x)^2 + 6(-x) + 7 = -3x^2 - 6x + 7$ より $y = 3x^2 + 6x - 7$。
これは (1) の $y$ 軸対称の結果と一致。✓