$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ のように、根号の中にさらに根号がある式を「二重根号」と呼びます。
外し方の公式を丸暗記するのではなく、なぜその変形ができるのかを理解しましょう。
さらに、整数部分・小数部分の考え方や、対称式を使った式の値の計算まで一気に扱います。
$\sqrt{3}$ や $\sqrt{7}$ のように、根号が1つだけの式には慣れていると思います。 では、$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ はどうでしょうか。 根号の中にさらに根号が入っています。このような式を二重根号と呼びます。
一見すると複雑そうですが、実はこの式は $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ という単純な形に等しいのです。 なぜそうなるのか、確かめてみましょう。$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2$ を計算すると
$$(\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 = 2 + 2\sqrt{6} + 3 = 5 + 2\sqrt{6}$$$\sqrt{2} + \sqrt{3} > 0$ なので、両辺の正の平方根をとれば
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$このように、二重根号を外すとは「2乗して中身になる式」を見つけることです。
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$ を展開と見れば、二重根号を外すのはその逆操作です。
$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}}$ を見て「$a + b + 2\sqrt{ab} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$ だ」と気づけるかどうか。 つまり、二重根号の処理は因数分解と同じ発想──展開の逆再生──なのです。
なぜ二重根号を外す必要があるのでしょうか。 $\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ のままでは、値の大きさも把握しにくく、他の式と足し引きもできません。 $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ の形にすれば、近似値の計算も容易ですし、分母の有理化にも活用できます。
✕ 誤：$\sqrt{(-3)^2} = -3$
○ 正：$\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 = |-3|$
$\sqrt{a^2} = |a|$ です。$a \geq 0$ のときは $\sqrt{a^2} = a$ ですが、$a < 0$ のときは $\sqrt{a^2} = -a$ です。 二重根号を外すとき、中身の正負の確認を怠ると符号を間違えます。
Section 1で見たように、二重根号を外すには「2乗して中身になる式」を見つけます。 ここでは、その手順を一般的な公式として整理しましょう。
$a > b > 0$ のとき
$$\sqrt{a + b + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
$$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$
$a > b > 0$ のとき、$\sqrt{a} > \sqrt{b} > 0$ です。
$(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + 2\sqrt{ab} + b = (a + b) + 2\sqrt{ab}$
$\sqrt{a} + \sqrt{b} > 0$ なので、両辺の正の平方根をとると
$$\sqrt{(a+b) + 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$$
同様に $(\sqrt{a} - \sqrt{b})^2 = (a + b) - 2\sqrt{ab}$
$\sqrt{a} - \sqrt{b} > 0$（$a > b$ より）なので
$$\sqrt{(a+b) - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$$
公式を覚えるだけでは使いこなせません。実際の問題では、次の手順で変形します。
手順：$\sqrt{A \pm 2\sqrt{B}}$ の形にする。そして「足して $A$、かけて $B$」になる2数 $p, q$ を見つける。
例1：$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$ を簡単にする。
$A = 5$, $B = 6$ です。足して $5$、かけて $6$ になる2数は $2$ と $3$。 よって
$$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}$$例2：$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ を簡単にする。
まず $2\sqrt{B}$ の形にします。$4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$。 よって $\sqrt{7 - 2\sqrt{12}}$。$A = 7$, $B = 12$。 足して $7$、かけて $12$ になる2数は $3$ と $4$。
$$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$$$\sqrt{7 - 4\sqrt{3}}$ のように、根号の前の係数が $2$ でないとき、まず $2\sqrt{B}$ の形に変形します。
$4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}$（つまり $4\sqrt{3} = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 2\sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{12}$）
この「$2\sqrt{B}$ に合わせる」一手間を忘れると、公式が使えません。 根号の前の係数を $2$ に揃えてから、和と積の2数を探す。これが定石です。
$\sqrt{3 + \sqrt{5}}$ のように、根号の前に係数がなく $2\sqrt{B}$ の形に直せないこともあります。 この場合は、式全体を $2$ 倍してから $\frac{1}{\sqrt{2}}$ を掛ける工夫をします。
$$\sqrt{3 + \sqrt{5}} = \sqrt{\frac{6 + 2\sqrt{5}}{2}} = \frac{\sqrt{6 + 2\sqrt{5}}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}$$$\sqrt{a + b - 2\sqrt{ab}} = \sqrt{a} - \sqrt{b}$ は $a > b > 0$（つまり $\sqrt{a} > \sqrt{b}$）のときに成り立ちます。
✕ 誤：$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{3} - \sqrt{4} = \sqrt{3} - 2$
○ 正：$\sqrt{7 - 2\sqrt{12}} = \sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}$
$\sqrt{4} > \sqrt{3}$ なので、大きい方から小さい方を引きます。 結果が負になったら、大小関係の確認を忘れている証拠です。 平方根の値は必ず $0$ 以上であることを思い出しましょう。
$\sqrt{a} + \sqrt{b}$ と $\sqrt{a} - \sqrt{b}$ は互いに共役な無理数です。 この2つの積は $(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$ と有理数になります。
大学数学では、$\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ のような体の拡大を学びます。 二重根号を外す操作は、拡大体の元をより単純な生成元で表す作業と見なせます。 高校で行っている計算は、実は代数学の重要な概念への入口なのです。
$3.14$ の整数部分は $3$、小数部分は $0.14$ です。では $\sqrt{5}$ の整数部分と小数部分は何でしょうか。 $\sqrt{5} = 2.236\ldots$ なので、整数部分は $2$ で、小数部分は $0.236\ldots$ ですが、 $0.236\ldots$ では正確な値がわかりません。
そこで、小数部分を「元の数 $-$ 整数部分」で表します。 $\sqrt{5}$ の小数部分は $\sqrt{5} - 2$ です。これなら正確な値です。
実数 $x$ の整数部分を $n$、小数部分を $\alpha$ とすると
$$n \leq x < n + 1 \quad (n \text{ は整数}), \qquad \alpha = x - n \quad (0 \leq \alpha < 1)$$
$\sqrt{5}$ の整数部分を求めるには、$\sqrt{5}$ を連続する2つの整数で挟みます。
$4 < 5 < 9$ より $\sqrt{4} < \sqrt{5} < \sqrt{9}$、つまり $2 < \sqrt{5} < 3$。整数部分は $2$。
ポイントは、$\sqrt{\phantom{x}}$ の中身を完全平方数（$1, 4, 9, 16, 25, \ldots$）で挟むことです。 これが「2乗して挟む」の意味です。
$\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の整数部分と小数部分を求めてみましょう。
まず分母を有理化します。
$$\frac{1}{\sqrt{5} - 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$$$2 < \sqrt{5} < 3$ より $4 < \sqrt{5} + 2 < 5$。よって整数部分は $4$、小数部分は $(\sqrt{5} + 2) - 4 = \sqrt{5} - 2$。
面白いことに、元の式 $\dfrac{1}{\sqrt{5} - 2}$ の小数部分が $\sqrt{5} - 2$ で、分母と同じ形になっています。 これは偶然ではなく、有理化が「逆数を取る」操作であることに由来します。
✕ 誤：$\sqrt{5}$ の小数部分は $0.236\ldots$
○ 正：$\sqrt{5}$ の小数部分は $\sqrt{5} - 2$
小数部分は「元の数 $-$ 整数部分」で正確に表します。 近似値の小数で書いてはいけません。$\sqrt{5} - 2$ のまま残すのが正解です。
整数部分 $n$ と小数部分 $\alpha$ がわかれば、$n$ と $\alpha$ を含む式の値を計算できます。 $\alpha = x - n$ なので、$x = n + \alpha$ の関係を使って式を整理するのが基本です。
例：$\sqrt{7}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a^2 + 2ab + 3b^2$ の値を求める。
$4 < 7 < 9$ より $2 < \sqrt{7} < 3$。よって $a = 2$、$b = \sqrt{7} - 2$。
$$a^2 + 2ab + 3b^2 = (a + b)^2 + 2b^2 = (\sqrt{7})^2 + 2(\sqrt{7} - 2)^2 = 7 + 2(7 - 4\sqrt{7} + 4) = 7 + 22 - 8\sqrt{7} = 29 - 8\sqrt{7}$$$a + b = \sqrt{7}$ という関係を利用すると、計算が楽になります。
整数部分を表す記号として、大学数学ではガウス記号 $[x]$（または床関数 $\lfloor x \rfloor$）を使います。 $[x]$ は「$x$ を超えない最大の整数」と定義されます。
例：$[3.7] = 3$、$[\pi] = 3$、$[-1.5] = -2$（$-1$ ではない！）
負の数のとき $[-1.5]$ が $-2$ であることに注意してください。 小数部分 $\{x\} = x - [x]$ は常に $0 \leq \{x\} < 1$ を満たすように定義されます。 整数論やコンピュータサイエンスで頻出する概念です。
$x = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ のとき $x^2 + \dfrac{1}{x^2}$ の値を求めよ──こうした問題では、 直接代入して計算するのは大変です。もっと賢い方法があります。
まず $x$ を有理化します。
$$x = \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$すると $\dfrac{1}{x} = \sqrt{3} + \sqrt{2}$ ですから
$$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{3} - \sqrt{2}) + (\sqrt{3} + \sqrt{2}) = 2\sqrt{3}$$これを利用して
$$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = (2\sqrt{3})^2 - 2 = 12 - 2 = 10$$$x^2 + \frac{1}{x^2}$、$x^3 + \frac{1}{x^3}$ などは、直接計算すると複雑ですが、 $x + \frac{1}{x}$ の値さえわかれば連鎖的に求められます。
$x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2$
$x^3 + \frac{1}{x^3} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^3 - 3\left(x + \frac{1}{x}\right)$
$x + \frac{1}{x}$ は対称式の基本量であり、ここを起点にすべてが導けます。
$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$、$y = \sqrt{5} - \sqrt{3}$ のとき、$x^2 + y^2$ の値を求めましょう。
直接2乗してもよいですが、対称式の基本量を求めてから計算するのが定石です。 $x$ と $y$ の対称式は $x + y$ と $xy$ で表せるからです。
$$x + y = 2\sqrt{5}, \qquad xy = (\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 5 - 3 = 2$$ $$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = (2\sqrt{5})^2 - 2 \cdot 2 = 20 - 4 = 16$$なぜ対称式を使うのでしょうか。$x + y$ と $xy$ は、根号を含む $x$ と $y$ から計算しても 比較的簡単な値になることが多いからです。 $x + y = 2\sqrt{5}$ では $\sqrt{3}$ が消え、$xy = 2$ では根号がすべて消えます。 この「打ち消し合い」を利用するのが対称式の強みです。
✕ 誤：$x = \sqrt{5} + \sqrt{3}$ をそのまま2乗して $x^2 = 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 8 + 2\sqrt{15}$、 同様に $y^2 = 8 - 2\sqrt{15}$、足して $16$。これでも正解にはなりますが…
○ 正：対称式の方法なら、$x + y$ と $xy$ を先に求め、$(x+y)^2 - 2xy = 20 - 4 = 16$ と 1行で終わります。直接計算は途中式が長くなるほどミスの確率が上がります。
原則：$x + y$ と $xy$ で表せる式は、基本量を先に求めてから計算する。
二重根号と有理化を組み合わせた問題も頻出です。たとえば、 $\dfrac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}}$ を簡単にするには、まず二重根号を外し、次に有理化します。
$$\frac{1}{\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}} = \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$$このように、二重根号→有理化の順で処理すれば、見た目が複雑な式も単純な形になります。
この記事では、二重根号・整数部分と小数部分・式の値という3つのテーマを扱いました。 一見バラバラに見えますが、実はすべて「根号を含む式の変形」という共通の技術で繋がっています。
| テーマ | 核心技術 | 使う場面 |
|---|---|---|
| 二重根号 | $(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2$ の逆 | 式の簡約化、値の大きさの把握 |
| 整数部分・小数部分 | 完全平方数で挟む | $\sqrt{\phantom{x}}$ を含む数の分解、式の値 |
| 式の値 | 有理化 + 対称式 | $x + \frac{1}{x}$ 型、$x + y$ と $xy$ 型 |
Q1. $\sqrt{11 + 2\sqrt{30}}$ の二重根号を外してください。
Q2. $\sqrt{9 - 4\sqrt{5}}$ を簡単にしてください。
Q3. $\sqrt{10}$ の整数部分と小数部分を求めてください。
Q4. 「対称式の基本量」とは何ですか？ なぜそれを先に求めるのが有利ですか？
Q5. $x = \sqrt{2} + 1$ のとき、$x + \dfrac{1}{x}$ の値を求めてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の式の二重根号を外して簡単にせよ。
(1) $\sqrt{8 + 2\sqrt{15}}$
(2) $\sqrt{11 - 4\sqrt{7}}$
(1) $\sqrt{3} + \sqrt{5}$
(2) $\sqrt{7} - 2$
方針：$2\sqrt{B}$ の形に合わせ、和と積の2数を探す。
(1) $A = 8$, $B = 15$。足して $8$、かけて $15$ → $3$ と $5$。
$\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{3} + \sqrt{5}$
(2) $4\sqrt{7} = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 2\sqrt{28}$。$A = 11$, $B = 28$。
足して $11$、かけて $28$ → $4$ と $7$。$\sqrt{7} > \sqrt{4} = 2$ なので
$\sqrt{11 - 2\sqrt{28}} = \sqrt{7} - \sqrt{4} = \sqrt{7} - 2$
$\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1}$ の整数部分を $a$、小数部分を $b$ とするとき、$a$ と $b$ の値を求めよ。
$a = 1$, $b = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
方針：分母を有理化してから、整数で挟む。
$\dfrac{1}{\sqrt{3} - 1} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2}$
$1 < \sqrt{3} < 2$ より $2 < \sqrt{3} + 1 < 3$、よって $1 < \dfrac{\sqrt{3} + 1}{2} < \dfrac{3}{2}$。
$1 < \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} < 1.5 < 2$ より整数部分 $a = 1$。
小数部分 $b = \dfrac{\sqrt{3}+1}{2} - 1 = \dfrac{\sqrt{3} - 1}{2}$
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$ の値を求めよ。
$2\sqrt{2}$
方針：各二重根号を外してから引き算する。
$\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}$：足して $5$、かけて $6$ → $2$ と $3$。$= \sqrt{2} + \sqrt{3}$
$\sqrt{5 - 2\sqrt{6}}$：$\sqrt{3} > \sqrt{2}$ より $= \sqrt{3} - \sqrt{2}$
$(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$
⚠️ 検算：$(2\sqrt{2})^2 = 8$。別解として全体を2乗すると、$(5+2\sqrt{6}) - 2\sqrt{(5+2\sqrt{6})(5-2\sqrt{6})} + (5-2\sqrt{6}) = 10 - 2\sqrt{25-24} = 10 - 2 = 8$。$\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。✓
$x = \dfrac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$, $y = \dfrac{\sqrt{7} - \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}}$ のとき、次の値を求めよ。
(1) $x + y$
(2) $x^2 + y^2$
(1) $5$
(2) $23$
方針：$x$ と $y$ は互いに逆数の関係。$x + y$ と $xy$ を基本量として求め、(2) は $(x+y)^2 - 2xy$ を使う。
まず $xy$ を確認：$xy = \dfrac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \dfrac{7-3}{7-3} = 1$
$x + y$ を求める。分母を有理化して
$x = \dfrac{(\sqrt{7}+\sqrt{3})^2}{(\sqrt{7}-\sqrt{3})(\sqrt{7}+\sqrt{3})} = \dfrac{10 + 2\sqrt{21}}{4} = \dfrac{5+\sqrt{21}}{2}$
$y = \dfrac{(\sqrt{7}-\sqrt{3})^2}{4} = \dfrac{10 - 2\sqrt{21}}{4} = \dfrac{5-\sqrt{21}}{2}$
$(1)$ $x + y = \dfrac{5+\sqrt{21}}{2} + \dfrac{5-\sqrt{21}}{2} = 5$
$(2)$ $x^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 25 - 2 = 23$