複雑な因数分解
─ 置き換え・最低次数整理・対称式

1複雑な因数分解の戦略 ─ 3つの武器

1-2で学んだ因数分解の基本公式（$a^2 - b^2$, $a^2 \pm 2ab + b^2$, $acx^2 + (ad+bc)x + bd$ など）だけでは対応できない式に出会うことがあります。 項数が多い、文字が複数ある、次数が高い ── そんなとき、闇雲に試すのではなく、戦略を持って攻めることが大切です。

複雑な因数分解に立ち向かう武器は、大きく分けて3つあります。

武器	使いどころ	核心のアイデア
置き換え	式の中に共通部分がある	共通部分を1つの文字に置き換え、見慣れた形に帰着
最低次数の文字で整理	2つ以上の文字を含む式	次数が最も低い文字について降べきに整理し、係数を因数分解
対称式・交代式の性質	文字を入れ替えても変わらない（or 符号だけ変わる）式	対称性から因数を予測する

まずは全体像を把握しましょう。以下のフローチャートが因数分解の方針を決める指針になります。

2置き換えによる因数分解 ─ 共通部分を見抜く

式の中に同じかたまり（共通部分）が繰り返し現れるとき、そのかたまりを1つの文字に置き換えると、式が簡潔になり、基本公式が適用できるようになります。

これは2-2で学ぶ「おき換え」と同じ発想です。因数分解でも、式を「見やすい形に着替えさせる」のが置き換えの役割です。

共通部分の置き換え

たとえば $(x^2 - 3y)^2 - 5(x^2 - 3y) + 6$ を因数分解してみましょう。 $x^2 - 3y$ という共通部分が2回現れています。そこで $t = x^2 - 3y$ とおくと：

$$t^2 - 5t + 6 = (t - 2)(t - 3)$$

$t$ を元に戻すと $(x^2 - 3y - 2)(x^2 - 3y - 3)$ です。 置き換えなしで展開してから因数分解するよりも、はるかに簡潔に答えにたどり着けます。

複2次式の因数分解

$x^4 + bx^2 + c$ のように、$x^4$ と $x^2$ と定数項だけからなる式を複2次式と呼びます。 $x^2 = t$ とおけば $t^2 + bt + c$ という $t$ の2次式に帰着できます。

たとえば $x^4 - 5x^2 + 4$ を因数分解しましょう。$t = x^2$ とおくと：

$$t^2 - 5t + 4 = (t - 1)(t - 4)$$

$t$ を元に戻すと $(x^2 - 1)(x^2 - 4)$。さらに各因数が $a^2 - b^2$ の形なので：

$$(x+1)(x-1)(x+2)(x-2)$$

複2次式で置き換えが効かない場合 ── 平方の差を作る

$x^4 + 4x^2 + 16$ を因数分解してみましょう。$t = x^2$ とおくと $t^2 + 4t + 16$ ですが、 これは $t$ の2次式として因数分解できません（判別式 $16 - 64 < 0$）。

このとき使うのが、適切な項を加えて引き、$A^2 - B^2$ の形を作るテクニックです。

$$x^4 + 4x^2 + 16 = (x^4 + 8x^2 + 16) - 4x^2 = (x^2 + 4)^2 - (2x)^2$$

$A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$ を適用して：

$$(x^2 + 2x + 4)(x^2 - 2x + 4)$$

ポイントは、$x^4 + 16 = (x^2)^2 + 4^2$ に着目し、$(x^2 + 4)^2 = x^4 + 8x^2 + 16$ を作るために $4x^2$ を加えて引いたことです。「完全平方式にするには何が足りないか」を考えるのがコツです。

3最低次数の文字で整理する ─ 多変数式の定石

2つ以上の文字を含む式を因数分解するとき、最も確実な方法が 最低次数の文字について整理することです。

なぜ「最低次数」なのでしょうか？　次数が低い文字について整理すれば、 その文字は1次式（$Ax + B$ の形）にしかならないことが多く、 係数 $A$ と $B$ を因数分解するだけで全体の因数分解が完了するからです。

具体例1：$a$ が1次の場合（最低次数で整理）

$a^2b + a^2c - b - c$ を因数分解してみましょう。 各文字の次数を確認すると、$a$ は2次、$b$ は1次、$c$ は1次です。 最低次数は $b$ と $c$ で、どちらも1次。ここでは $b$ について整理してみます。

$$a^2b + a^2c - b - c = (a^2 - 1)b + (a^2c - c) = (a^2 - 1)b + c(a^2 - 1)$$

共通因数 $(a^2 - 1)$ が出てきました！

$$(a^2 - 1)(b + c) = (a + 1)(a - 1)(b + c)$$

$b$ が1次だったので、$b$ で整理すると「$b$ の係数」と「定数項」に同じ因数 $(a^2 - 1)$ が現れ、 一発でくくり出せました。これが「最低次数の文字で整理する」ことの威力です。

具体例2：$x$ が2次の場合（たすき掛け）

$x^2 + 2xy + y^2 - x - y - 2$ を因数分解してみましょう。 $x$, $y$ ともに2次です。$x$ について整理します：

$$x^2 + (2y - 1)x + (y^2 - y - 2)$$

これは $x$ の2次式。定数項 $y^2 - y - 2 = (y-2)(y+1)$ を因数分解すると：

$$x^2 + (2y - 1)x + (y - 2)(y + 1)$$

たすき掛けの要領で、$(y - 2) + (y + 1) = 2y - 1$ が $x$ の係数と一致するので：

$$(x + y - 2)(x + y + 1)$$

4対称式・交代式の因数分解

$a$, $b$, $c$ を含む式で、どの2つの文字を入れ替えても式が変わらないものを 対称式と呼びます。 一方、どの2つの文字を入れ替えると符号だけが変わるものを 交代式と呼びます。

たとえば、$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2$ は対称式です。$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2a + ba^2 + a^2c + ac^2 + c^2b + cb^2$ となり、項の順番が変わるだけで式としては同じです。

一方、$(a - b)(b - c)(c - a)$ は交代式です。$a$ と $b$ を入れ替えると $(b - a)(a - c)(c - b) = -(a - b) \cdot (-(c - a)) \cdot (-(b - c))$。 符号を整理すると $-(a-b)(b-c)(c-a)$ となり、元の式の $-1$ 倍です。

対称式の因数分解の手順

対称式の因数分解でも、基本戦略は1つの文字について整理することです。 対称性があるので、どの文字で整理しても同じ結果が得られます。

$a^2(b - c) + b^2(c - a) + c^2(a - b)$ を因数分解してみましょう。 この式は、$a$ と $b$ を入れ替えると $b^2(a - c) + a^2(c - b) + c^2(b - a) = -(a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b))$ となるので、交代式です。

$a$ について整理すると：

$$a^2(b - c) - a(b^2 - c^2) + bc(b - c)$$

$(b - c)$ が共通因数としてくくれます：

$$(b - c)\{a^2 - a(b + c) + bc\} = (b - c)(a^2 - ab - ac + bc)$$

$\{\}$ の中を $a$ について因数分解すると $a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$。よって：

$$(a - b)(b - c)(a - c) = -(a - b)(b - c)(c - a)$$

対称式の因数分解の具体例

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 2abc$ を因数分解しましょう。 $a$ について整理します：

$$(b + c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2)a + bc(b + c)$$

$b^2 + 2bc + c^2 = (b + c)^2$ なので：

$$(b + c)a^2 + (b + c)^2 a + bc(b + c) = (b + c)\{a^2 + (b + c)a + bc\}$$

$\{\}$ の中は $a^2 + (b + c)a + bc = (a + b)(a + c)$。よって：

$$(a + b)(b + c)(c + a)$$

結果が対称式になっていることを確認しましょう。$(a+b)$, $(b+c)$, $(c+a)$ の3つの因数が巡回的に現れており、 確かに対称式です。

5この章を俯瞰する

第1章「数と式」で学んだ内容を振り返り、因数分解がどのように他の単元とつながっているかを確認しましょう。

因数分解の武器 総整理

手法	適用条件	キーとなるアイデア
基本公式（1-2）	2次以下、1変数	$a^2 \pm 2ab + b^2$, $a^2 - b^2$, たすき掛け
置き換え	共通部分がある式	共通部分を $t$ に置き換えて公式に帰着
平方の差を作る	複2次式で $t$ 置き換え不可	$A^2 - B^2$ の形に持ち込む
最低次数整理	多変数の式	最低次数の文字で整理し、係数を因数分解
対称式・交代式	文字の入れ替えで不変/符号変化	因数の対称性から候補を予測

つながりマップ

• ← 1-1 整式の加法・減法と乗法：展開公式を「右から左に」読めば因数分解の公式。展開と因数分解は表裏一体の関係。
• ← 1-2 因数分解：基本公式（$a^2 - b^2$, たすき掛けなど）がすべての出発点。本記事の「複雑な因数分解」は、基本公式を道具として使いこなす応用編。
• → 1-3 実数と平方根：分母の有理化で因数分解の技法（$a^2 - b^2$ など）を活用する。
• → 2-3 2次方程式：因数分解は2次方程式を解く最も基本的な方法。「$AB = 0$ ならば $A = 0$ または $B = 0$」が原理。
• → 2-4 2次不等式：因数分解した形からグラフの零点を読み取り、不等式の解を判定する。

📋まとめ

• 複雑な因数分解の3つの武器は「置き換え」「最低次数整理」「対称式・交代式の性質」
• 置き換え：式の中の共通部分を $t$ に置き換え、基本公式に帰着する。元に戻した後、さらに因数分解できないか確認
• 複2次式（$ax^4 + bx^2 + c$）は $t = x^2$ で2次式に帰着。置き換えで不可なら平方の差 $A^2 - B^2$ を作る
• 多変数式は最低次数の文字について整理する。次数が低い文字ほど扱いやすい
• 対称式（文字を入れ替えても不変）は、$a + b$ が因数なら $b + c$, $c + a$ も因数
• 交代式（文字を入れ替えると符号が変わる）は、$(a - b)(b - c)(c - a)$ を必ず因数に持つ

8入試問題演習

この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。

A 基礎レベル

B 発展レベル