$x^2$ の係数が1でない2次式の因数分解は、試行錯誤が必要で苦手とする人が多いテーマです。
「たすき掛け」の図式は、その試行錯誤を整理する道具にすぎません。原理を理解すれば、恐れるに足りません。
1-4で学んだ因数分解の公式では、$x^2$ の係数が1の場合を扱いました。 $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$ のように、「足して5、掛けて6」になる2数を見つければよかったのです。
しかし、$2x^2 + 7x + 3$ のように $x^2$ の係数が1でない 場合はどうでしょうか。 $(2x + \text{?})(x + \text{?})$ のような形になるはずですが、 「足して7、掛けて3」だけでは答えが見つかりません。
そもそも、$(ax+b)(cx+d)$ を展開するとどうなるでしょうか。
$$(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd$$ここで注目すべきは、$x$ の係数が $ad + bc$ という形になることです。 これは $a, b, c, d$ の4つの数が絡み合った式で、単純な「足し算・掛け算」では処理できません。
展開公式 $(ax+b)(cx+d) = acx^2 + (ad+bc)x + bd$ を「逆に読む」のがたすき掛けです。
与えられた $acx^2 + (ad+bc)x + bd$ から、もとの $a, b, c, d$ を見つけ出す作業です。 $ac$（$x^2$ の係数）と $bd$（定数項）の分解は簡単ですが、 問題は $ad + bc$（$x$ の係数）が合うかどうか です。
「たすき掛け」の図式は、$ad$ と $bc$ を視覚的に計算するための道具にすぎません。 本質は「$(ax+b)(cx+d)$ の展開結果を逆算している」ことです。
つまり、$Ax^2 + Bx + C$ を因数分解するとは、 $ac = A$、$bd = C$、$ad + bc = B$ を同時に満たす4つの整数 $a, b, c, d$ を見つけることです。 これは一種の「数当てパズル」であり、体系的に試す方法が たすき掛け なのです。
$x^2 + 5x + 6$ を因数分解するのにたすき掛けは不要です。
✕ 非効率：たすき掛けの図式を書いて $a=1, c=1$ として計算する
○ 効率的：「足して5、掛けて6」→ $2$ と $3$ → $(x+2)(x+3)$
$x^2$ の係数が1のとき、$a = c = 1$ なので $ad + bc = d + b$ に簡略化されます。 つまり「足して $B$、掛けて $C$」の公式そのものです。 たすき掛けは $x^2$ の係数が1でないときに使うと覚えてください。
「たすき」とは、和装の際に袖を束ねるために肩から斜めに交差させて掛ける紐のことです。 図式で $a$ と $d$、$b$ と $c$ を斜めに掛け合わせることが、 紐が交差する「たすき」の形に似ていることから、この名前がつきました。
英語圏では同様の操作を "cross-multiplication method" や "AC method" と呼びます。 名前は違えど、$(ax+b)(cx+d)$ の展開を逆算するという本質は同じです。
たすき掛けの原理はわかりました。では、具体的にどう使うのか、手順を確認しましょう。 $6x^2 + 13x + 5$ を因数分解してみます。
$acx^2 + (ad+bc)x + bd = (ax+b)(cx+d)$
手順：
Step 1. $x^2$ の係数 $ac$ を2数の積に分解する（$a$ と $c$ の候補を列挙）
Step 2. 定数項 $bd$ を2数の積に分解する（$b$ と $d$ の候補を列挙）
Step 3. 斜めに掛けて（たすき掛け）、$ad + bc$ が $x$ の係数に一致する組を見つける
Step 4. 見つかった $a, b, c, d$ で $(ax+b)(cx+d)$ と書く
Step 1：$x^2$ の係数 $6$ の分解 → $(a, c) = (1, 6)$ または $(2, 3)$
Step 2：定数項 $5$ の分解 → $(b, d) = (1, 5)$ または $(5, 1)$
（定数項が正で $x$ の係数も正なので、$b, d$ はともに正）
Step 3：たすき掛けで $ad + bc = 13$ になる組を探す。
$(a, c) = (1, 6)$ のとき：
・$b=1, d=5$：$ad + bc = 1 \times 5 + 1 \times 6 = 11$ （不一致）
・$b=5, d=1$：$ad + bc = 1 \times 1 + 5 \times 6 = 31$ （不一致）
$(a, c) = (2, 3)$ のとき：
・$b=1, d=5$：$ad + bc = 2 \times 5 + 1 \times 3 = 13$ （一致!）
Step 4：$a=2, b=1, c=3, d=5$ より
$$6x^2 + 13x + 5 = (2x + 1)(3x + 5)$$
検算：$(2x+1)(3x+5) = 6x^2 + 10x + 3x + 5 = 6x^2 + 13x + 5$ ✓
上の計算を図式で表すと、次のようになります。 左の2列に $a, c$ と $b, d$ を書き、斜めに掛けた $ad$ と $bc$ を右に書きます。
| $2$ | $1$ | → | $2 \times 5 = 10$ | |
| $\LARGE\times$ | ||||
| $3$ | $5$ | → | $3 \times 1 = 3$ | |
| ──── | ||||
| $ad + bc =$ | $\boldsymbol{13}$ ✓ | |||
左の列が $a = 2, c = 3$（$x^2$ の係数 $6 = 2 \times 3$）、 右の列が $b = 1, d = 5$（定数項 $5 = 1 \times 5$）です。 斜めに掛けた $ad = 10$ と $bc = 3$ の和が $x$ の係数 $13$ に一致するので、成功です。
たすき掛けの図式を見たとき、「なんとなく斜めに掛ける」で終わらないでください。
この図式は、$(ax+b)(cx+d)$ を展開したときの $x$ の係数 $ad + bc$ を 素早く計算・確認するための道具です。
$ac$（$x^2$ の係数）と $bd$（定数項）は分解から自動的に決まります。 あとは $ad + bc$ が合うかどうかだけ。 図式はその確認を視覚的に行うためのものです。
今度は $x$ の係数が負の場合を見てみましょう。$2x^2 - 7x + 3$ を因数分解します。
$x^2$ の係数 $2 = 2 \times 1$。定数項 $3 = 1 \times 3$。 $x$ の係数が $-7$（負）で、定数項が $+3$（正）なので、$b, d$ はともに負です。
| $2$ | $-1$ | → | $2 \times (-3) = -6$ | |
| $\LARGE\times$ | ||||
| $1$ | $-3$ | → | $1 \times (-1) = -1$ | |
| ──── | ||||
| $ad + bc =$ | $\boldsymbol{-7}$ ✓ | |||
よって $2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3)$ です。
✕ 誤解：「$(a, c)$ の上下を入れ替えたら、別の答えになるのでは？」
○ 正：$(a, c) = (2, 1)$ を $(1, 2)$ に入れ替え、 それに合わせて $(b, d)$ も調整すると、$(x-3)(2x-1)$ となり同じ答えです。 上下の入れ替えは、掛け算の順序を変えたにすぎません。
ただし、$a, c$ は正の数の組に固定するのが効率的です。 負の符号は $b, d$ 側で処理しましょう。
因数分解にはさまざまな手法があります。たすき掛けは万能ではありません。 「いつ使うべきか」を明確にしておくことが大切です。
2次式 $Ax^2 + Bx + C$ を因数分解するとき、次の順序で考えます。
Step 1：共通因数はあるか？ → あれば先にくくり出す
Step 2：公式（和の平方、差の平方、和と差の積）に当てはまるか？
Step 3：$A = 1$ なら「足して $B$、掛けて $C$」
Step 4：$A \neq 1$ ならたすき掛け
たすき掛けは「最後の手段」ではなく、$x^2$ の係数が1でない2次式の標準手法です。
| 場面 | 理由 | 代わりに使う手法 |
|---|---|---|
| 共通因数がある | 先にくくり出さないと、たすき掛けが複雑になる | 共通因数をくくり出す |
| $x^2$ の係数が1 | $a = c = 1$ なので「足して $B$、掛けて $C$」で十分 | 基本公式 |
| 公式に当てはまる | $4x^2 + 4x + 1 = (2x+1)^2$ のような完全平方式 | 乗法公式の逆利用 |
| 整数で因数分解できない | $2x^2 + 3x + 2$ のように、整数の $a,b,c,d$ が存在しない場合 | 解の公式（2次方程式） |
$4x^2 + 6x + 2$ を因数分解するとき：
✕ 誤：いきなりたすき掛けを始め、$(2x+1)(2x+2)$ と答える
○ 正：まず共通因数 $2$ をくくり出す。$2(2x^2 + 3x + 1) = 2(2x+1)(x+1)$
共通因数を見落とすと、$(2x+2)$ の中にまだ $2$ でくくれる部分が残ります。 因数分解は「これ以上分解できない」ところまでやるのが原則です。 たすき掛けの前に、必ず共通因数チェックをしてください。
$x^2 - 5xy + 6y^2$ のような2変数の式も、$x$ について整理すれば 「$x$ の2次式」とみなしてたすき掛けを適用できます。 ただし、この例は $x^2$ の係数が1なので「足して $-5y$、掛けて $6y^2$」で $-2y$ と $-3y$ を見つければ十分です。
一方、$6x^2 - 7xy - 24y^2$ のように $x^2$ の係数が1でない場合は、 $y$ を定数とみなして $x$ についてたすき掛けを行います。
$y$ を定数とみなすと、$x^2$ の係数は $6$、定数項は $-24y^2$ です。
コツ：まず $y$ を無視して $6x^2 - 7x - 24$ の因数分解を考え、あとから $y$ を付け加えます。
$6 = 2 \times 3$、$-24 = 3 \times (-8)$ として：
$ad + bc = 2 \times (-8) + 3 \times 3 = -16 + 9 = -7$ ✓
よって $6x^2 - 7x - 24 = (2x + 3)(3x - 8)$
$y$ を戻すと：$6x^2 - 7xy - 24y^2 = (2x + 3y)(3x - 8y)$
3文字以上の式（例えば $x, y, z$）を因数分解するとき、どの文字で整理するかが重要です。
✕ 非効率：最も高い次数の文字で整理してしまう
○ 効率的：最も低い次数の文字について整理する。 低い次数の文字で整理すれば、定数項（残りの文字の式）が因数分解しやすくなり、 たすき掛けの候補が絞りやすくなります。
たすき掛けの最大の弱点は、「候補が多すぎると試行回数が増える」ことです。 しかし、いくつかのテクニックを使えば、試す組み合わせを大幅に減らせます。
原則1：$a, c$ は正の数のみ考える
$x^2$ の係数にあたる $a, c$ は正の数の組だけ考え、$0 < a \leq c$ と決めます。 負の符号はすべて $b, d$ 側で処理します。
原則2：横に並ぶ数が公約数をもつ組は除外する
例えば $(a, b) = (2, 4)$ の組は不要です。もしそうなら $(2x+4) = 2(x+2)$ のように くくり出せてしまい、もとの式にも共通因数 $2$ があるはずだからです。
原則3：符号のパターンを先に絞る
定数項の符号と $x$ の係数の符号から、$b, d$ の符号パターンが絞れます。
$Ax^2 + Bx + C$（$A > 0$）を $(ax+b)(cx+d)$ と因数分解するとき、 $b, d$ の符号は次のように絞れます。
| 定数項 $C$ の符号 | $x$ の係数 $B$ の符号 | $b, d$ の符号 |
|---|---|---|
| $C > 0$ | $B > 0$ | $b > 0, \, d > 0$（ともに正） |
| $C > 0$ | $B < 0$ | $b < 0, \, d < 0$（ともに負） |
| $C < 0$ | $B > 0$ | 異符号（絶対値の大きい方が正側） |
| $C < 0$ | $B < 0$ | 異符号（絶対値の大きい方が負側） |
なぜこのようになるかは明快です。$bd = C$ なので、$C > 0$ なら $b, d$ は同符号、$C < 0$ なら異符号です。 また $ad + bc = B$ の符号は、$b, d$ の「大きい方の影響」で決まります。
$x^2$ の係数 $6$、定数項 $-2$ なので、理論的には次の組み合わせが考えられます。
$(a, c)$：$(1, 6)$ または $(2, 3)$
$(b, d)$：$(\pm 1, \mp 2)$ または $(\pm 2, \mp 1)$（定数項が負なので異符号）
全部で $2 \times 4 = 8$ 通りですが、次のように絞ります。
原則2を適用：$(a, b) = (2, 2)$ や $(a, b) = (2, -2)$ は横の2数が公約数2をもつので除外。 同様に $(a, b) = (6, 2)$ なども除外。これだけで候補は半分以下に減ります。
残った候補を試すと、$(a, c) = (2, 3)$、$(b, d) = (-1, 2)$ で $ad + bc = 2 \times 2 + (-1) \times 3 = 4 - 3 = 1$ ✓
よって $6x^2 + x - 2 = (2x - 1)(3x + 2)$ です。
もう1つ、上級テクニックとして偶奇（偶数・奇数）の判定があります。 $x$ の係数 $B$ が奇数のとき、$ad + bc = B$ が奇数になるためには、 $ad$ と $bc$ の一方が偶数、他方が奇数でなければなりません。 この条件で候補をさらに絞ることができます。
整数の世界では、すべての整数が素数の積に分解できます（算術の基本定理）。 多項式の世界にも同様の定理があり、すべての多項式は既約多項式（これ以上因数分解できない多項式）の積に 一意に分解できます。
たすき掛けは「$\mathbb{Z}[x]$（整数係数の多項式の環）における因数分解」を 手計算で行う方法です。大学の代数学では、これを環論の枠組みで体系化します。 高校で身につける「整数の組み合わせを探す」という感覚は、 代数学の基礎体力になります。
たすき掛けは、第1章「数と式」で学ぶ因数分解の技法の1つです。 ここまで学んだ因数分解の手法を整理し、全体像を確認しましょう。
| 手法 | 使う場面 | ポイント |
|---|---|---|
| 共通因数 | 全項に共通する因数がある | 他の手法より先に必ず確認 |
| 乗法公式の逆 | $(a+b)^2$、$(a-b)^2$、$(a+b)(a-b)$ の形 | 係数の平方関係を見抜く |
| 足して・掛けて | $x^2 + Bx + C$（$x^2$ の係数が1） | 足して $B$、掛けて $C$ の2数 |
| たすき掛け | $Ax^2 + Bx + C$（$A \neq 1$） | $ad + bc = B$ の検算 |
| 最低次数の文字で整理 | 3文字以上の多項式 | 整理後に共通因数 or たすき掛け |
Q1. $3x^2 + 10x + 3$ を因数分解してください。
Q2. $2x^2 - 9x + 4$ を因数分解してください。
Q3. たすき掛けで「横に並ぶ数が1以外の公約数をもつ組は除外してよい」のはなぜですか？
Q4. $6x^2 + x - 1$ を因数分解してください。
Q5. $4x^2 + 6x + 2$ を因数分解するとき、最初にすべきことは何ですか？
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の式を因数分解せよ。
(1) $3x^2 + 5x + 2$
(2) $6x^2 - 11x + 4$
(1) $(x + 1)(3x + 2)$
(2) $(2x - 1)(3x - 4)$
(1) $3x^2 + 5x + 2$
方針：$x^2$ の係数が $3$ なのでたすき掛けを利用する。
$3 = 1 \times 3$、$2 = 1 \times 2$。
$(a, c) = (1, 3)$、$(b, d) = (1, 2)$ のとき、$ad + bc = 1 \times 2 + 1 \times 3 = 5$ ✓
よって $3x^2 + 5x + 2 = (x + 1)(3x + 2)$
(2) $6x^2 - 11x + 4$
方針：定数項が正、$x$ の係数が負なので $b, d$ はともに負。
$6 = 2 \times 3$、$4 = 1 \times 4$。
$(a, c) = (2, 3)$、$(b, d) = (-1, -4)$ のとき、$ad + bc = 2 \times (-4) + (-1) \times 3 = -11$ ✓
よって $6x^2 - 11x + 4 = (2x - 1)(3x - 4)$
次の式を因数分解せよ。
(1) $2x^2 + xy - 6y^2$
(2) $8x^2 - 2xy - 3y^2$
(1) $(x + 2y)(2x - 3y)$
(2) $(2x + y)(4x - 3y)$
(1) $2x^2 + xy - 6y^2$
方針：$y$ を定数とみなし、$x$ の2次式としてたすき掛け。定数項 $-6y^2$ が負なので異符号。
$y$ を無視して $2x^2 + x - 6$ を考える。$2 = 1 \times 2$、$-6 = 2 \times (-3)$。
$(a, c) = (1, 2)$、$(b, d) = (2, -3)$ のとき、$ad + bc = 1 \times (-3) + 2 \times 2 = 1$ ✓
$y$ を戻して $2x^2 + xy - 6y^2 = (x + 2y)(2x - 3y)$
(2) $8x^2 - 2xy - 3y^2$
方針：同様に $y$ を無視して $8x^2 - 2x - 3$ を因数分解。$8 = 2 \times 4$、$-3 = 1 \times (-3)$。
$(a, c) = (2, 4)$、$(b, d) = (1, -3)$ のとき、$ad + bc = 2 \times (-3) + 1 \times 4 = -2$ ✓
$y$ を戻して $8x^2 - 2xy - 3y^2 = (2x + y)(4x - 3y)$
次の式を因数分解せよ。
(1) $ax^2 - (a+2)x + 2$
(2) $2x^2 + (3a+1)x + a(a+1)$
(1) $(x - 1)(ax - 2)$
(2) $(2x + a)(x + a + 1)$ ただし $(x + a)(2x + a + 1)$ も正しい
(1) $ax^2 - (a+2)x + 2$
方針：$x^2$ の係数 $a$ と定数項 $2$ をそれぞれ分解してたすき掛け。
$x^2$ の係数：$a = a \times 1$。定数項：$2 = 1 \times 2$。$x$ の係数が $-(a+2)$ で負、定数項が正なので $b, d$ はともに負。
$(a, c) = (a, 1)$、$(b, d) = (-2, -1)$ として：
$ad + bc = a \times (-1) + (-2) \times 1 = -a - 2 = -(a + 2)$ ✓
よって $ax^2 - (a+2)x + 2 = (ax - 2)(x - 1)$
検算：$(ax-2)(x-1) = ax^2 - ax - 2x + 2 = ax^2 - (a+2)x + 2$ ✓
(2) $2x^2 + (3a+1)x + a(a+1)$
方針：$x^2$ の係数 $2 = 2 \times 1$。定数項 $a(a+1) = a \times (a+1)$ と分解。
$(a, c) = (2, 1)$、$(b, d) = (a, a+1)$ として：
$ad + bc = 2 \times (a+1) + a \times 1 = 2a + 2 + a = 3a + 2$（不一致）
$(b, d) = (a+1, a)$ として：
$ad + bc = 2 \times a + (a+1) \times 1 = 2a + a + 1 = 3a + 1$ ✓
よって $2x^2 + (3a+1)x + a(a+1) = (2x + a + 1)(x + a)$
検算：$(2x+a+1)(x+a) = 2x^2 + 2ax + (a+1)x + a(a+1) = 2x^2 + (3a+1)x + a(a+1)$ ✓
次の式を因数分解せよ。
(1) $x^2 - 5xy + 5x + 6y^2 - 11y + 4$
(2) $2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6$
(1) $(x - 2y + 1)(x - 3y + 4)$
(2) $(x - 3y + 2)(2x + y - 3)$
(1) $x^2 - 5xy + 5x + 6y^2 - 11y + 4$
方針：$x$ について整理し、$x$ の2次式とみなす。$x^2$ の係数が $1$ なので「足して・掛けて」を使う。
$= x^2 + (-5y + 5)x + (6y^2 - 11y + 4)$
定数項 $6y^2 - 11y + 4$ をたすき掛けで因数分解する。
$6 = 2 \times 3$、$4 = 1 \times 4$。$(2, 3)$ と $(-1, -4)$ で $ad + bc = 2 \times (-4) + (-1) \times 3 = -11$ ✓
$6y^2 - 11y + 4 = (2y - 1)(3y - 4)$
全体を $x$ の2次式として：$x^2 + (-5y + 5)x + (2y - 1)(3y - 4)$
「足して $-5y + 5$、掛けて $(2y-1)(3y-4)$」の2数は $(-2y + 1)$ と $(-3y + 4)$
$(-2y + 1) + (-3y + 4) = -5y + 5$ ✓
よって $(x - 2y + 1)(x - 3y + 4)$
(2) $2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6$
方針：$x$ について整理する。$x^2$ の係数が $2$ なのでたすき掛けを使う。
$= 2x^2 + (-5y + 1)x + (-3y^2 + 11y - 6)$
定数項 $-3y^2 + 11y - 6 = -(3y^2 - 11y + 6)$ を因数分解する。
$3y^2 - 11y + 6$：$(a, c) = (1, 3)$、$(b, d) = (-2, -3)$ で $ad + bc = 1 \times (-3) + (-2) \times 3 = -9$（不一致）
$(b, d) = (-3, -2)$ で $ad + bc = 1 \times (-2) + (-3) \times 3 = -11$ ✓
$3y^2 - 11y + 6 = (y - 3)(3y - 2)$
よって定数項 $= -(y-3)(3y-2) = (-y + 3)(3y - 2) = (3-y)(3y-2)$
全体を $x$ の2次式としてたすき掛け：$2x^2 + (-5y+1)x + (3-y)(3y-2)$
$(a, c) = (1, 2)$、$(b, d) = (-3y+2, 3-y)$ と試す。$(b, d) = (3-y, -3y+2)$ として
$ad + bc = 1 \times (-3y+2) + (3-y) \times 2 = -3y + 2 + 6 - 2y = -5y + 8$（不一致）
$(b, d) = (-3y+2, 3-y)$：$ad + bc = 1 \times (3-y) + (-3y+2) \times 2 = 3 - y - 6y + 4 = -7y + 7$（不一致）
$(a, c) = (2, 1)$、$(b, d) = (-(3y-2), -(y-3)) = (-3y+2, -y+3)$ として：
$ad + bc = 2 \times (-y+3) + (-3y+2) \times 1 = -2y + 6 - 3y + 2 = -5y + 8$（不一致）
$(b, d) = (-y+3, -3y+2)$：$ad + bc = 2 \times (-3y+2) + (-y+3) \times 1 = -6y + 4 - y + 3 = -7y + 7$（不一致）
別の分解を試す。$(3-y)(3y-2)$ の符号を変えて $(-3+y)(-(3y-2)) = (y-3)(2-3y)$ とし：
$(a, c) = (1, 2)$、$(b, d) = (-3y+2, y-3)$：$ad + bc = (y-3) + 2(-3y+2) = y - 3 - 6y + 4 = -5y + 1$ ✓
よって $(x - 3y + 2)(2x + y - 3)$
検算：$(x-3y+2)(2x+y-3) = 2x^2 + xy - 3x - 6xy - 3y^2 + 9y + 4x + 2y - 6$
$= 2x^2 - 5xy - 3y^2 + x + 11y - 6$ ✓