2次の乗法公式をマスターしたら、次は3次の世界へ。
さらに「置き換え」のテクニックを身につければ、どんなに複雑な式も乗法公式に帰着できます。
1-1で学んだ2次の乗法公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ や $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ は、 2つの項の「2乗」に関する公式でした。 では、指数が3になったらどうなるでしょうか？
3次の乗法公式は全部で4つあります。大きく分けると次の2グループです。
この2グループは名前が似ていて紛らわしいですが、やっていることが正反対です。 前者は「累乗を展開」、後者は「因数分解の逆（＝展開の確認）」。 両方をセットで覚えると、展開と因数分解の両方向で使えます。
2次の公式 $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の係数は $1, 2, 1$ です。 3次の公式 $(a+b)^3$ の係数は $1, 3, 3, 1$ になります。
これは偶然ではありません。パスカルの三角形の各行が、 $(a+b)^n$ の展開係数を与えているのです。
つまり、2次の公式と3次の公式は別物ではなく、同じ原理（二項展開）の異なる段階です。 「暗記すべき公式が増えた」のではなく、「1つの原理がより広い範囲に適用できるようになった」と考えましょう。
数学IIで学ぶ二項定理によれば、$(a+b)^n$ の展開係数は 二項係数 ${}_nC_k$ で与えられます。
$n = 2$：${}_2C_0, {}_2C_1, {}_2C_2 = 1, 2, 1$（2次の公式の係数）
$n = 3$：${}_3C_0, {}_3C_1, {}_3C_2, {}_3C_3 = 1, 3, 3, 1$（3次の公式の係数）
$n = 4$ なら $1, 4, 6, 4, 1$ となり、$(a+b)^4$ の展開もすぐにわかります。 3次の公式を「パターンの一部」として見ることで、暗記の負担を大幅に減らせます。
まず、$(a+b)^3$ を展開してみましょう。 $(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$ と分解して、すでに知っている2次の公式を利用します。
$(a+b)^3 = (a+b) \cdot (a+b)^2$
$= (a+b)(a^2 + 2ab + b^2)$
$= a \cdot (a^2 + 2ab + b^2) + b \cdot (a^2 + 2ab + b^2)$
$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$
$= a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
同類項をまとめると、$2a^2b + a^2b = 3a^2b$、$ab^2 + 2ab^2 = 3ab^2$ です。
$(a-b)^3$ は、上の結果で $b$ を $-b$ に置き換えれば得られます。 $(a + (-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
$$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$
$$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$
$(2x + 3y)^3$ を展開してみましょう。$a = 2x$, $b = 3y$ として公式に代入します。
$(2x+3y)^3 = (2x)^3 + 3(2x)^2(3y) + 3(2x)(3y)^2 + (3y)^3$
$= 8x^3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 3y + 3 \cdot 2x \cdot 9y^2 + 27y^3$
$= 8x^3 + 36x^2y + 54xy^2 + 27y^3$
✕ 誤：$(2x)^3 = 2x^3$
○ 正：$(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$
$a = 2x$ のとき、$a^3$ は「$2x$ 全体を3乗する」ので $(2x)^3 = 8x^3$ です。 係数も一緒に累乗することを忘れると、答えの係数が全く違ってしまいます。 特に $(3y)^2 = 9y^2$、$(3y)^3 = 27y^3$ なども同様に注意が必要です。
$(a+b)^3$ と $(a-b)^3$ で混乱しやすいのは符号です。シンプルな覚え方があります。
$(a+b)^3$：すべての項が $+$。$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a-b)^3$：$b$ が奇数個含まれる項だけ $-$。$a^3 \textcolor{red}{-} 3a^2b + 3ab^2 \textcolor{red}{-} b^3$
なぜなら、$b$ を $-b$ に置き換えたとき、$(-b)$ が奇数回かかる項だけ符号が反転するからです。 $(-b)^1 = -b$（反転）、$(-b)^2 = b^2$（変わらず）、$(-b)^3 = -b^3$（反転）。
✕ 誤：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b - 3ab^2 - b^3$（第3項も $-$）
○ 正：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$（第3項は $+$）
第3項 $3ab^2$ の $b$ の指数は2（偶数）なので、$(-b)^2 = b^2$ となり符号は変わりません。 「$-$ が交互」というパターンを覚えておきましょう：$+, -, +, -$。
次に、$a^3 + b^3$ や $a^3 - b^3$ を因数分解した形を学びます。 これは Section 2 の公式とは逆方向の関係にあります。 Section 2 が「$(a+b)^3$ を展開する」公式だったのに対し、 こちらは「$a^3 + b^3$ を積の形で表す」公式です。
まず、$(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ を実際に展開して確認しましょう。
$(a+b)(a^2 - ab + b^2)$
$= a(a^2 - ab + b^2) + b(a^2 - ab + b^2)$
$= a^3 - a^2b + ab^2 + a^2b - ab^2 + b^3$
$= a^3 + b^3$
途中の4つの項（$-a^2b$ と $+a^2b$、$+ab^2$ と $-ab^2$）が見事に打ち消し合い、 $a^3 + b^3$ だけが残ります。
$$a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$$
$$a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$$
$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ が成り立つのは、 2次の因数 $a^2 - ab + b^2$ が「展開したとき中間項が打ち消されるように」設計されているからです。
$(a+b)$ と何かを掛けて $a^3 + b^3$（中間項なし）を作るには、 $a^2$ の項と $b^2$ の項で $a^3$ と $b^3$ を作りつつ、 $ab$ の項で余分なものを打ち消す必要があります。 その「打ち消し役」が $-ab$ なのです。
2次の公式 $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ でも同じ原理（中間項の打ち消し）が働いています。 3次版はその自然な拡張です。
$(x+3)(x^2 - 3x + 9)$ を展開しましょう。 $a = x$, $b = 3$ として $a^3 + b^3$ の公式を使うと、すぐに $x^3 + 27$ と求められます。
$(3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$ はどうでしょうか。 $9a^2 = (3a)^2$, $4b^2 = (2b)^2$, $6ab = (3a)(2b)$ なので、 これは $a^3 - b^3$ の公式で $a = 3a$, $b = 2b$ の場合です。 答えは $(3a)^3 - (2b)^3 = 27a^3 - 8b^3$。
✕ 誤：$(a+b)^3 = a^3 + b^3$
○ 正：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
$(a+b)^3$ と $a^3 + b^3$ は全くの別物です。 $(a+b)^3$ は $(a+b)$ を3回かけたもので、展開すると4項になります。 $a^3 + b^3$ は単に「$a$ の3乗と $b$ の3乗の和」です。
数値で確認：$a = 1, b = 1$ のとき $(1+1)^3 = 8$ ですが、$1^3 + 1^3 = 2$ です。 明らかに異なります。
和の立方：$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$
差の立方：$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$
立方の和：$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$
立方の差：$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$
$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$、$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ という流れから、 一般に $a^n - b^n$ は必ず $(a-b)$ で割り切れます。
$$a^n - b^n = (a - b)(a^{n-1} + a^{n-2}b + a^{n-3}b^2 + \cdots + b^{n-1})$$
$a^n + b^n$ の場合は、$n$ が奇数のときだけ $(a+b)$ で割り切れます。 $n = 3$ のとき $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ がその例です。
この一般化は数学IIの等比数列の和の公式とも深く関係しています。 $1 + r + r^2 + \cdots + r^{n-1} = \dfrac{r^n - 1}{r - 1}$ を変形すると、 $r^n - 1 = (r-1)(1 + r + \cdots + r^{n-1})$ ── まさに $a^n - b^n$ の因数分解（$a = r, b = 1$）です。
$(x + y + 3)(x + y - 1)$ のような式を展開するとき、 いきなり分配法則で全部の項を掛け合わせるのは大変です。 しかし、$x + y$ という共通部分に注目すれば、ずっと簡単に処理できます。
置き換え（おき換え）とは、 式の中に繰り返し現れる共通部分を1つの文字で代用する技法です。 複雑な式を「見たことのある形」に変換し、既知の乗法公式を適用できるようにします。
置き換えの核心は、式の構造（骨格）を見やすくすることにあります。
$(x + y + 3)(x + y - 1)$ の中で $x + y$ が2回現れています。 $A = x + y$ とおけば、この式は $(A + 3)(A - 1)$ となり、 これは $(x + a)(x + b) = x^2 + (a+b)x + ab$ の公式そのものです。
やっていることは「複雑な部分を一時的に箱に入れて、骨格だけ見る」こと。 公式を適用した後に、箱の中身（$A = x + y$）を戻せば完成です。
$(x + y + 3)(x + y - 1)$ を展開してみましょう。
Step 1：共通部分を見つけて置き換える。$A = x + y$ とおくと、 $(A + 3)(A - 1)$。
Step 2：乗法公式を適用する。 $(A + 3)(A - 1) = A^2 + (3 - 1)A + 3 \times (-1) = A^2 + 2A - 3$
Step 3：置き換えを戻す。$A = x + y$ を代入する。 $(x+y)^2 + 2(x+y) - 3 = x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y - 3$
$(x + y + z)(x + y - z)$ のような式も置き換えで処理できます。 $A = x + y$ とおけば $(A + z)(A - z) = A^2 - z^2$ となり、和と差の積の公式が使えます。
$A^2 - z^2 = (x+y)^2 - z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - z^2$
3次の公式と置き換えを組み合わせることで、さらに複雑な式も処理できます。
$(x + 2y)^3$ を展開する場合、$a = x$, $b = 2y$ として $(a+b)^3$ の公式を直接適用しますが、 これも一種の「置き換え的な見方」です。
より典型的な例として、$(a + b - c)^3$ を展開してみましょう。 $A = a + b$ とおけば $(A - c)^3$ の形になります。
$(A - c)^3 = A^3 - 3A^2c + 3Ac^2 - c^3$
ここで $A = a + b$ を戻すと、$A^3 = (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$, $A^2 = a^2 + 2ab + b^2$ を代入して整理します。
✕ 誤：$A^2 + 2A - 3$ に $A = x + y$ を代入して「$(x+y)^2 + 2(x+y) - 3$」で終わり
○ 正：$(x+y)^2$ を $x^2 + 2xy + y^2$ に、$2(x+y)$ を $2x + 2y$ に展開して $x^2 + 2xy + y^2 + 2x + 2y - 3$ とする
「展開せよ」と指示されている場合、最終結果にカッコが残っていてはいけません。 置き換えを戻した後、必ず全てのカッコを外してください。
実際の計算では、わざわざ $A = \cdots$ と書かなくても、 共通部分をカッコでくくったまま公式を適用することが多いです。
たとえば $(x^2 - 3x + 1)(x^2 + 3x + 1)$ は、 $(x^2 + 1)$ が共通部分です。
$= \{(x^2 + 1) - 3x\}\{(x^2 + 1) + 3x\}$（和と差の積の形に整理）
$= (x^2 + 1)^2 - (3x)^2 = x^4 + 2x^2 + 1 - 9x^2 = x^4 - 7x^2 + 1$
「共通部分を1文字で置く」という操作は、数学における抽象化（abstraction）の初歩です。 大学数学やプログラミングでは、この「名前をつけて隠す」という発想が至るところで使われます。
たとえばプログラミングで変数に値を代入して使い回すのは、まさに置き換えと同じです。 数学の置き換えで鍛える「式の構造を見抜く力」は、 あらゆる分野で「複雑な問題をシンプルに分解する力」として活きてきます。
なお、置き換えの結果として $x^4 - 7x^2 + 1$ のような偶数次のみの式（複2次式）が現れることがあります。 $t = x^2$ とおけば $t^2 - 7t + 1$ という2次式に帰着でき、 置き換えは因数分解（1-2）や2次関数の最大・最小（2-2）でも繰り返し登場します。
ここまで、3次の乗法公式と置き換えを利用した展開を学びました。 これらが教科書全体のどこに位置し、どう繋がるかを確認しましょう。
| 分類 | 公式 | 用途 |
|---|---|---|
| 2次・和の平方 | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | 基本中の基本 |
| 2次・差の平方 | $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | 基本中の基本 |
| 2次・和と差の積 | $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ | 置き換えで頻出 |
| 3次・和の立方 | $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ | 3乗の展開 |
| 3次・差の立方 | $(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ | 3乗の展開 |
| 3次・立方の和 | $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$ | 因数分解との橋渡し |
| 3次・立方の差 | $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ | 因数分解との橋渡し |
Q1. $(a+b)^3$ を展開してください。
Q2. $(2x - y)^3$ を展開してください。
Q3. $a^3 + b^3$ を因数分解した形で書いてください。
Q4. $(x + 2y + 1)(x + 2y - 5)$ を展開してください（置き換えを利用）。
Q5. $(a+b)^3$ と $a^3 + b^3$ の違いを説明してください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の式を展開せよ。
(1) $(3x + 1)^3$
(2) $(2a - 3b)(4a^2 + 6ab + 9b^2)$
(1) $27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$
(2) $8a^3 - 27b^3$
(1) 方針：$(a+b)^3$ の公式で $a = 3x$, $b = 1$ として代入。
$(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1)^2 + 1^3$
$= 27x^3 + 3 \cdot 9x^2 + 3 \cdot 3x + 1 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1$
(2) 方針：$4a^2 = (2a)^2$, $9b^2 = (3b)^2$, $6ab = (2a)(3b)$ なので、 $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$ の公式（$a = 2a$, $b = 3b$）。
$(2a - 3b)\{(2a)^2 + (2a)(3b) + (3b)^2\} = (2a)^3 - (3b)^3 = 8a^3 - 27b^3$
次の式を展開せよ。
(1) $(a - b + c)^2$
(2) $(x + y + 2)(x + y - 4)$
(1) $a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$
(2) $x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 8$
(1) 方針：$A = a - b$ とおくと $(A + c)^2 = A^2 + 2Ac + c^2$。
$= (a-b)^2 + 2(a-b)c + c^2 = a^2 - 2ab + b^2 + 2ac - 2bc + c^2$
$= a^2 + b^2 + c^2 - 2ab + 2ac - 2bc$
(2) 方針：$A = x + y$ とおくと $(A + 2)(A - 4) = A^2 - 2A - 8$。
$= (x+y)^2 - 2(x+y) - 8 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 8$
次の式を展開せよ。
$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$
$x^4 + x^2 + 1$
方針：2つの因数に共通する部分を見つけて和と差の積の形に整理する。
$(x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)$ は、$x^2 + 1$ が共通部分。
$= \{(x^2 + 1) + x\}\{(x^2 + 1) - x\}$
$= (x^2 + 1)^2 - x^2$ （和と差の積の公式 $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$）
$= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2 = x^4 + x^2 + 1$
⚠️ そのまま分配法則で展開しても答えは出ますが、置き換えを使うと途中の計算が格段に楽になります。 「共通部分を探す」意識が大切です。
次の式を展開せよ。
$(x + y)^3 - (x - y)^3$
$6x^2y + 2y^3$
方針1（各項を展開）：それぞれの3乗を展開してから引く。
$(x+y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$
$(x-y)^3 = x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3$
差をとると：$(x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) - (x^3 - 3x^2y + 3xy^2 - y^3)$
$= 6x^2y + 2y^3$
方針2（$a^3 - b^3$ の公式）：$A = x+y$, $B = x-y$ とおくと $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$。
$A - B = (x+y) - (x-y) = 2y$
$A^2 = x^2 + 2xy + y^2$, $B^2 = x^2 - 2xy + y^2$, $AB = x^2 - y^2$
$A^2 + AB + B^2 = (x^2+2xy+y^2) + (x^2-y^2) + (x^2-2xy+y^2) = 3x^2 + y^2$
$\therefore (A-B)(A^2+AB+B^2) = 2y(3x^2+y^2) = 6x^2y + 2y^3$
⚠️ 方針1のほうが計算は素直です。方針2は $a^3 - b^3$ の公式の練習として有効。