数学のすべての計算は「式」を正しく読み書きすることから始まります。
単項式・多項式の用語を正確に理解し、式を整理する力は、因数分解・方程式・不等式など、あらゆる分野の土台です。
高校数学では、数と文字を組み合わせた「式」を自在に操る力が求められます。 まずは、式を構成する基本的な用語を正確に押さえましょう。 ここでの用語は、数学のすべての分野で共通して使う「言語」です。
単項式とは、数や文字を掛け合わせただけの式のことです。 たとえば、$3x^2$、$-5xy$、$7$、$a$ はすべて単項式です。 足し算や引き算を含まないのが特徴です。
単項式には2つの重要な属性があります。
多項式とは、いくつかの単項式の和として表される式のことです。 たとえば、$3x^2 - 5x + 2$ は、$3x^2$、$-5x$、$2$ という3つの単項式の和です。 このとき、1つ1つの単項式をこの多項式の項と呼びます。
多項式は整式とも呼ばれます。 また、単項式は「項が1つだけの多項式」と考えることもできます。 つまり、単項式は多項式の特殊なケースです。
整式（多項式）の本質は、足し算（引き算）とかけ算だけで構成された式ということです。 割り算（$\frac{1}{x}$）や平方根（$\sqrt{x}$）が文字に対して使われていない式が整式です。
たとえば $3x^2 - 5x + 2$ は整式ですが、$\frac{1}{x}$ や $\sqrt{x}$ は整式ではありません。 $\frac{x^2 + 1}{3}$ のように数で割っているだけなら整式です（$\frac{1}{3}x^2 + \frac{1}{3}$ と同じ）。
この区別が大切なのは、整式には交換法則・結合法則・分配法則がきれいに成り立ち、 因数分解や展開といった操作が自由にできるからです。
多項式の次数とは、各項の次数のうち最も高いものです。 たとえば $3x^2 - 5x + 2$ では、$3x^2$ の次数が $2$、$-5x$ の次数が $1$、$2$ の次数が $0$ なので、 この多項式の次数は $2$ です。次数が $n$ の多項式を$n$ 次式と呼びます。
文字を含まない項を定数項といいます。 $3x^2 - 5x + 2$ の定数項は $2$ です。 定数項の次数は $0$ と考えます（ただし、数 $0$ の次数は定めません）。
単項式：数や文字の積だけで表される式。例：$3x^2$、$-5xy$、$7$
係数：単項式の数の部分。$3x^2$ の係数は $3$
次数：掛け合わされた文字の個数。$3x^2$ は2次、$-5xy$ は2次
多項式（整式）：単項式の和。$3x^2 - 5x + 2$
項：多項式を構成する各単項式。$3x^2$、$-5x$、$2$
多項式の次数：各項の次数の最大値。上の例は2次式
定数項：文字を含まない項。上の例では $2$
2種類以上の文字を含む式では、どの文字に着目するかによって次数や係数が変わります。 たとえば $5yx^2$ という単項式を考えましょう。
「$x$ に着目する」とは、$x$ 以外の文字（ここでは $y$）を数と同じように扱うということです。 この考え方は、因数分解や方程式で非常に重要になります。
$2x^2 - 5xy + y^3 + 5$ について、$x$ に着目したときの次数を聞かれたとします。
✕ 誤：$y^3$ の次数が $3$ だから、全体の次数は $3$
○ 正：$x$ に着目するので、$y$ は数と同じ扱い。 $2x^2$（$x$ の2次）、$-5yx$（$x$ の1次）、$y^3$（$x$ の0次 = 定数項）、$5$（定数項）。 よって $x$ について2次式。定数項は $y^3 + 5$。
「どの文字に着目するか」を常に確認してから次数を答えましょう。
大学数学には多項式環（polynomial ring）という概念があります。 これは、多項式全体の集合に加法と乗法の演算を入れたもので、 整数の世界（足し算とかけ算ができる世界）と非常によく似た構造をもっています。
整数で「素因数分解」ができるように、多項式でも「因数分解」ができます。 高校で学ぶ因数分解は、実は整数論と同じ枠組みで理解できるのです。 「整式」という名前に「整（数）」が含まれているのは偶然ではありません。
多項式の足し算・引き算は、日常の計算と同じ原理です。 「同じ種類のもの同士を足す」── これが同類項をまとめるという操作の正体です。
多項式の項のうち、文字の部分が同じである項を同類項と呼びます。 たとえば $3x^2$ と $-7x^2$ は同類項です（文字部分がどちらも $x^2$）。 一方、$3x^2$ と $3x$ は同類項ではありません（$x^2$ と $x$ は異なる）。
同類項は、係数だけを足し引きしてまとめることができます。
$$3x^2 + (-7x^2) = (3 - 7)x^2 = -4x^2$$同類項をまとめる操作は、実は分配法則を逆に使っているだけです。
分配法則（展開）：$a \cdot x^2 + b \cdot x^2 = (a + b) \cdot x^2$
$3x^2 + (-7x^2) = (3 + (-7))x^2 = -4x^2$ は、$x^2$ を共通因数としてくくり出しています。 同類項をまとめるとは「共通の文字部分でくくる」ことにほかなりません。
逆に言えば、文字部分が異なる項はくくり出せないので、まとめられません。 $3x^2 + 5x$ はこれ以上まとめられないのです。
$A = 2x^2 + 3x - 1$、$B = x^2 - 5x + 4$ のとき、$A + B$ と $A - B$ を求めてみましょう。
加法 $A + B$：
$$A + B = (2x^2 + 3x - 1) + (x^2 - 5x + 4)$$
$$= 2x^2 + x^2 + 3x - 5x - 1 + 4$$
$$= 3x^2 - 2x + 3$$
減法 $A - B$：
$$A - B = (2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 5x + 4)$$
$$= 2x^2 + 3x - 1 - x^2 + 5x - 4$$
$$= x^2 + 8x - 5$$
減法で最も多いミスは、括弧を外すとき、全部の項の符号を変え忘れることです。
✕ 誤：$(2x^2 + 3x - 1) - (x^2 - 5x + 4) = 2x^2 + 3x - 1 - x^2 - 5x + 4$ （$-5x$ の符号が変わっていない）
○ 正：$-(x^2 - 5x + 4) = -x^2 \mathbin{\color{#c0392b}{+}} 5x \mathbin{\color{#c0392b}{-}} 4$ （すべての項の符号が反転する）
$-(\ )$ は「括弧内のすべての項に $-1$ を掛ける」操作です。 項が3つ以上あるとき、中間の項の符号変更を忘れがちです。 慣れるまでは、1つずつ確認しましょう。
✕ 誤：$3x^2 + 5x = 8x^2$（$x^2$ と $x$ をまとめている）
○ 正：$3x^2 + 5x$ はこれ以上まとめられない。 $x^2$ と $x$ は文字部分が異なるので同類項ではない。
同類項かどうかの判定は「文字部分（文字とその指数）が完全に一致するか」です。 $x^2$ と $x$ は似ていますが別物です。
多項式の掛け算は、分配法則にすべてが帰着します。 分配法則とは、次の性質のことです。
$$a(b + c) = ab + ac$$この式は「括弧の外の $a$ を、括弧の中の各項に1つずつ掛ける」と読めます。 多項式同士の掛け算も、この原理を繰り返し適用するだけです。
交換法則：$A + B = B + A$、$AB = BA$
結合法則：$(A + B) + C = A + (B + C)$、$(AB)C = A(BC)$
分配法則：$A(B + C) = AB + AC$、$(A + B)C = AC + BC$
分配法則をそのまま適用します。
$$2x(3x^2 - 5x + 1) = 2x \cdot 3x^2 + 2x \cdot (-5x) + 2x \cdot 1 = 6x^3 - 10x^2 + 2x$$多項式同士の掛け算では、一方の各項を、もう一方のすべての項に掛けるという原則を使います。
$(x + 2)(x - 3)$ を展開してみましょう。
$$(x + 2)(x - 3) = x \cdot x + x \cdot (-3) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-3)$$ $$= x^2 - 3x + 2x - 6 = x^2 - x - 6$$$(a + b)(c + d)$ を展開するとき、左の括弧から1つ、右の括弧から1つ、 すべての組み合わせの積を足し合わせます。
$$ac + ad + bc + bd$$
項が増えても原理は同じです。$(a + b + c)(d + e)$ なら、 左の3項と右の2項で合計 $3 \times 2 = 6$ 個の積を作ります。
乗法公式はこの展開の結果をパターン化したものにすぎません。 暗記が不安なときは分配法則に戻れば、必ず正しい答えにたどり着けます。
単項式の乗法では、指数法則を使って文字の掛け算を処理します。 $m$、$n$ を正の整数とするとき、次の3つの法則が成り立ちます。
たとえば $3x^2 \times 4x^3 = 12x^{2+3} = 12x^5$ です。 なぜ指数を足すのでしょうか？ $x^2 \times x^3 = (x \cdot x) \times (x \cdot x \cdot x) = x^5$ と書き下せば、 $x$ が合計5個掛け合わされていることがわかります。
✕ 誤：$x^2 \times x^3 = x^6$（指数を掛けてしまった）
○ 正：$x^2 \times x^3 = x^{2+3} = x^5$（同じ底の積では指数を足す）
指数を掛けるのは $(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6$ のように「累乗の累乗」のときだけです。
迷ったら、$x^2 = x \cdot x$、$x^3 = x \cdot x \cdot x$ と展開して個数を数えましょう。 $x \cdot x \cdot x \cdot x \cdot x = x^5$ と確認できます。
多項式の展開は、コンピュータサイエンスの組み合わせ爆発と深く関係しています。 $(a_1 + a_2 + \cdots + a_m)(b_1 + b_2 + \cdots + b_n)$ の展開では $m \times n$ 個の項が生まれます。
項数が増えると計算量が急激に増大するため、コンピュータで多項式を高速に乗算するための アルゴリズム（高速フーリエ変換: FFTなど）が研究されています。 分配法則という単純な原理が、最先端の計算理論につながっているのです。
計算の結果得られた多項式は、そのままでは読みにくいことがあります。 「整理する」とは、見やすく、扱いやすい形に並べ替えることです。 整理の方法には2つの軸があります。
まず最初にやるべきことは、同類項をまとめることです。 たとえば $3x^2 + 2x - x^2 + 5x - 1$ なら、 $3x^2$ と $-x^2$（$x^2$ の同類項）、$2x$ と $5x$（$x$ の同類項）をまとめて、 $2x^2 + 7x - 1$ とします。
同類項をまとめたら、次は項を並べる順序です。
たとえば $5 - 3x + 2x^2$ は、降べきの順に整理すると $2x^2 - 3x + 5$、 昇べきの順なら $5 - 3x + 2x^2$（そのまま）です。
通常は降べきの順で整理します。 降べきの順に並んでいると、次数がひと目でわかり、 多項式の割り算（数学IIで学習）でも計算しやすくなります。
整式を整理する目的は、式から情報を素早く読み取れるようにすることです。
降べきの順に整理すると、最初の項を見るだけで「何次式か」がわかります。 $2x^3 + 5x^2 - x + 3$ → 最初の項が $x^3$ なので3次式。
さらに、2つの文字を含む式では「どの文字に着目して整理するか」で見え方が変わります。 $x$ について整理すれば「$x$ の何次式か」がわかり、$y$ について整理すれば「$y$ の何次式か」がわかる。 整理の仕方は目的によって選ぶのです。
$x$ と $y$ の2種類の文字を含む式 $5x^2 + y - 3xy + 2y^2 - 2 + x$ を、 $x$ について降べきの順に整理してみましょう。
まず、$x$ に着目して各項の次数を確認します。$y$ は数と同じ扱いです。
したがって、$x$ について降べきの順に整理すると、
$$5x^2 + (-3y + 1)x + (2y^2 + y - 2)$$この形にすると、$x$ について2次式であること、$x^2$ の係数が $5$、 $x$ の係数が $-3y + 1$、定数項が $2y^2 + y - 2$ であることが一目でわかります。
$3x^2y + 2xy^2 - y^3$ を「$x$ について整理せよ」と言われたとき：
✕ 誤：$3x^2y$ は3次だから最も高い... と全体の次数で考える
○ 正：$x$ についての次数は、$3x^2y$（$x$ の2次）、$2xy^2$（$x$ の1次）、$-y^3$（$x$ の0次）。 よって $3yx^2 + 2y^2 x - y^3$ と整理する。
「着目する文字について」と指定されたら、他の文字は数として扱い、 指定された文字だけで次数を数えてください。
この記事で学んだ用語や計算技法は、第1章「数と式」全体の土台です。 ここから先、整式の世界はどのように広がっていくのでしょうか。
Q1. $4x^3y^2$ の次数と係数を答えてください（全体について）。また、$x$ に着目したときの次数と係数も答えてください。
Q2. $3x^2 - 2x + 5 + x^2 + 4x - 7$ を同類項をまとめて整理してください。
Q3. $A = x^2 + 3x - 2$、$B = 2x^2 - x + 5$ のとき、$A - B$ を求めてください。
Q4. $2x(3x^2 - 4x + 5)$ を展開してください。
Q5. $2xy + 3x^2 - y^2 + x - 5 + y$ を $x$ について降べきの順に整理してください。また、$x$ についての次数と定数項を答えてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
多項式 $2x^2y - 3xy^2 + x^3 - 5y^3 + 4xy$ について、次の問いに答えよ。
(1) $x$ について整理し、$x$ についての次数と定数項を求めよ。
(2) $y$ について整理し、$y$ についての次数と定数項を求めよ。
(1) $x^3 + 2yx^2 + (-3y^2 + 4y)x - 5y^3$。$x$ について3次式。定数項は $-5y^3$。
(2) $-5y^3 - 3xy^2 + (2x + 4x)y + x^3 = -5y^3 - 3xy^2 + (2x^2 + 4x)y + x^3$。$y$ について3次式。定数項は $x^3$。
方針：着目する文字を決め、他の文字は数として扱い、降べきの順に並べる。
(1) $x$ に着目。各項の $x$ の次数を調べる。
・$x^3$（$x$ の3次）、$2x^2y$（$x$ の2次）、$-3xy^2$、$4xy$（$x$ の1次）、$-5y^3$（$x$ の0次）
$x$ の1次の項をまとめると $(-3y^2 + 4y)x$
よって $x^3 + 2yx^2 + (-3y^2 + 4y)x - 5y^3$
(2) $y$ に着目。各項の $y$ の次数を調べる。
・$-5y^3$（$y$ の3次）、$-3xy^2$（$y$ の2次）、$2x^2y$、$4xy$（$y$ の1次）、$x^3$（$y$ の0次）
$y$ の1次の項をまとめると $(2x^2 + 4x)y$
よって $-5y^3 - 3xy^2 + (2x^2 + 4x)y + x^3$
$A = 3x^2 - 2xy + y^2 - 1$、$B = x^2 + 5xy - 3y^2 + 4$ のとき、$2A - 3B$ を計算せよ。
$3x^2 - 19xy + 11y^2 - 14$
方針：まず $2A$ と $3B$ をそれぞれ計算し、その差を求める。
$2A = 6x^2 - 4xy + 2y^2 - 2$
$3B = 3x^2 + 15xy - 9y^2 + 12$
$2A - 3B = (6x^2 - 4xy + 2y^2 - 2) - (3x^2 + 15xy - 9y^2 + 12)$
$= 6x^2 - 4xy + 2y^2 - 2 - 3x^2 - 15xy + 9y^2 - 12$
$= 3x^2 - 19xy + 11y^2 - 14$
⚠️ $3B$ を引くとき、すべての項の符号が反転することに注意。特に $+15xy$ が $-15xy$ になるのを見落とさないこと。
$a$ を定数とする。多項式 $P = ax^3 + (a^2 - 4)x^2 + 3x - a + 2$ が $x$ の2次式であるとき、$a$ の値と $P$ を求めよ。
$a = 0$ のとき $P = -4x^2 + 3x + 2$
方針：$P$ が $x$ の2次式であるための条件を考える。3次の項の係数が $0$ で、かつ2次の項の係数が $0$ でないことが必要。
$P$ が $x$ の2次式であるためには：
・$x^3$ の係数 $= 0$：$a = 0$
・$x^2$ の係数 $\neq 0$：$a^2 - 4 \neq 0$
$a = 0$ のとき $a^2 - 4 = -4 \neq 0$ なので条件を満たす。
$a = 0$ を代入して $P = -4x^2 + 3x + 2$
⚠️ 「2次式」なので、3次の項が消えるだけでなく、2次の項が残ることも確認が必要。これを忘れると、$a^2 - 4 = 0$ のケース（$a = \pm 2$）で1次式以下になる場合を見落とす。
$x + y = 3$、$xy = -2$ のとき、$x^2 + y^2$ および $x^3 + y^3$ の値を求めよ。
$x^2 + y^2 = 13$、$x^3 + y^3 = 45$
方針：$x^2 + y^2$ や $x^3 + y^3$ を $x + y$ と $xy$ で表す。直接 $x$, $y$ の値を求めるのではなく、対称式の性質を使う。
$x^2 + y^2$ を求める：
$(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ を展開の公式から利用する。
$$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 3^2 - 2 \cdot (-2) = 9 + 4 = 13$$
$x^3 + y^3$ を求める：
$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2)$ を利用する。
$$x^2 - xy + y^2 = (x^2 + y^2) - xy = 13 - (-2) = 15$$
$$x^3 + y^3 = 3 \times 15 = 45$$
⚠️ $x^3 + y^3 = (x + y)^3$ としないこと。$(x + y)^3 = x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3$ であり、$x^3 + y^3$ とは異なる。