絶対値の記号 $|\ |$ が出てくると「場合分けしなきゃ」と身構える人が多いですが、その前に立ち止まりましょう。
絶対値の正体は「数直線上の距離」。この幾何的な意味を掴めば、方程式も不等式も直感的に解けるようになります。
絶対値の定義をもう一度確認しましょう。実数 $a$ の絶対値 $|a|$ は次のように定義されます。
$$|a| = \begin{cases} a & (a \geq 0) \\ -a & (a < 0) \end{cases}$$この定義だけ見ると「場合分けの記号」に見えますが、本質はもっとシンプルです。 $|a|$ は、数直線上で原点 $O$ から点 $a$ までの距離を表しています。
たとえば $|3| = 3$、$|-5| = 5$ です。$3$ も $-5$ も、数直線上で原点から測った「距離」としてとらえれば、どちらも正の数になるのは当然です。距離は常に $0$ 以上だからです。
$|a|$ は「原点から点 $a$ までの距離」。そして $|a - b|$ は「点 $a$ から点 $b$ までの距離」です。
たとえば $|x - 3| = 5$ は「数直線上で、点 $x$ から点 $3$ までの距離が $5$」という意味です。 $3$ から左右に $5$ ずつ離れた点は $x = -2$ と $x = 8$。式を場合分けしなくても答えが出ます。
この「距離」の視点を持つことが、絶対値の問題を解く最大の武器です。
定義の $|a| = -a$（$a < 0$）でつまずく人がいます。「マイナスをつけたらマイナスになるのでは？」という疑問です。しかし、$a$ 自体がすでに負の数であることを思い出してください。
たとえば $a = -5$ のとき、$-a = -(-5) = 5$ です。負の数に $-1$ を掛けると正の数になります。 つまり、$a < 0$ のとき $-a > 0$ です。$|a| = -a$ は「符号を反転して正にする」操作であり、結果は必ず $0$ 以上になります。
✕ 誤：$-a$ は常に負の数だから、$|a| = -a$ では絶対値が負になってしまう
○ 正：$a < 0$ のとき $-a > 0$。$-a$ が正になるか負になるかは $a$ の符号次第。 文字の前に $-$ がついているからといって、値が負とは限りません。
この混乱は「$-a$ という記号の見た目」と「$-a$ の値」を混同することから生まれます。 $-a$ は「$a$ の符号を反転させた数」と理解しましょう。
距離としての解釈から、次の性質が自然に導かれます。
(1) $|a| \geq 0$ （距離は常に $0$ 以上）
(2) $|a| = 0 \Leftrightarrow a = 0$ （原点からの距離が $0$ なら原点にいる）
(3) $|-a| = |a|$ （原点から同じ距離の点は左右対称に2つある）
(4) $|a|^2 = a^2$ （2乗すると符号の情報が消える）
(5) $|a - b|$ は数直線上の2点 $a$, $b$ 間の距離
数直線上の2点 $a$, $b$ の距離は $|a - b|$ です。 これを2次元に拡張すると、2点 $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ の距離は $\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$ になります。 これがユークリッド距離です。
大学の線形代数では、さらに抽象化して「ノルム」という概念を学びます。 ベクトル $\vec{v}$ の大きさ $\|\vec{v}\|$ は絶対値の一般化であり、 1次元の $|a|$ はノルムの最もシンプルな例です。 絶対値を「距離」として理解しておくと、こうした一般化が自然に受け入れられます。
絶対値を含む方程式には2つの解法があります。 場合分けによる代数的解法と、数直線を使った図形的解法です。 どちらも使えるようにしておくと、問題のタイプに応じて最適な方法を選べます。
絶対値の定義に従って、中身が $0$ 以上の場合と負の場合に分けて記号を外す方法です。 $|x - 2| = 5$ を解いてみましょう。
(i) $x - 2 \geq 0$（すなわち $x \geq 2$）のとき：
$|x - 2| = x - 2$ なので、$x - 2 = 5$ より $x = 7$。$x = 7 \geq 2$ を満たすので適。
(ii) $x - 2 < 0$（すなわち $x < 2$）のとき：
$|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$ なので、$-x + 2 = 5$ より $x = -3$。$x = -3 < 2$ を満たすので適。
よって $x = 7, \, -3$。
$|x - 2| = 5$ は「数直線上で点 $x$ から点 $2$ までの距離が $5$」という意味です。 点 $2$ から左右に $5$ 離れた点は $2 + 5 = 7$ と $2 - 5 = -3$。よって $x = 7, \, -3$。
場合分けなしで、一瞬で答えが出ました。$|x - a| = b$（$b > 0$）の形は、この方法が圧倒的に速いです。
$|x - a| = b$（$b > 0$）の解は $x = a \pm b$。
これは「数直線上で $a$ から距離 $b$ の位置」であり、$a$ の左右に1つずつ、計2つの解があります。
$b = 0$ のときは $x = a$ の1つだけ。$b < 0$ のときは解なし（距離は負にならない）。
場合分けで絶対値を外したとき、求めた解がその場合の条件を満たしているかを必ず確認してください。
✕ 誤：$|2x + 1| = x - 3$ で、$2x + 1 \geq 0$ のとき $2x + 1 = x - 3$ より $x = -4$。「答え $x = -4$」
○ 正：$x = -4$ のとき $2x + 1 = -7 < 0$ で条件 $2x + 1 \geq 0$ を満たさない。不適。
場合分けで得た解は「仮の解」であり、条件を満たさなければ棄却する必要があります。 これを解の吟味といいます。
$|2x - 1| = x + 3$ のように、右辺に $x$ が含まれる場合は、距離の解釈だけでは処理しにくいため、場合分けが基本になります。
(i) $2x - 1 \geq 0$（$x \geq \frac{1}{2}$）のとき：
$2x - 1 = x + 3$ より $x = 4$。$x = 4 \geq \frac{1}{2}$ なので適。
(ii) $2x - 1 < 0$（$x < \frac{1}{2}$）のとき：
$-(2x - 1) = x + 3$ より $-2x + 1 = x + 3$、$-3x = 2$、$x = -\frac{2}{3}$。$x = -\frac{2}{3} < \frac{1}{2}$ なので適。
結論：$x = 4, \, -\dfrac{2}{3}$
※ 検算：$x = 4$ のとき左辺 $|8 - 1| = 7$、右辺 $4 + 3 = 7$。一致。 $x = -\frac{2}{3}$ のとき左辺 $|-\frac{4}{3} - 1| = \frac{7}{3}$、右辺 $-\frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}$。一致。
$|A| = B$ という方程式は、$B \geq 0$ のときのみ解が存在します。
右辺に $x$ が含まれる場合、求めた解を代入したとき右辺が負にならないか確認が必要です。
✕ 誤：$|x + 1| = 2x - 5$ で、$x + 1 < 0$ のとき $-(x+1) = 2x - 5$ より $x = \frac{4}{3}$。 「$x = \frac{4}{3}$ が解」
○ 正：$x = \frac{4}{3}$ を右辺に代入すると $2 \cdot \frac{4}{3} - 5 = -\frac{7}{3} < 0$。 左辺の絶対値は $0$ 以上なのに右辺が負なので不適。 さらに条件 $x + 1 < 0$（$x < -1$）も $x = \frac{4}{3}$ は満たしません。
絶対値を含む不等式は、「距離」の解釈がとりわけ威力を発揮する分野です。 公式を丸暗記するのではなく、数直線上の距離で理解しましょう。
$|x| < a$（$a > 0$）は「原点からの距離が $a$ より小さい」、 つまり原点を中心として左右 $a$ の範囲内にいるという意味です。
$$|x| < a \quad \Longleftrightarrow \quad -a < x < a$$たとえば $|x| < 3$ は $-3 < x < 3$。原点から $3$ 以内の範囲です。
$|x| > a$（$a > 0$）は「原点からの距離が $a$ より大きい」、 つまり原点から左右 $a$ の範囲の外側にいるという意味です。
$$|x| > a \quad \Longleftrightarrow \quad x < -a \quad \text{または} \quad x > a$$たとえば $|x| > 3$ は $x < -3$ または $x > 3$。原点から $3$ より遠い範囲です。
$|x| < a$ $\Longleftrightarrow$ $-a < x < a$ （原点から距離 $a$ の内側）
$|x| \leq a$ $\Longleftrightarrow$ $-a \leq x \leq a$
$|x| > a$ $\Longleftrightarrow$ $x < -a$ または $x > a$ （原点から距離 $a$ の外側）
$|x| \geq a$ $\Longleftrightarrow$ $x \leq -a$ または $x \geq a$
$|x - c| < a$ は「点 $c$ からの距離が $a$ 未満」→ $c - a < x < c + a$（点 $c$ の近く）
$|x - c| > a$ は「点 $c$ からの距離が $a$ より大」→ $x < c - a$ または $x > c + a$（点 $c$ から遠い）
この距離の解釈さえ持っていれば、$|x - c|$ の形は公式を暗記する必要がありません。 数直線を頭に描くだけで、不等号の向きに応じて「内側か外側か」を即座に判断できます。
$|x - 3| \leq 4$ を解きましょう。「点 $3$ からの距離が $4$ 以下」なので、$3$ の左右 $4$ の範囲内です。
$$3 - 4 \leq x \leq 3 + 4 \quad \Longrightarrow \quad -1 \leq x \leq 7$$次に $|2x + 1| > 5$ を解きましょう。まず $|2x + 1| = |2(x + \frac{1}{2})| = 2|x + \frac{1}{2}|$ と変形すると、$2|x + \frac{1}{2}| > 5$、つまり $|x + \frac{1}{2}| > \frac{5}{2}$ です。 「点 $-\frac{1}{2}$ からの距離が $\frac{5}{2}$ より大きい」ので：
$$x + \frac{1}{2} < -\frac{5}{2} \quad \text{または} \quad x + \frac{1}{2} > \frac{5}{2}$$ $$x < -3 \quad \text{または} \quad x > 2$$✕ 誤：$|x| > 3$ の解を $-3 > x > 3$ と書く
○ 正：$-3 > x > 3$ は「$x$ が $-3$ より小さく、かつ $3$ より大きい」ことを意味し、そんな数は存在しません。 正しくは $x < -3$ または $x > 3$。
$|x| > a$ の解は2つの範囲に分かれます。「または」で結ぶことを忘れないでください。 逆に $|x| < a$ は1つの範囲 $-a < x < a$ に収まるので、1本の不等式で書けます。
大学の解析学（微分積分の厳密な理論）では、関数の極限を次のように定義します： 「任意の $\varepsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在して、$0 < |x - a| < \delta$ ならば $|f(x) - L| < \varepsilon$」。
ここに $|x - a| < \delta$ や $|f(x) - L| < \varepsilon$ が登場しています。 これはまさに「$a$ からの距離が $\delta$ 未満」「$L$ からの距離が $\varepsilon$ 未満」という意味です。
高校で学ぶ「$|x - c| < a$ の解は $c - a < x < c + a$」は、 $\varepsilon$-$\delta$ 論法を読み解くための基礎そのものです。
$|x + 2| + |x - 1| = 5$ のように、絶対値が複数ある問題では「距離の解釈」だけでは難しくなります。 ここでは場合分けの戦略を体系的に学びましょう。
複数の絶対値記号を外すには、すべての絶対値の中身が同時に $0$ 以上か負かを判定できるように区間を分ける必要があります。
具体的には、各絶対値の中身を $0$ とおいた値（境界点）を求め、数直線上に並べます。 すると、隣り合う境界点の間の各区間では、すべての絶対値の中身の符号が確定するので、絶対値記号を外せます。
絶対値 $|f_1(x)|$, $|f_2(x)|$, $\ldots$ を含む式では：
Step 1：$f_1(x) = 0$, $f_2(x) = 0$, $\ldots$ を解いて境界点を求める
Step 2：境界点で数直線を区間に分割する
Step 3：各区間で絶対値を外し、方程式・不等式を解く
Step 4：各区間で得た解がその区間の条件を満たすか確認する
絶対値が $n$ 個あれば、最大 $n+1$ 個の区間に分かれます（境界点が重なる場合は減る）。
$|x + 2|$ と $|x - 1|$ の境界点は $x = -2$ と $x = 1$ です。数直線を3つの区間に分けます。
(i) $x < -2$ のとき：
$x + 2 < 0$、$x - 1 < 0$ なので $|x+2| = -(x+2)$、$|x-1| = -(x-1)$
$-(x+2) + (-(x-1)) = 5$ → $-x - 2 - x + 1 = 5$ → $-2x - 1 = 5$ → $x = -3$
$x = -3 < -2$ を満たすので適。
(ii) $-2 \leq x < 1$ のとき：
$x + 2 \geq 0$、$x - 1 < 0$ なので $|x+2| = x+2$、$|x-1| = -(x-1)$
$(x+2) + (-(x-1)) = 5$ → $x + 2 - x + 1 = 5$ → $3 = 5$
矛盾。この区間に解なし。
(iii) $x \geq 1$ のとき：
$x + 2 > 0$、$x - 1 \geq 0$ なので $|x+2| = x+2$、$|x-1| = x-1$
$(x+2) + (x-1) = 5$ → $2x + 1 = 5$ → $x = 2$
$x = 2 \geq 1$ を満たすので適。
結論：$x = -3, \, 2$
(ii) で $3 = 5$ という矛盾が出ました。これは偶然ではありません。 $|x + 2| + |x - 1|$ は「点 $x$ から $-2$ までの距離と、$x$ から $1$ までの距離の和」です。 $-2 \leq x \leq 1$ のとき、$x$ は2点の間にいるので、距離の和は2点間の距離 $|-2 - 1| = 3$ に等しくなります。 つまりこの区間では値が常に $3$ であり、$5$ にはなりえません。
$|A| = B$（$B$ が定数または正とわかっている場合）は、$A = \pm B$ と立式すれば場合分けを1段階省略できます。 たとえば $|x - 3| = 5$ なら、$x - 3 = 5$ または $x - 3 = -5$ として $x = 8, \, -2$ と求められます。
$|x + 2| + |x - 1| = 5$ で、$x = -2$ と $x = 1$ の2つの境界点を見落とさないことが大切です。
✕ 誤：$x \geq 0$ と $x < 0$ で場合分けする（絶対値の中身と無関係な基準で分けている）
○ 正：各絶対値の中身が $0$ になる点（$x = -2$ と $x = 1$）を境界にして区間を分ける
場合分けの基準は「絶対値の中身 $= 0$」です。自分で適当に決めるものではありません。
| 区間 | $|x+2|$ | $|x-1|$ | 式の変形 |
|---|---|---|---|
| $x < -2$ | $-(x+2)$ | $-(x-1)$ | $-2x - 1 = 5$ |
| $-2 \leq x < 1$ | $x+2$ | $-(x-1)$ | $3 = 5$（矛盾） |
| $x \geq 1$ | $x+2$ | $x-1$ | $2x + 1 = 5$ |
このように表を作ると、場合分けの見通しがよくなります。特に絶対値が3つ以上ある問題では、表にして整理することを強くおすすめします。
ここまで、絶対値を含む方程式・不等式を、「距離」と「場合分け」という2つの視点で学んできました。 最後に、問題のパターンと解法の選択基準を整理しましょう。
| パターン | 問題の形 | 推奨解法 |
|---|---|---|
| A：基本方程式 | $|x - a| = b$（$b$ は定数） | 距離の解釈で $x = a \pm b$ |
| B：方程式（変数右辺） | $|f(x)| = g(x)$ | 場合分け + 解の吟味 |
| C：基本不等式（内側） | $|x - a| < b$ | 距離の解釈で $a - b < x < a + b$ |
| D：基本不等式（外側） | $|x - a| > b$ | 距離の解釈で $x < a - b$ または $x > a + b$ |
| E：複数の絶対値 | $|f(x)| + |g(x)| = c$ など | 境界点で区間分割 → 各区間で場合分け |
パターン A, C, D は距離の解釈で瞬時に解けます。場合分けは不要です。 パターン B, E では場合分けが必要ですが、境界点の求め方は機械的なので、手順さえ守れば確実に解けます。
Q1. $|x - 5| = 3$ を、距離の解釈を使って解いてください。
Q2. $|x + 4| < 2$ を解いてください。
Q3. $|3x - 6| \geq 9$ を解いてください。
Q4. $|x + 1| + |x - 3|$ において、$-1 \leq x \leq 3$ のとき、この式の値はいくつですか？ 理由も答えてください。
Q5. 「$-a$ は常に負の数である」── この文は正しいですか？ 理由も答えてください。
この記事で学んだ内容を、入試形式の問題で確認しましょう。
次の方程式を解け。
(1) $|x - 4| = 7$
(2) $|3x + 2| = x + 6$
(1) $x = 11, \, -3$
(2) $x = 2, \, -2$
(1) 方針：距離の解釈で即答。「点 $4$ からの距離が $7$」→ $x = 4 \pm 7$。
$x = 4 + 7 = 11$、$x = 4 - 7 = -3$。
(2) 方針：右辺が $x$ を含むので場合分けする。
(i) $3x + 2 \geq 0$（$x \geq -\frac{2}{3}$）のとき：$3x + 2 = x + 6$ → $2x = 4$ → $x = 2$。$x = 2 \geq -\frac{2}{3}$。適。検算：左辺 $|8| = 8$、右辺 $8$。一致。
(ii) $3x + 2 < 0$（$x < -\frac{2}{3}$）のとき：$-(3x + 2) = x + 6$ → $-3x - 2 = x + 6$ → $-4x = 8$ → $x = -2$。$x = -2 < -\frac{2}{3}$。適。検算：左辺 $|-4| = 4$、右辺 $4$。一致。
よって $x = 2, \, -2$。
※ 訂正確認：(i) $x = 2$ のとき右辺 $= 2 + 6 = 8$、左辺 $= |3 \cdot 2 + 2| = 8$。(ii) $x = -2$ のとき右辺 $= -2 + 6 = 4$、左辺 $= |3 \cdot (-2) + 2| = |-4| = 4$。一致。答え $x = 2, \, -2$。
次の不等式を解け。
(1) $|x - 1| < 4$
(2) $|2x + 3| \geq 7$
(1) $-3 < x < 5$
(2) $x \leq -5$ または $x \geq 2$
(1) 方針：「点 $1$ からの距離が $4$ 未満」→ $1 - 4 < x < 1 + 4$ → $-3 < x < 5$。
(2) 方針：$|2(x + \frac{3}{2})| \geq 7$ → $2|x + \frac{3}{2}| \geq 7$ → $|x + \frac{3}{2}| \geq \frac{7}{2}$。
「点 $-\frac{3}{2}$ からの距離が $\frac{7}{2}$ 以上」→ $x \leq -\frac{3}{2} - \frac{7}{2}$ または $x \geq -\frac{3}{2} + \frac{7}{2}$。
$x \leq -5$ または $x \geq 2$。
方程式 $|x - 1| + |x + 3| = 6$ を解け。
$x = -4, \, 2$
方針：境界点は $x = 1$ と $x = -3$。3つの区間に場合分けする。
(i) $x < -3$ のとき：
$|x-1| = -(x-1)$、$|x+3| = -(x+3)$ なので $-(x-1) + (-(x+3)) = 6$ → $-2x - 2 = 6$ → $x = -4$。$x = -4 < -3$ を満たすので適。
(ii) $-3 \leq x < 1$ のとき：
$|x-1| = -(x-1)$、$|x+3| = x+3$ なので $-(x-1) + (x+3) = 6$ → $4 = 6$。矛盾。解なし。
※ $-3 \leq x \leq 1$ のとき、$x$ は $-3$ と $1$ の間にあるので距離の和は $|1 - (-3)| = 4$ で一定。$6$ にはならない。
(iii) $x \geq 1$ のとき：
$|x-1| = x-1$、$|x+3| = x+3$ なので $(x-1) + (x+3) = 6$ → $2x + 2 = 6$ → $x = 2$。$x = 2 \geq 1$ を満たすので適。
よって $x = -4, \, 2$。
不等式 $|x + 1| + |x - 2| \leq 5$ を解け。
$-2 \leq x \leq 3$
方針：境界点は $x = -1$ と $x = 2$。3つの区間に場合分けする。
(i) $x < -1$ のとき：
$-(x+1) + (-(x-2)) \leq 5$ → $-2x + 1 \leq 5$ → $-2x \leq 4$ → $x \geq -2$
条件 $x < -1$ と合わせて $-2 \leq x < -1$。
(ii) $-1 \leq x < 2$ のとき：
$(x+1) + (-(x-2)) \leq 5$ → $3 \leq 5$
常に成り立つ。よってこの区間すべて、すなわち $-1 \leq x < 2$。
(iii) $x \geq 2$ のとき：
$(x+1) + (x-2) \leq 5$ → $2x - 1 \leq 5$ → $2x \leq 6$ → $x \leq 3$
条件 $x \geq 2$ と合わせて $2 \leq x \leq 3$。
結論：(i)(ii)(iii) を合わせて $-2 \leq x \leq 3$。
※ 距離の視点：$|x+1| + |x-2|$ は「$-1$ と $2$ からの距離の和」。 2点間の距離は $3$。$-1 \leq x \leq 2$ では和は常に $3$（$\leq 5$ を満たす）。 $x$ が区間の外側に出ると和は $3$ より大きくなり、和が $5$ になる点が端。 (i) の $x = -2$ は $|-2+1| + |-2-2| = 1 + 4 = 5$。(iii) の $x = 3$ は $|3+1| + |3-2| = 4 + 1 = 5$。